1、武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20022003第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試A卷試題答案一、填空題：1、；2、；3、1；二、選擇題：1、D；2、B；3、A;三、解：（1）；（2）四、解：設(shè)故有點(diǎn)處的切平面的法向量為故旋轉(zhuǎn)曲面在點(diǎn)處的切平面方程為五、解：由消去，得投影柱面，因此它在面上的投影域?yàn)椋?，于是區(qū)域的體積： 六、（1）令，故有，故有所以|（2）記為所圍區(qū)域，則有高斯公式得：(由于關(guān)于面對(duì)稱,是域上的奇函數(shù),故有)七、解：由題設(shè)知，故曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。所以八、解：由題設(shè)有，即令駐點(diǎn)，而比較知，此曲面上離原點(diǎn)最近的點(diǎn)為。九、證明：將向軸投影，得，并用垂直于軸的平面截得：，所以有，故命題得證。十、解：（

2、1）設(shè)為過(guò)且垂直于的平面，由直線的一般方程為所以過(guò)的平面束方程為：，即其法向量為，平面的法向量為，因此為與垂直知，所以有，于是的方程為，因此直線的方程為（2）將：化為參數(shù)方程設(shè)是上一點(diǎn)，則有若是由旋轉(zhuǎn)到達(dá)的另一點(diǎn)，由于坐標(biāo)不變且到軸的距離相等，則有所以+即為所求旋轉(zhuǎn)曲面方程。一、 解：（1）由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得：，所以，故（2）由題設(shè)知：，即，因此特征方程為，有特征根為，故再由得所以。武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20022003第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試B卷試題答案一、選擇題: 1.B 2.C 3.D 4.D 5.C二、填空題：1. 2. ；3. 1；4、 ;5. 三、（10分）設(shè)方程確定了點(diǎn)附近

3、的一個(gè)隱函數(shù)，求，.解 （1分）， （4分）， （7分）， （10分）四、（8分）求過(guò)直線的平面，使它平行于直線.解 設(shè)平面：， （3分）， ，即， （6分）解得，所以，所求平面為 （8分）五、（共24分，每小題8分）計(jì)算下列各題：1、解1 （4分） （6分） （8分）解2 （3分） () （6分） （8分）2、，其中。解 ， （2分） （4分） （6分） （8分）3、. 計(jì)算積分I=，其中是面上的直線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的曲面與平面，所圍成的空間區(qū)域解1 由設(shè),與 ,所圍. , 在柱坐標(biāo)系下: :,:, （3分） = （6分） = （8分）解2 I （3分） （6分） （8分）六、 ( 10分)

4、 求圓錐面與平面所圍成的立體的表面積.解1 交線在面上的投影為：,故立體的投影區(qū)域 （3分）圓錐面部分的表面積： （5分） （7分）平面部分的表面積： （9分）所以，立體的表面積。 （10分）解2 交線在面上的投影為：故立體的投影區(qū)域 （3分）圓錐面法向量，平面法向量， （5分）， （7分）立體的表面積： （10分）七、( 10分) 在曲面上求一點(diǎn)，使它到平面的距離最短.解1 距離最短(或最長(zhǎng))時(shí)，曲面在點(diǎn)的切平面平行于平面； （3分）故切平面法向， （7分）解得，從而，得到唯一的點(diǎn)，由幾何意義知，到平面的距離最短。 （10分）解2 （2分）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在條件下，求的最小值點(diǎn)。將換成，構(gòu)造拉格

5、郎日函數(shù) （5分） （7分）解得，由幾何意義知，為最小值點(diǎn)，它是 （10分）八、解。設(shè)，又不包含有原點(diǎn)在其內(nèi)部，故可以用高斯公式，。作小球面：，充分小，取其內(nèi)側(cè)。武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20032004第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試A卷試題答案一、填空題（每小題2分，共8分）：（1）解：由高斯公式知，所求積分：（由0）；(2) 或；(3) 1；（4）;二、選擇題（每小題2分，共8分）：（1）A；（2）B；（3）A;（4）C;三、(每小題7分，共28分)解：（1）設(shè)即 則變成,；（2）,故（3）在兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得解得 （4）由題設(shè)方程的特征方程為，解出，故齊次微分方程的通解為。其中為任意常數(shù)。設(shè)題給

6、方程的一個(gè)特解為，得，代入題給方程得，即：，得，即特解為。由此得題給方程的通解為。四、(10分)解：當(dāng)時(shí)，顯然連續(xù)。在點(diǎn)附近，因?yàn)?，故，從而在點(diǎn)連續(xù)。在點(diǎn)處，按定義，有，故在點(diǎn)處有一階偏導(dǎo)數(shù)。但因 ，故函數(shù)在點(diǎn)處不可微分。五、(10分)解：由題設(shè)知需有：，故得方程： 其通解為：由，知，故所以有：六、(10分)解：若設(shè)為平面上的圓域：，那么曲面的方程為曲面上的面積微元，由：，我們有：七、(10分)解：法（1）化為無(wú)條件極值問(wèn)題，設(shè)為交線上的一點(diǎn)，則到原點(diǎn)的距離的平方為：將 代入 得: 顯然 即 因此 此時(shí) 故交線上距離原點(diǎn)最近的點(diǎn)為：法（2）由題設(shè)有，即令與故交線上距離原點(diǎn)最近的點(diǎn)為：八、（6分

7、）解：記， ，故不等式成立，顯然由上述過(guò)程知等號(hào)成立的充要條件是由連續(xù)，所以由的充要條件是即為常數(shù)。九、(10分)解：方法1過(guò)點(diǎn)且垂直于已知直線的平面方程為，即，設(shè)它與已知直線的交點(diǎn)為，則：，將之代入上述平面方程，得，從而，因點(diǎn)與都在所求直線上，所以不妨取所求直線的方向向量為，故所求直線方程為：。方法2設(shè)所求直線的方向向量為，已知直線過(guò)點(diǎn)，其方向?yàn)椋瑒t由所求直線與已知直線垂直知：，又由這兩條直線相交知，三向量共面。從而有，即，解上述兩式，得，故所求直線方程為：。方法3已知直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與已知直線的平面方程法向量為或，不妨取所以平面方程為： （1）過(guò)點(diǎn)與已知直線垂直的平面方程為： （2）由（1）

8、、（2）得所求的直線方程為：武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20032004第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試B卷試題答案一、選擇題（每小題3分，共24分）1、B；2、A;3、C;4、B；5、D；6、A；二、解由于，同理，所以在原點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)，存在，并且易求得函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為，同樣有，故兩偏導(dǎo)數(shù)均存在。從上面的表達(dá)式容易看出，當(dāng)沿直線趨于原點(diǎn)時(shí)，極限不存在。同理不存在，故偏導(dǎo)數(shù)，在原點(diǎn)不連續(xù)。也可這樣說(shuō)明不連續(xù)：令，則，故在原點(diǎn)不連續(xù)。同理在原點(diǎn)不連續(xù)。注意到，有，故在原點(diǎn)可微，且。三、證；，故四、解：五、解解因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以有，（），（）利用收斂定理，有在上式兩端令，得，即。又，由此可得。六、解解采用柱面坐

9、標(biāo)系，則，于是。=。七、解題設(shè)方程的特征方程為解出，故齊次微分方程的通解為其中為任意常數(shù)。因?yàn)槭嵌馗?，故設(shè)題給方程的一個(gè)特解為，得代入題給方程得即，得。由此得方程的通解為。八、解如圖71所示，設(shè)橢圓周上一點(diǎn)，因直線方程為，點(diǎn)到的距離為，從而所求問(wèn)題實(shí)為函數(shù)在條件下的極值問(wèn)題。作拉格朗日函數(shù)，解方程組y A 2 C(x,y) B O 3 x圖71，得駐點(diǎn)，此時(shí)。由幾何問(wèn)題的實(shí)際意義，所求點(diǎn)可能為點(diǎn)和，因，比較得取時(shí)，為最大。九、解由于未知，無(wú)法直接計(jì)算積分，因積分曲面只是平面的一部分，也不能用高斯公式?？梢钥紤]兩類曲面積分之間的關(guān)系。由于的上側(cè)的法線方向向量為，可得方向余弦為，從而原積分可轉(zhuǎn)化

10、為：這里。武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20042005第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試A卷試題答案一、填空題（每小題4分）1、 ;2、0;3、;4、;5、二、1、解方程兩端對(duì)求偏導(dǎo)得，得，同樣兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)得，得從而有。本題也可以直接兩邊求微分：，整理得，即2、解：3、解：令則 故4、解：令： 5、解：6、解：因 于是7、解： 三、解由于，同理，所以在原點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)，存在，并且易求得函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為，同樣有，故兩偏導(dǎo)數(shù)均存在。從上面的表達(dá)式容易看出，當(dāng)沿直線趨于原點(diǎn)時(shí)，極限不存在。同理不存在，故偏導(dǎo)數(shù)，在原點(diǎn)不連續(xù)。也可這樣說(shuō)明不連續(xù)：令，則，故在原點(diǎn)不連續(xù)。同理在原點(diǎn)不連續(xù)。注意到，有，故在原點(diǎn)可微，且。四

11、、解：于是 (1) (2)（1）與（2）式相加，得，即 或 令有由一階線性微分方程求解公式，解得從而即五、解：記，則 令 又梯度方向是方向?qū)?shù)取最大值的方向，而 此方向的方向?qū)?shù)的數(shù)值應(yīng)為梯度的摸，故 所以有：即：六、解：由題設(shè)知，積分與路徑無(wú)關(guān),所以即 即把上式看成的多項(xiàng)式，比較系數(shù)得：解得：七、證：由得無(wú)窮多個(gè)駐點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)駐點(diǎn)為此時(shí) 因此函數(shù)在有極大值，且極大值為：2（2）當(dāng)時(shí), 對(duì)應(yīng)駐點(diǎn)為此時(shí) 因此函數(shù)在這些點(diǎn)無(wú)極值，即證。武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20042005第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試B卷試題答案一、填空題（每小題4分）1、;2、1;3、;4、;5、。二、1、解應(yīng)選B。由，則；

12、又，故，對(duì)兩邊對(duì)積分，有；由，有，故。2、方法1直接計(jì)算 方法2交換積分次序。由上述積分可知，由上曲線，下曲線和左直線右直線所圍成的積分區(qū)域?yàn)椋ㄈ鐖D8-14所示），交換積分次序，得3、解：是一個(gè)四次方程，要解出或相當(dāng)困難。因此不宜在直角坐標(biāo)系中計(jì)算，為此，令，則曲線方程變?yōu)?，又因所研究的是曲線在第一象限中所圍成的區(qū)域，令，得，且，故4、解：設(shè)L1： ； L2：； L3： 5、解：密度函數(shù)為： 則球體的質(zhì)量為： 應(yīng)用球面坐標(biāo)得： 6、解：為求流量，由高斯公式有：流量為負(fù)值表示流入量小于流出量。7、解： 三、解：函數(shù)在整個(gè)平面上有定義，且。又所以在點(diǎn)處連續(xù)， 又因，于是，特別在點(diǎn)處有，利用已經(jīng)求出

13、的在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和知，在點(diǎn)處可微的充分必要條件是：不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，。這表明上述極限不是零，故函數(shù)在點(diǎn)處不可微。四、解：， ，故 。五、解：由于方程中系數(shù)是分段函數(shù)，因而一般應(yīng)分段求解。注意到雖然是分段函數(shù)，但它在內(nèi)連續(xù)，因而存在原函數(shù)，于是，在求出的一個(gè)原函數(shù)后，可按照一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)解法求解。首先在區(qū)間上求解初值問(wèn)題：，即，不難得到方程的通解是，。利用初始條件可確定，從而所求的解為：，。接著在區(qū)間上求解方程：，即，不難得到方程的通解是，。為了得到符合題目要求的函數(shù)，只需取使得函數(shù)在處與函數(shù)連接起來(lái)，即：，可得，也就是說(shuō)分段函數(shù)： 是符合題目要求的函數(shù)。六、解：設(shè) 注 依格林公式得，

14、 又 故 是正值的連續(xù)函數(shù) 于是， 即 七、證設(shè)由方程所確定的曲線為。如果上的一點(diǎn)為，求距離函數(shù)在條件下的極值。作輔助函數(shù)，由可得，即。上式表明，當(dāng)在條件下有極值時(shí)，線段的斜率與曲線在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)的切線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，故為曲線在的法線。在上式中，如果，這時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，而則是軸上的線段，所以仍是曲線在點(diǎn)處的法線。武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20052006第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試A卷試題答案一、試解下列各題1、解：2、解：因?yàn)?，于是在點(diǎn)處方向?qū)?shù)達(dá)到最大值的方向?yàn)樘荻?，即，且方向?qū)?shù)的最大值為：=3、證明：因所以函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)；而不存在，函數(shù)在點(diǎn)對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)不存在；同理，函數(shù)在點(diǎn)對(duì)的偏

15、導(dǎo)數(shù)也不存在；故函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)不存在。4、解：令故有：（）（）二、計(jì)算下列各題： 1、解：設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，到原點(diǎn)的距離為，故由題設(shè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件下的最小值。令 解得：，得惟一駏點(diǎn)：，由題意，距離的最小值一定存在，且有惟一駏點(diǎn)，（當(dāng)時(shí)，）故必在駏點(diǎn)取得極小值2、解：由 故有時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，而時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，所以冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋辉O(shè) ，由于 因此又由于 ，故令，3、解：設(shè)曲面面積為S。由于所以， 其中D為應(yīng)用廣義極坐標(biāo)變換4、解：直線的參數(shù)方程為，代入平面得交點(diǎn)，過(guò)直線且與平面垂直的平面的法向量為：，故在平面上的投影直線方程為：5、解：（也可用其他方法計(jì)算）三、 1）證明：曲面上任意

16、一點(diǎn)處的切平面的法向量為： 直線的方向向量為：由，所以曲面上任意一點(diǎn)處的切平面都與直線平行；2）解：由四、解：補(bǔ)加平面（）取后側(cè)，構(gòu)成閉合曲面，所圍區(qū)域?yàn)?則（）關(guān)于z=0對(duì)稱 關(guān)于y=0對(duì)稱故 五、解：（1）由題設(shè)知，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，而，由，得：將（1）兩邊求導(dǎo)并代如（2）得： 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征值為，的特解形式為：由待定系數(shù)法得， 由，知，代入上式得，故所求 （2） 六、證 ：令,則于是武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20052006第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試B卷試題答案一、 試解下列各題1、解：設(shè)，則 若，則有，將代入原方程可解得，即在點(diǎn)處有設(shè)，則在上每一點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)都有定義且連續(xù)；

17、在在上每一點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)都定連續(xù)；在上每一點(diǎn)有方程在上每一點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)都可惟一地確定連續(xù)可導(dǎo)的隱函。2、解 (1)在柱面坐標(biāo)系下,由的意義知. +(2)在球面坐標(biāo)系下, 由的意義知: + +其中3、解：設(shè) 積分兩次得 ，即 又，從而有f(0)=0, ，將其代入f(x)表達(dá)式中，得 故試求函數(shù)f的表達(dá)式為4、解：方程兩邊求微分，得，解得則曲線在點(diǎn)M處的切向量為（1，0，-），故點(diǎn)M處的切線方程為，法平面方程為（x-1）-（z-）=0，即x-z=0。5、解：，二、計(jì)算下列各題1、解：解： 原方程可化為 ，積分得 ，代入初始條件得C=2，故所求特解為 xy=2.2、解：記，于是 =+=3、解：采用柱面坐

18、標(biāo)系，則于是 =4、解：=5、解： =三、解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為（1,1）記則由于所以又從而四、解（1）=+=（2）設(shè)A=（P，Q，R），則rot A=五、解：由題設(shè)知 即 所以又所以即 故所以故有六、解：在單位時(shí)間內(nèi)流向曲面外側(cè)的流體的質(zhì)量即流量，記為，則 添加曲面取上側(cè)的曲面積分，由和組成封閉曲面，且積分是在該封閉曲面的外側(cè)進(jìn)行，由高斯公式得： 所以 =，其中故 =負(fù)號(hào)應(yīng)解釋為在單位時(shí)間內(nèi)流入曲面的流體的質(zhì)量為七、解：（1）直接驗(yàn)算即可.(2) 將微分方程變形為 因?yàn)?1+P(x)+Q(x)=0 P(x)+xQ(x)=0，

19、由（1）知 都是方程的特解，且常數(shù)，故通解為 . 由初始條件得 ，故所求特解為(3) 的通解為 .由知， y(0)-1=1,于是 . 從而得 ，故所求特解為 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20072008第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試A卷試題答案一、解: 1、通過(guò)直線的平面束方程為： （1）欲使平面（1）平行于直線，則 代入（1）得所求平面方程為： 2、的面積為:,又,故 3、設(shè) 故得曲面在點(diǎn)處的法向量為：。 故切平面方程為：即 法線方程為： 4、， 5、6、由已知得：，所以有：原式二、解： 又求二階導(dǎo)數(shù)： 在點(diǎn)處，故為所求極小值。三、解：1、由 且 得 解得：由，得： 所以 2、 四、解：級(jí)數(shù)可寫為，由

20、 故級(jí)數(shù)收斂。 作函數(shù)級(jí)數(shù)此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，兩邊積分，有： 將上式兩邊微分得： 故五、解：1、 當(dāng)時(shí)，所以2、此方程的特征方程為：，解得：，即微分方程的通解為：，由積分曲線通過(guò)點(diǎn)，故得， （1）又在這點(diǎn)處有傾角為 的切線，故有，即 ， （2）由題設(shè)知，即 （3）聯(lián)立（1）、(2)、(3)解得： 則所求積分曲線為：六、解： 補(bǔ)充有向平面方向分別向下和上，記為圓臺(tái)外側(cè)，法向向外，是由 所圍成的閉區(qū)域，為的邊界曲面的外側(cè)，則所求流量為： 所以武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20072008第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試B卷試題答案一、1、解: ，故收斂區(qū)間為 由 當(dāng)時(shí)有二、解：1、將組成三向量，有 三向量的混合

21、積為：，所以三向量共面，故四點(diǎn)共面。 2、所求平面方程為， 即 又平面平行于直線 所以有 故所求平面方程為： 3、原式 4、設(shè) 則三、證明：1、由，故函數(shù)在點(diǎn)處不可微； 2、 所以函數(shù)在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在； 3、 不存在 所以函數(shù)沿任一方向的方向?qū)?shù)并不都存在。四、解：解：設(shè)物體密度，當(dāng)時(shí)，可知?jiǎng)t 五、解：1、由 ， 故 2、由 故函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值：六、解：由高斯公式，補(bǔ)充有向平面，方向向下，由所圍成的閉區(qū)域的外側(cè)， 七、解：由 故函數(shù)沿分段光滑的任意閉曲線積分：八、證明:法一：令 故有 法二：證明: 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院20082009第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)B期末考試A卷試題答案一、（30分）試

22、解下列各題：1、（6分）求解微分方程滿足的特解。解：由，得，即 而，故2、（6分）求曲面在點(diǎn)處的切平面方程。解 設(shè) 故曲面在點(diǎn)處的切平面的法向量為： 所以切平面方程為：3、（6分）已知級(jí)數(shù)在處收斂，試討論此級(jí)數(shù)在處的斂散性。解 由阿貝爾定理知，此級(jí)數(shù)在即時(shí)絕對(duì)收斂，故此級(jí)數(shù)在處絕對(duì)收斂。 4、（6分）計(jì)算，其中由所圍成的區(qū)域。解：由對(duì)稱性， 5、（6分）判別級(jí)數(shù)的斂散性. 若收斂，是條件收斂還是絕對(duì)收斂？解：，由比值判別法知原級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.二、（10 分） 函數(shù)由方程所確定， 是不全為零的常數(shù)，證明：證明：方程兩邊同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)得 故 三、（12分）設(shè)，而，其中二階可導(dǎo)

23、，求。 解 因?yàn)?所以四、 （10分）試將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù)解 因?yàn)?，則得 （也可利用求解）五、（10分）設(shè)（1）求在點(diǎn)處的梯度及方向?qū)?shù)的最大值； （2）問(wèn)：在哪些點(diǎn)的梯度垂直于軸。解 （1） 由 故 所以在點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值為：（2）由，而軸，即，由此得： 所以平面上的點(diǎn)處的梯度垂直于軸。六、（10分）計(jì)算曲面積分 ，其中為曲面 ，取下側(cè) 解：取平面，取上側(cè)則與構(gòu)成封閉曲面，取外側(cè)令與所圍空間區(qū)域?yàn)椋蒅auss公式，得七、（10分）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù)。解 由題意得： 即 特征方程，特征根 對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為： 又因?yàn)槭翘卣鞲?。故其特解可設(shè)為： 代入方程并整理得： 即 故所求函數(shù)為：八、（8分）將正數(shù)分為正數(shù)之和,使得最大。(其中為已知正數(shù))解法一 化為無(wú)條件極值求解,即求的極值。 令 即 解之得 ， 再由 求得 。 當(dāng)，或或時(shí),均為0,不可能為最大,故將分成的三個(gè)正數(shù)為，。解法二 利用拉格朗日乘數(shù)法求解.作函數(shù) 令 及 將(1)，(2)，(3)中之移至等式右端,記為然后