1、a,1,2. 與布朗運動有關(guān)的隨機過程,過程1：d維布朗運動,a,2,相關(guān)函數(shù),均值函數(shù),布朗運動是一個高斯過程,性質(zhì),帶漂移的布朗運動的民用航空發(fā)動機實時性能可靠性預(yù)測，航空動力學(xué)報 2009，Vol.1,No.12.任淑紅,a,3,布朗運動是一個高斯過程,證明,則,a,4,過程3：布朗橋,均值函數(shù),相關(guān)函數(shù),性質(zhì)，從0到0的布朗橋是高斯過程,a,5,例 設(shè)常數(shù),定義從a到b的布朗橋：,證明 ：,(2) 從a到b的布朗橋是高斯過程,且,a,6,布朗橋在研究經(jīng)驗分布函數(shù)中起著非常重要的作用。設(shè)X1,X2, Xn, 獨立同分布，XnU(0,1) ，對0s1,記,Nn(s)表示前n個X1,X2,

2、Xn 中取值不超過s的個數(shù)，,稱Fn(s)為經(jīng)驗分布函數(shù)。 顯然Nn(s)B(n,s)，由強大數(shù)定理有,補充 ：布朗橋在統(tǒng)計中的應(yīng)用,a,7,由格利汶科-康泰利定理可以得到更強的結(jié)果，,即Fn(s)以概率1一致地收斂于s.,則,a,8,所以 的極限過程是一正態(tài)過程。 可以證明 的聯(lián)合分布趨于二維正 態(tài)分布。,a,9,所以當(dāng)n時，,的極限過程即為布朗橋過程。 一般的，設(shè)X1,X2, Xn, 獨立同分布，F(xiàn)(x)為分布函數(shù)，則隨機變量F(Xi)U(0,1)。記,類似可討論 的極限分布。,a,10,過程:4：幾何布朗運動（指數(shù)布朗運動）,均值函數(shù),相關(guān)函數(shù),股票價格服從幾何布朗運動的證明,謝惠揚,a

3、,11,a,12,a,13,過程5：反射布朗運動,均值函數(shù),a,14,a,15,過程6：奧恩斯坦-烏倫貝克過程,其中,均值函數(shù),相關(guān)函數(shù),a,16,補充： 隨機變量序列或隨機過程 均方極限 均方連續(xù) 均方可導(dǎo) 均方可積,a,17,1均方極限的定義,定義 設(shè),如果,則稱Xn,n=1,2,均方收斂于X, 或稱 X 為Xn,n=1,2,的均方極限，記為,a,18,2 均方連續(xù),若對任意的tT, X(t), tT在t處均方連續(xù),則稱 X(t), tT在T上均方連續(xù). 或稱 X(t), tT是均方連續(xù)的.,1. 均方連續(xù)定義,a,19,3 均方導(dǎo)數(shù),1. 均方導(dǎo)數(shù)的定義,a,20,4 均方積分,1. 均方積分的定義,設(shè)X(t),ta,b是二階矩過程，f(t,u)是a,b U上的普通函數(shù)，對區(qū)間a,b 任一劃分,作和式,如果以下均方極限存在,a,21,該均方極限值Y(u)稱為,在a,b上的均方積分.,在a,b上均方可積.,記為,即,a,22,a,23,a,24,七.布朗運動的導(dǎo)數(shù)過程,a,25,a,26,八.布朗運動的積分過程,積分布朗運動是正態(tài)過程,a,27,九：在某點被吸收的布朗運動,a,28,本章作業(yè) 1. 2. 3. 6. 8.,a,29,舉例,1.寫出(，2)布朗運動的均值向量