1、20202020 高中數(shù)學高中數(shù)學 1.1.11.1.1 任意角學案任意角學案 新人教新人教 A A 版必修版必修 4 4 【學習要求學習要求】 1理解正角、負角、零角與象限角的概念 2掌握終邊相同角的表示方法 【學法指導學法指導】 1解答與任意角有關(guān)的問題的關(guān)鍵在于抓住角的四個“要素”：頂點、始邊、終邊和旋轉(zhuǎn)方 向 2確定任意角的大小要抓住旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量 3學習象限角時，注意角在直角坐標系中的放法，在這個統(tǒng)一前提下，才能對終邊落在坐標 軸上的角、象限角進行定義. 1角的概念 (1)角的概念：角可以看成平面內(nèi) 繞著 從一個位置 到另一個位置所成 的圖形 (2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如

2、下三類： 類型定義圖示 正角 按 形成的角 負角 按 形成的角 零角 一條射線 ， 稱它形成了一個零角 2象限角 角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊(除端 點外)在第幾象限，就說這個角是 如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限 3終邊相同的角 所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S| ， 即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與 的和. 探究點一探究點一 角的概念的推廣 我們在初中已經(jīng)學習過角的概念，角可以看作從同一點出發(fā)的兩條射線組成的平面圖形這 種定義限制了角的范圍，也不能表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量因此，從“旋轉(zhuǎn)”的角度，對 角作

3、重新定義如下：一條射線OA繞著端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所形成的圖形叫作角，射線OA 叫角的始邊，OB叫角的終邊，O叫角的頂點 問題問題 1 1 正角、負角、零角是怎樣規(guī)定的？ 答答 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角，如果一條 射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角 問題問題 2 2 根據(jù)角的定義，圖中角120； ； ； ； . 問題問題 3 3 經(jīng)過 10 小時，分別寫出時針和分針各自旋轉(zhuǎn)所形成 的角 答 經(jīng)過 10 小時，時針旋轉(zhuǎn)形成的角是300，分針旋轉(zhuǎn)形成的角是3 600. 問題問題 4 4 如果你的手表快了 1.25 小時，只需將分針旋轉(zhuǎn)多少度就可以

4、將它校準？ 答 將分針旋轉(zhuǎn) 450或3 870即可校準 探究點二 終邊相同的角 今后我們常在直角坐標系內(nèi)討論角為了討論問題的方便，我們使角的頂點與原點重合，角 的始邊與 x 軸的非負半軸重合角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角如 果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限按照上述方法，在平面直角坐 標系中，角的終邊繞原點旋轉(zhuǎn) 360后回到原來的位置終邊相同的角相差 360的整數(shù) 倍因此，所有與角 終邊相同的角(連同角 在內(nèi))的集合 S|k360， kZ 根據(jù)終邊相同的角的概念，回答下列問題： 問題問題 1 1 已知集合S|k36060，kZ，則240 S,300 S，1

5、020 S.(用符號：或填空) 問題問題 2 2 集合S|k36030，kZ表示與角 終邊 相同的角，其中最小的正角是 . 問題問題 3 3 已知集合S|45k180，kZ，則角的終 邊落在 上 探究點三探究點三 象限角與終邊落在坐標軸上的角 問題問題 1 1 終邊落在坐標軸上的角經(jīng)常用到，下表是終邊落在 x 軸、y 軸各半軸上的角，請完成 下表. 終邊所在的位置角的集合 x 軸正半軸 x 軸負半軸 y 軸正半軸 y 軸負半軸 問題問題 2 2 下表是終邊落在各個象限的角的集合，請補充完整. 終邊所在的象 限 角 的集合 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 問題問題 3 3 寫出終邊落在

6、x 軸上的角的集合 S. 答 S|k360，kZ|k360180，kZ |2k180，kZ|(2k1)180，kZ |n180，nZ 問題問題 4 4 寫出終邊落在 y 軸上的角的集合 T. 答 T|902k180，kZ|901802k180，kZ |902k180，kZ|90(2k1)180，kZ |90n180，nZ 【典型例題典型例題】 例例 1 1 在 0360范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角 (1)150；(2)650；(3)95015. 解解 (1)因為150360210，所以在 0360范圍內(nèi)，與150角終邊相同的 角是 210角，它是第三象限角 (2)

7、因為 650360290，所以在 0360范圍內(nèi)，與 650角終邊相同的角是 290角，它是第四象限角 (3)因為95015336012945，所以在 0360范圍內(nèi)，與95015 角終邊相同的角是 12945角，它是第二象限角 小結(jié) 解答本題可先利用終邊相同的角的關(guān)系：k360，kZ，把所給的角化歸 到 0360范圍內(nèi)，然后利用 0360范圍內(nèi)的角分析該角是第幾象限角 跟蹤訓練 1 判斷下列角的終邊落在第幾象限內(nèi)： (1)1 400； (2)2 010. 解 (1)1 4003360320，320是第四象限角， 1 400也是第四象限角 例 2 寫出終邊落在直線 yx 上的角的集合 S，并把

8、 S 中適合不等式360720的元 素 寫出來 解 直線yx與x軸的夾角是 45，在 0360范圍內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個： 45，225.因此，終邊在直線yx上的角的集合： S|45k360，kZ Z|225k360，kZ Z |452k180，kZ Z|45(2k1)180，kZ Z |45k180，kZ Z S中適合360720的元素是： 45018045；451180225； 小結(jié)小結(jié) 當角的集合的表達式分兩種或兩種以上情形時，能合并的盡量合并，注意，把最后角 的集合化成簡約的形式 跟蹤訓練跟蹤訓練 2 2 求終邊在直線yx上的角的集合S. 解 由于直線yx是第二、四象限的角平分

9、線，在 0360間所對應的兩個角分別是 135和 315， 從而S|k360135，kZ Z|k360315，kZ Z |2k180135，kZ Z|(2k1)180135，kZ Z |k180135，kZ Z 例例 3 3 已知是第二象限角，試確定 2，的終邊所在的位置 2 解 因為是第二象限角， 所以k36090k360180，kZ Z. 所以 2k36018022k360360，kZ Z， 所以2的終邊在第三或第四象限或終邊在y軸的非正半軸上 因為k36090k360180，kZ Z， 所以k18045k18090，kZ Z， 2 所以當k2n，nZ Z 時，n36045n36090，

10、2 即的終邊在第一象限； 2 當 k2n1，nZ 時，n360225n360270， 2 即的終邊在第三象限 2 所以的終邊在第一或第三象限 2 小結(jié) 若已知角是第幾象限角，判斷，等是第幾象限角，主要方法是解不等式并對k 2 3 進行分類討論，考查角的終邊的位置 跟蹤訓練跟蹤訓練 3 3 已知為第三象限角，則所在的象限是 ( ) 2 A第一或第二象限 B第二或第三象限 C第一或第三象限 D第二或第四象限 解析 由于k360180k360270，kZ Z， 得 36090 360135，kZ Z. k 2 2 k 2 當k為偶數(shù)時，為第二象限角；當k為奇數(shù)時，為第四象限角. 2 2 課后小練課后小練 1361的終邊落在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2下列各角中與 330角終邊相同的角是( ) A510 B150 C150 D390 3經(jīng)過 10 分鐘，分針轉(zhuǎn)了_度 4寫出終邊落在坐標軸上的角的集合S. 課后小結(jié)課后小結(jié) 1對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應用“運動”的觀點下 定義，理解這一概念時，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負” ， “旋轉(zhuǎn)幅度”決定角 的“絕對值大小” 2關(guān)于終邊相同角的認識 一般地，