1、2.12.1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關系問題由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關系問題 例例 1 20131 2013 年寧波市中考第年寧波市中考第 2626 題題 如圖 1，在平面直角坐標系中， O 為坐標原點， 點 A 的坐標為(0,4)，點 B 的坐標為(4,0)， 點 C 的坐標為(4,0)，點 P 在射線 AB 上運動，連結 CP 與 y 軸交于點 D，連結 BD過 P、 D、B 三點作Q，與y 軸的另一個交點為 E，延 長 DQ 交Q 于 F，連結 EF、BF （1）求直線 AB 的函數(shù)解析式； （2）當點 P 在線段 AB（不包括 A、B 兩點） 上時 求證：BDEADP； 設 DEx，DFy，請

2、求出 y 關于 x 的函 數(shù)解析式； （3）請你探究：點 P 在運動過程中，是否 存在以 B、D、F 為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為21？如果存在，求出此時 點 P 的坐標；如果不存在，請說明理由圖 1 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“13 寧波 26” ，拖動點 P 在射線 AB 上運動，可以體驗到， DEF 保持等腰直角三角形的形狀， y 是 x 的一次函數(shù) 觀察 BDBF 的度量值， 可以體驗到， BDBF 可以等于 2，也可以等于 0.5 請打開超級畫板文件名“13 寧波 26” ，拖動點 P 在射線 AB 上運動，可以體驗到， DEF 保持等腰直角三角形的形狀觀察

3、BDBF 的度量值，可以體驗到，BDBF 可以等 于 2，也可以等于 0.5 答案答案 （1）直線 AB 的函數(shù)解析式為 yx4 （2）如圖 2，BDECDEADP； 如圖 3，ADPDEPDPE，如圖 4，BDEDBPA， 因為DEPDBP，所以DPEA45 所以DFEDPE45因此DEF 是等腰直角三角形于是得到y(tǒng)2x 圖 2圖 3圖 4 （3）如圖 5，當 BDBF21 時，P(2,2)思路如下： 由DMBBNF，知BN 1 DM 2 2 2 3 設 OD2m，F(xiàn)Nm，由 DEEF，可得 2m24m解得m 因此D(0, )再由直線 CD 與直線 AB 求得交點 P(2,2) 如圖 6，當

4、 BDBF12 時，P(8,4)思路同上 4 3 圖 5圖 6 例例 2 20122 2012 年上海市徐匯區(qū)中考模擬第年上海市徐匯區(qū)中考模擬第 2525 題題 在 RtABC 中，C90，AC6，sin B 3 ，B 的半徑長為 1，B 交邊 CB 于 5 點 P，點 O 是邊 AB 上的動點 （1）如圖 1，將B 繞點 P 旋轉 180得到M，請判斷M 與直線 AB 的位置關系； （2）如圖 2，在（1）的條件下，當OMP 是等腰三角形時，求OA 的長； （3）如圖 3，點 N 是邊 BC 上的動點，如果以 NB 為半徑的N 和以 OA 為半徑的O 外切，設 NBy，OAx，求 y 關于

5、x 的函數(shù)關系式及定義域 圖 1圖 2圖 3 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“12 徐匯 25” ，拖動點 O 在 AB 上運動，觀察OMP 的三個頂 點與對邊的垂直平分線的位置關系，可以體驗到，點O 和點 P 可以落在對邊的垂直平分線 上，點 M 不能 請打開超級畫板文件名“12 徐匯 25” ， 分別點擊“等腰”按鈕的左部和中部，觀察三 個角度的大小，可得兩種等腰的情形點擊“相切”按鈕，可得y 關于 x 的函數(shù)關系 思路點撥思路點撥 1B 的三角比反復用到，注意對應關系，防止錯亂 2分三種情況探究等腰OMP，各種情況都有各自特殊的位置關系，用幾何說理的方 法比較簡單 3探求y 關于

6、 x 的函數(shù)關系式，作OBN 的邊 OB 上的高，把OBN 分割為兩個具有 公共直角邊的直角三角形 滿分解答滿分解答 （1）在 RtABC 中，AC6，sin B 所以 AB10，BC8 過點 M 作 MDAB，垂足為 D 在 RtBMD 中，BM2，sinB MD 3 ，所以MD 6 BM55 3 ， 5 因此 MDMP，M 與直線 AB 相離圖 4 （2）如圖 4，MOMDMP，因此不存在 MOMP 的情況 如圖 5，當 PMPO 時，又因為 PBPO，因此BOM 是直角三角形 在 RtBOM 中，BM2，cosB BO 4 ，所以BO 8 此時OA 42 BM555 如圖 6，當 OMO

7、P 時，設底邊 MP 對應的高為 OE 在 RtBOE 中，BE 3 ，cosB BE 4 ，所以BO 15 此時OA 65 2BO588 圖 5圖 6 （3）如圖 7，過點 N 作 NFAB，垂足為 F聯(lián)結 ON 當兩圓外切時，半徑和等于圓心距，所以ONxy 在 RtBNF 中，BNy，sinB 3 ，cosB 4 ，所以NF 3 y，BF 4 y 5555 在 RtONF 中，OF AB AO BF 10 x 4 y，由勾股定理得 ON2OF2NF2 5 于是得到(x y)2 (10 x 4 y)2(3y)2 55 整理，得y 25050 x 定義域為 0x5 x40 圖 7圖 8 考點伸

8、展考點伸展 第（2）題也可以這樣思考： 如圖 8，在 RtBMF 中，BM2，MF 6 ，BF 8 55 在 RtOMF 中，OF10 x 8 42 x，所以OM2 ( 42 x)2(6)2 5555 在 RtBPQ 中，BP1，PQ 3 ，BQ 4 55 在 RtOPQ 中，OF10 x 4 46 x，所以OP2( 46 x)2(3)2 5555 當 MOMP1 時，方程(42 x)2(6)2 1沒有實數(shù)根 55 當 POPM1 時，解方程(46 x)2(3)2 1，可得x OA 42 555 當 OMOP 時，解方程(42 x)2(6)2 ( 46 x)2(3)2，可得x OA 65 55

9、558 例例 3 20123 2012 年連云港市中考第年連云港市中考第 2626 題題 如圖 1，甲、乙兩人分別從 A、B 兩點同時出發(fā)，點 O 為坐標原點甲沿 AO 方向、乙 沿 BO 方向均以每小時 4 千米的速度行走， t 小時后， 甲到達 M 點， 乙到達 N 點 （1）請說明甲、乙兩人到達點 O 前，MN 與 AB 不可能平行； （2）當 t 為何值時，OMNOBA？ （3）甲、乙兩人之間的距離為 MN 的長設 sMN2，求 s 與t之 間 的 函 數(shù) 關 系 式 ， 并 求 甲 、 乙 兩 人 之 間 距 離 的 最 小 值圖 1 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“12 連

10、云港 26” ，拖動點N 在射線 BO 上運動，可以體驗到，當 上時， MNOBAO，M、N 都在 O 右側時， MN 與 AB 不平行 當點 A 落在MNBOMN OBA 請打開超級畫板文件名“12 連云港 26” ，拖動點N 在射線 BO 上運動，可以體驗到，當 上時， MNOBAO，M、N 都在 O 右側時， MN 與 AB 不平行 當點 A 落在MNBOMN OBAs 與 t 之間的函數(shù)關系式呈拋物線圖象，當t1 時，甲、乙兩人的最小距離為12 千米 答案答案 （1）當 M、N 都在 O 右側時， OM OA 所以 24tON64t2 12t，1t， 2OB63 OMON 因此 MN

11、與 AB 不平行 OAOB （2）如圖 2，當 M、N 都在 O 右側時，OMNB，不可能OMNOBA 如圖 3，當 M 在 O 左側、 N 在 O 右側時， MONBOA，不可能OMNOBA ONOA 如圖 4，當 M、N 都在 O 左側時，如果OMNOBA，那么 OMOB 4t 62 所以解得 t2 4t 26 圖 2圖 3圖 4 （3）如圖 2，OM 24t，OH 12t，MH 3(12t) NH ON OH (64t)(12t) 52t 如圖 3，OM 4t 2，OH 2t 1，MH 3(2t 1) NH ON OH (64t)(2t 1) 52t 如圖 4，OM 4t 2，OH 2t

12、 1，MH 3(2t 1) NH OH ON (2t 1)(4t 6) 52t 綜合、，s MN2 MH2 NH2 (52t)216t232t 28 16(t 1)2123(2t 1) 所以當 t1 時，甲、乙兩人的最小距離為12 千米 2 例例 4 20114 2011 年上海市中考第年上海市中考第 2525 題題 在 RtABC 中，ACB90，BC30，AB50點P 是 AB 邊上任意一點，直線PE AB，與邊 AC 或 BC 相交于 E點 M 在線段 AP 上，點 N 在線段 BP 上，EMEN， sinEMP 12 13 （1）如圖 1，當點 E 與點 C 重合時，求 CM 的長；

13、（2）如圖 2，當點 E 在邊 AC 上時，點 E 不與點 A、C 重合，設 APx，BNy，求 y 關于 x 的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域； （3） 若AMEENB （AME 的頂點 A、 M、 E 分別與ENB 的頂點 E、 N、 B 對應） ， 求 AP 的長 圖 1圖 2備用圖 動感體驗動感體驗 請打開幾何畫板文件名“11 上海 25” ，拖動點 P 在 AB 上運動，從圖象中可以看到，y 是 x 的一次函數(shù)觀察圖形和角度的度量值，可以體驗到，點E 在 AC 和 BC 上，各存在一 個時刻，AMEENB 請打開超級畫板文件名“11 上海 25” ，拖動點 P 在 AB 上運動，當點

14、 E 與點 C 重合時， CM 26點E 在邊 AC 上時，y 是 x 的一次函數(shù)當AP=42時，三角形相似，且滿足頂點 對應。 思路點撥思路點撥 1本題不難找到解題思路，難在運算相當繁瑣反復解直角三角形，注意對應關系 2備用圖暗示了第（3）題要分類討論，點E 在 BC 上的圖形畫在備用圖中 3第（3）題當 E 在 BC 上時，重新設 BPm 可以使得運算簡便一些 滿分解答滿分解答 （1）在 RtABC 中，BC30，AB50，所以 AC40，sinA 33 ，tanA 54 3 在 RtACP 中，CP ACsinA 40 24 5 在 RtCMP 中，因為sinCMP CP121313 ，

15、所以CM CP 24 26 CM131212 3 x 4 （2）在 RtAEP 中，EP APtanA 在 RtEMP 中，因為sinEMP 因此MP EP12EP12 ，所以tanEMP EM13MP5 55351313313 EP x x，EM EP x x 12124161212416 5 x 16 521 于是y BN AB AP NP 50 xx 50x 1616 已知 EMEN，PEAB，所以 MPNP 定義域為 0x32 513 xx AMEN 1616 （3）如圖 3，當 E 在 AC 上時，由，得 MENB1321 x50x 1616 x 解得 xAP22 如圖 4，當 E 在 BC 上時，設 BPm，那么 AP50m 在 RtBEP 中，EP 4 m 3 5545131313 EP m m，EM EP 4m m 12123912