1、線性空間練習(xí)題一、單項選擇題R3中下列子集（ ）不是R3的子空間A BC D二、判斷題1.設(shè)則是的子空間.2、已知為上的線性空間，則維(）2.3、設(shè)線性空間V的子空間W中每個向量可由W中的線性無關(guān)的向量組線性表出，則維(W)s4、設(shè)是線性空間V的子空間，如果則必有三、1已知,是的兩個子空間，求的一個基和維數(shù)2已知關(guān)于基的坐標(biāo)為（1，0，2），由基到基的過渡矩陣為，求關(guān)于基的坐標(biāo)四、設(shè)是數(shù)域P上的n維列向量空間，記1.證明：都是的子空間；2. 證明：.線性變換練習(xí)題一、填空題1設(shè)是線性空間的一組基，的一個線性變換在這組基下的矩陣是則在基下的矩陣_，而可逆矩陣T_滿足在基下的坐標(biāo)為_ .2設(shè)為數(shù)域

2、上秩為的階矩陣，定義維列向量空間的線性變換：,則_，_，_ .3復(fù)矩陣的全體特征值的和等于_ ，而全體特征值的積等于_ .4設(shè)是維線性空間的線性變換，且在任一基下的矩陣都相同，則為_變換 .5數(shù)域上維線性空間的全體線性變換所成的線性空間為_維線性空間，它與_同構(gòu).6設(shè)階矩陣的全體特征值為，為任一多項式，則的全體特征值為_ .二、判斷題1設(shè)是線性空間的一個線性變換，線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān).（）2設(shè)為維線性空間的一個線性變換，則由的秩的零度，有 （）3在線性空間中定義變換：，則是的一個線性變換.（）4若為維線性空間的一個線性變換，則是可逆的當(dāng)且僅當(dāng)0.（）5設(shè)為線性空間的一個線性變換，為的一

3、個子集，若是的一個子空間，則必為的子空間. （）三、計算與證明1設(shè)，問為何值時，矩陣可對角化?并求一個可逆矩陣，使.2在線性空間中定義變換： （1）證明：是的線性變換.（2）求與（3）3若是一個階矩陣，且，則的特征值只能是0和1.歐氏空間練習(xí)題一、填空題1設(shè)是一個歐氏空間， ，若對任意都有，則_2在歐氏空間中，向量，那么_，_3在維歐氏空間中，向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)是，那么_，_4兩個有限維歐氏空間同構(gòu)的充要條件是_5已知是一個正交矩陣，那么_，_二、判斷題1在實線性空間中，對于向量，定義，那么構(gòu)成歐氏空間。( )2在維實線性空間中，對于向量，定義，則構(gòu)成歐氏空間。 ( )3是維歐氏空間的一

4、組基，與分別是V中的向量在這組基下的坐標(biāo)，則。( )4對于歐氏空間中任意向量，是中一個單位向量。( )5是維歐氏空間的一組基，矩陣，其中，則A是正定矩陣。( )6設(shè)是一個歐氏空間，并且，則與正交。( )7設(shè)是一個歐氏空間，,并且，則線性無關(guān)。( )8若都是歐氏空間的對稱變換，則也是對稱變換。( )三、計算題1把向量組，擴(kuò)充成中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. 2求正交矩陣，使成對解角形。四、證明題1設(shè)，為同級正交矩陣，且，證明：2設(shè)為半正定矩陣，且，證明：3證明：維歐氏空間與同構(gòu)的充要條件是，存在雙射，并且 有 小 測 驗 九一、填空題1、已知三維歐式空間中有一組基，其度量矩陣為，則向量的長度為。2、設(shè)在此

5、內(nèi)積之下的度量矩陣為 。3、在n 維歐幾里德空間中，一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的度量矩陣為 。4、在歐氏空間中，已知，則 ，與的夾角為 （內(nèi)積按通常的定義）。5、設(shè)為歐氏空間，則有柯西-施瓦茨不等式： 。二、已知二次型（1）t為何值時二次型f是正定的？（2）取，用正交線性替換化二次型f為標(biāo)準(zhǔn)形三、設(shè)是3維歐氏空間V的一組基，這組基的度量矩陣為（1）令，證明是一個單位向量；（2）若與正交，求四、設(shè)為n維歐氏空間V中一個單位向量，定義V的線性變換A如下：證明：（1）A為第二類的正交變換（稱為鏡面反射）。（2）V的正交變換B是鏡面反射的充要條件為1是B的特征值，且對應(yīng)的特征子空間的維數(shù)為n-1.五、已知是對稱變

6、換，證明：的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間小測驗(六)一、填空題1、已知是的一個子空間，則維（V）， V的一組基是.2、在P4中，若線性無關(guān)，則k的取值范圍是.3、已知a是數(shù)域P中的一個固定的數(shù)，而是Pn+1的一個子空間，則a，而維(W).4、設(shè)Pn是數(shù)域P上的n維列向量空間，記則W1、W2都是Pn的子空間，且W1W2，.5、設(shè)是線性空間V的一組基，則由基到基的過渡矩陣T，而在基下的坐標(biāo)是.二、計算與證明1、 在線性空間P22中， 1） 求的維數(shù)與一組基.2） 求的維數(shù)與一組基.2、在線性空間P4中，求由基到基的過渡矩陣，并求在基下的坐標(biāo)，其中3、設(shè)1) 證明：在與A可交換的矩陣的全體W是一個子空間；2) 求W的維數(shù)和一組基；3