1、高一數(shù)學(xué)第十四周培優(yōu)資料函 數(shù) 周期性和對(duì) 稱 性 的 探 究函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的周期性和對(duì)稱性是函數(shù)的基本性質(zhì)，周期性和對(duì)稱性不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用周期性和對(duì)稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，周期性和對(duì)稱性還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。本文擬通過函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性和周期性這幾個(gè)方面來探討函數(shù)與周期性和對(duì)稱性有關(guān)的性質(zhì)。一、函數(shù)自身的對(duì)稱性探究定理1.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)對(duì)稱的充要條件是f (x) + f (2ax) = 2b證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P(

2、x ,y)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，點(diǎn)P( x ,y)關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)的對(duì)稱點(diǎn)P（2ax，2by）也在y = f (x)圖像上， 2by = f (2ax)即y + f (2ax)=2b故f (x) + f (2ax) = 2b，必要性得證。（充分性）設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即2by0 = f (2ax0) 。 故點(diǎn)P（2ax0，2by0）也在y = f (x) 圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)對(duì)稱，充分性得征。推論：函數(shù) y = f

3、 (x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的充要條件是f (x) + f (x) = 0定理2.函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱的充要條件是f (a +x) = f (ax) 即f (x) = f (2ax) （證明略）推論：函數(shù) y = f (x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f (x) = f (x)二、不同函數(shù)對(duì)稱性的探究定理3.函數(shù)y = f (x)與y = 2bf (2ax)的圖像關(guān)于點(diǎn)A (a ,b)成中心對(duì)稱。定理4.函數(shù)y = f (x)與y = f (2ax)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對(duì)稱。函數(shù)y = f (x)與ax = f (ay)的圖像關(guān)于直線x +y = a成

4、軸對(duì)稱。函數(shù)y = f (x)與xa = f (y + a)的圖像關(guān)于直線xy = a成軸對(duì)稱。推論：函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對(duì)稱。三、周期性的幾個(gè)結(jié)論1.若f（x+a）f（x+b）（ab），則f（x）是周期函數(shù)，ba是它的一個(gè)周期；2.若f（x+a）f（x）（a0），則f（x）是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期； 3.若f（x+a） （a0，且f（x）0），則f（x）是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期.四、對(duì)稱性的幾個(gè)結(jié)論1.若f（x+a）f（bx），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱，特別地，若f（a+x）f（ax），函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直

5、線xa對(duì)稱；2.若有f（a+x）f（bx），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ，0）中心對(duì)稱，特別地，若f（a+x）f（ax），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對(duì)稱.3.若f（x）的圖象有兩條對(duì)稱軸xa和x b（ab），則f（x）必為周期函數(shù)，且2ba是它的一個(gè)周期；4.若f（x）圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心（a，0）和（b，0）（ab），則f（x）必為周期函數(shù)，且2ba為它的一個(gè)周期；5.若f（x）的圖象有一對(duì)稱軸xa和一個(gè)對(duì)稱中心（b，0）（ab），則f（x）必為周期函數(shù)，且4ba是它的一個(gè)周期.五、三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性列表函數(shù)對(duì)稱中心坐標(biāo)對(duì)稱軸方程y = sin x( k, 0 )x = k+

6、/2y = cos x( k+/2 ,0 )x = ky = tan x(k/2 ,0 )無注：上表中kZ六、函數(shù)周期性和對(duì)稱性應(yīng)用舉例例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) (B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) (D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f (10+x)為偶函數(shù)，f (10+x) = f (10x).f (x)有兩條對(duì)稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)， x =0即y軸也是f (x)的對(duì)稱軸，因此f (x)還是

7、一個(gè)偶函數(shù)。故選(A) 例2.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1x),當(dāng)1x0時(shí)，f (x) = x，則f (8.6 ) = _ 解：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)x = 0是y = f(x)對(duì)稱軸；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 對(duì)稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例3.函數(shù) y = sin (2x + )的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是（ ）(A) x = (B) x = (C) x = (D) x =解：函數(shù) y = sin (2x

8、 + )的圖像的所有對(duì)稱軸的方程是2x + = k+x = ,顯然取k = 1時(shí)的對(duì)稱軸方程是x = 故選(A)例4. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= f(x),當(dāng)0x1時(shí)，f (x) = x，則f (7.5 ) = （）(A)0.5 (B) 0.5 (C) 1.5 (D) 1.5解：y = f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，點(diǎn)（0，0）是其對(duì)稱中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直線x = 1是y = f (x) 對(duì)稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù)。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f

9、(0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故選(B)例5.已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則下列命題中:若f（x2）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；若f（x+2）f（x2），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；函數(shù)yf（2+x）與函數(shù)yf（2x）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；函數(shù)yf（x2）與函數(shù)yf（2x）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱.其中正確的命題序號(hào)是 .【解析】是錯(cuò)誤的，由于f（x2）是偶函數(shù)得f（x2）f（x2），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；是錯(cuò)誤的，由f（x+2）f（x2）得f（x+4）f（x），進(jìn)而得f（x+8）f（x），所以f（x）是周期為8的周期函數(shù)是錯(cuò)誤的，在第

10、一個(gè)函數(shù)中，用x代x，y不變，即可得第二個(gè)函數(shù)，所以這兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；是正確的，令x2t，則2xt，函數(shù)yf（t)與yf（t）的圖象關(guān)于直線t0對(duì)稱，即函數(shù)yf（x2）與yf（2x）的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱.例6. (2020年福建) f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）0，則方程f（x）0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 ( )A2 B、3 C4 D5【解析】f（x）為奇函數(shù)，f（0）0，又函數(shù)f（x）以3為周期，且f（2）0，f（2）0，f（1）0，f（4）0，f（3）0，f（5）0，在區(qū)間（0，6）內(nèi)的解有1，2，3， 4，5.故選D.例7. 已知函數(shù)f（x）

11、的定義域?yàn)閤xR且x1，f（x+1）為奇函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，f（x）2x2x+1，則當(dāng)x1時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間是 （ ）A ，+） B（1，C ，+） D（1， 【解析】 由f（x+1）為奇函數(shù)得f（x+1）f（x+1），f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）中心對(duì)稱，又由已知可畫出f（x）在（，1）上的圖象，再根據(jù)中心對(duì)稱畫出f（x）在（1，+）上的圖象，由圖象易知，f（x）在 ，+）上單調(diào)遞減，故應(yīng)選C.例8 (2020年廣東)對(duì)函數(shù)f（x）， 當(dāng)x（，）時(shí)，f（2x）f（2+x），f（7x）f（7+x），在閉區(qū)間0,7上，只有f（1）f（3）0.（1）試判斷函數(shù)yf（x）的奇偶性；（2）試求方程f

12、（x）0在閉區(qū)間2020，2020上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.【解】 （1）由已知得f（0）0，f（x）不是奇函數(shù)，又由f（2x）f（2+x），得函數(shù)yf（x）的對(duì)稱軸為x2，f（1）f（5）0，f（1）f（1），f（x）不是偶函數(shù).故函數(shù)yf（x）是非奇非偶函數(shù)；(2)由f（4x）f（14x） f（x）f（x+10），從而知yf（x）的周期是10.又f（3）f（1）0，f（11）f（13）f（7）f（9）0，故f（x）在0，10和10，0上均有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)yf（x）在0，2020上有402個(gè)解，在上2020，0有400個(gè)解，所以函數(shù)yf（x）在2020，2020上有802個(gè)解.補(bǔ)充

13、題1函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程是，則直線的傾斜角為（B）A、 B、 C、 D、2若函數(shù)的表達(dá)式是（ B ）AB C D3函數(shù)f ( x ) = Asin (x +)( A0，0)的部分圖象如圖所示，則f ( 1 ) + f ( 2 ) + + f ( 2 006 )的值等于（ B ）y26ox2-2A0BC2 +D24(本題滿分14分) 如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為, 點(diǎn)在邊所在直線上（I）求邊所在直線的方程；（II）求矩形外接圓的方程；解：（I）因?yàn)檫吽谥本€的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為6分（II）由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榫匦?/p>

14、兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為10分所以為矩形外接圓的圓心又從而矩形外接圓的方程為14分5.一個(gè)圓和已知圓外切,并與直線:相切于點(diǎn)M（）,求該圓的方程已知圓方程化為: ,其圓心P（1,0）,半徑為1設(shè)所求圓的圓心為C（a,b）, 則半徑為, 因?yàn)閮蓤A外切, 將（2）代入（1）化簡,得 a=0或a=4巧用對(duì)稱性解光反射問題光反射原理是反射角等于入射角，用 “到角公式”來解決這類問題，計(jì)算較繁，若用對(duì)稱的方法，則能收到化難為易，化繁為簡的效果例1光線從點(diǎn)A (-1,4) 射出，遇到直線：2360即行反射，其反射光線過點(diǎn)( 3,)，求反射光線所在直線的方程 解：設(shè)點(diǎn)A 關(guān)于地對(duì)稱點(diǎn)為(,)，則解得 , 由兩點(diǎn)式可得B所在直線方程為，即反射光線所在直線的方程為例2 光線從點(diǎn)A (-3,4)射出，與軸交于B， 后經(jīng)軸反射與軸交于C ，再經(jīng)過軸反射，其反射光線恰好過點(diǎn)D( -1,6) ，求BC所在直線的方程.OxyA BCD -1-3解：如圖，設(shè)AB所在的直線方程為4=,則BC所在直線的方程為4=，CD所在的直線的