1、三角函數(shù)的奇偶性與單調性三角函數(shù)的奇偶性與單調性 （考點 疏理+典型例題+練習題和解析） 3.33.3 三角函數(shù)的奇偶性與單調性三角函數(shù)的奇偶性與單調性 【知識網(wǎng)絡】1正弦、余弦、正切函數(shù)的奇偶性、對稱性； 正弦、余弦、正切函數(shù)的的單調性 【典型例題】 例 1(1) 已知aR，函數(shù)f (x) sin x|a|,xR為奇函數(shù)，則 a（） （A）0（B）1（C）1（D）1 (1)A提示：由題意可知，f (x) f (x)可得f (0) 0得 a=0 （2）函數(shù)f x tan x 20XX 屆高考數(shù)學一輪精品 3.33.3 的單調增區(qū)間為() 4 Ak,k ,k Z Bk,k 1,kZ 22 33

2、,k ,k Z Dk,kCk 4444 (2)C 提示：令k ,k Z 2 x 4 k 2 可得 （3）定義在 R 上的函數(shù)f (x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f (x)的最小正周期 是，且當x0, 2 時，f (x) sin x，則f ( 5 )的值為 ( ) 3 A. 3311 B. C. D. 2222 (3)B 提示：f ( 53 ) f (2) f () f () sin 333332 （4）如果f (x) sin(x)2cos(x)是奇函數(shù)，則tan (4)由f (x) f (x)可得f (0) 0 （）已知函數(shù)y f (x)滿足以下三個條件： 在0, 2 上是增函數(shù) 以為最小正周

3、期是偶函數(shù) 試寫出一滿足以上性質的一個函數(shù)解析式 (5)f (x) cos2x提示：答案不唯一，如還可寫成f (x) sinx等 例 2判斷下列函數(shù)的奇偶性 （）f (x) sin2xtan x；(2 )f (x) 1sin xcosx ； 1sin xcosx (3 )f (x) cos(sin x)；(4 )f (x) lgcos x 解： （1）Q f (x)的定義域為x k 2 (kZ)，故其定義域關于原點對稱， 又f (x) sin(2x)tan(x) sin2xtan x f (x) f (x)為奇函數(shù) （2）Q x 2 時，1sin xcosx 2，而x 2 時, 1sin xc

4、osx 0， f (x)的定義域不關于原點對稱， f (x)為非奇非偶函數(shù)。 （3）Q f (x)的定義域為 R，又f (x) cos(sin(x) cos(sin x) f (x) f (x)為偶函數(shù)。 （4） 由lgcos x 0得cosx 1，又cosx 1 cosx 1，故此函數(shù)的定義域為 x 2k(k Z)，關于原點對稱，此時f (x) 0 f (x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。 例 3已知:函數(shù)f x log 1 sin x cosx (1)求它的定義域和值域； (2)判斷它 2 的奇偶性； (3)求它的單調區(qū)間；（4）判斷它的周期性,若是周期函數(shù),求它的最小正 周期. 2sinx 0

5、 2k x 2k(k Z) 44 5 定義域為 2k ,2k , k Z, 44 1 2sinx 0, 2值域為 ,. 4 2 (2).定義域不關于原點對稱,函數(shù)為非奇非偶函數(shù) （3）sin xcos x 2sinx 0 4 35 ,2k)(kZ) f (x)的遞增區(qū)間為2k 44 解 :(1). 由sin x cosx 0 3 (kZ) 44 (4).Q f x2 log 1 sin x2cosx2 log 1 sin xcosx fx 遞減區(qū)間為(2k ,2k 22 f (x)是周期函數(shù),最小正周期 T 2. 例 4已知函數(shù)f (x) sin x2sin xcos x3cos x，xR求:

6、 (I) 函數(shù)f (x)的最大值及取得最大值的自變量x的集合； (II) 函數(shù)f (x)的單調增區(qū)間 解(I)f (x) 22 1cos2x3(1cos2x) sin2x1sin2xcos2x 22sin(2x) 224 2k當2x 4 2 ,即x k 8 (k Z)時,f (x)取得最大值22. 函數(shù)f (x)的取得最大值的自變量x的集合為x/ xR,x k (II)f (x) 22sin(2x 由題意得:2k 即:k 8 (k Z). 4 ) 2 2x 4 2k 2 (k Z) 3 x k(k Z) 88 3 ,k(k Z). 88 因此函數(shù)f (x)的單調增區(qū)間為k 【課內練習】 1函數(shù)

7、 f(x)=sin(2x+)+ 3cos(2x+)的圖像關于原點對稱的充要條件是 （ ） A=2k，kZ ZB=k，kZ Z 66 C=2k，kZ ZD=k，kZ Z 33 1D提示：f (x) sin(2x)3cos(2x) 2sin(2x 令 2在ABC中，C 3 ) 3 k可得 2 ，若函數(shù)y f (x)在0，1上為單調遞減函數(shù)，則下列命題正確的是 （A）f (cosA) f (cosB)（B）f (sin A) f (sinB) （C）f (sin A) f (cosB)（D）f (sin A) f (cosB) 2C提示：根據(jù)0 A B 2 得0 A 2 B 2 所以sin Asin

8、( 2 B) cosB 3.同時具有性質“ 最小正周期是； 圖象關于直線x 3 對稱； ,上是增函數(shù)”的一個函數(shù)是( ) 63 x Ay sin() By cos(2x ) 263 Cy cos(2x 在 ) Dy sin(2x ) 66 3D 提示：由性質(1)和(2)可排除 A 和 C ,再求出y sin(2x 4 設函數(shù)f (x) xsin x , x （） Ax 1 x 2 0 2 , 2 6 )的增區(qū)間即可 ，若f (x 1 ) f (x 2 )，則下列不等式必定成立的是 2Bx 1 2 x 2 Cx 1 x 2 Dx 1 x 2 4B 提示：易知f (x) f (| x|)，且當

9、xx 0 , 時，f (| x|)為增函數(shù)又由 2 2f (x 1 ) f (x 2 )，得f (| x 1 |) f (| x 2 |)，故| x 1 | | x 2 |，于是x 1 2 x 2 5.判斷下列函數(shù)奇偶性（1）f (x) |sin 2x| xtan x是； （2）f (x) cosx(1sin x) 是； 1sin x （3）f（x）=lg(sinx+ 1+sin2x)是 5 （1）偶函數(shù)（）非奇非偶函數(shù)（）奇函數(shù) 提示：先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，然后用奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷 1 ，則f (4cos 2)= 2 2 6 -4提示：f (4cos 2) f (8cos

10、 4) f (2) f (3) f (3) 4 6.若f (x)是以 5 為周期的奇函數(shù)，f (3) 4且cos 五個函數(shù)f (x) sinxf (x) cos2xf (x) sin2xf (x) tan(x) f (x) cos2xsin2x中，同時滿足f (x 2 ) f (x)且 f (x) f (x)的函數(shù)的序號為 7提示：不滿足f (x) f (x)不滿足f (x 8求下列函數(shù)的單調區(qū)間. 2 ) f (x) 1 2x sin ( (2)y cosx 2 4 3 4 1 2x 2x 令u 解:(1).原函數(shù)變形為y sin ,則只需求y sinu的單調區(qū)間 2 3434 2x 即可.

11、 y sinu在2k u 2k,(k Z)上 2342 39 即3k,(k Z)上單調遞增, x 3k 88 (1)y 2x3 2k,(k Z),上 2342 921 即3k x 3k ,(k Z),上單調遞減 88 391 2x ,3k故y sin 的遞減區(qū)間為: 3k , (k Z) 882 4 3 9 21 ,3k ,(k Z) .遞增區(qū)間為:3k 88 y sinu在2k u (2)原函數(shù)的增減區(qū)間即是函數(shù)y cosx 的減增區(qū)間,令u x 44 由函數(shù)y cosu的圖象可知:周期T 且 y cosu在k u x k,上, 24 3 即k x k,k Z上遞增, 44 在k u x k

12、即在k x k,k Z上遞減 4244 3 ,k ,遞增區(qū)間為k,k (k Z) 4444 故所求的遞減區(qū)間為k 已知f (x)為奇函數(shù)，且當x 0時，f (x) sin2xcosx （） 當x 0時，求f (x)的解析式； （） 當xR時，求f (x)的解析式 解：（） 當x 0時， 則 x 0，f (x) sin2(x)cos(x) sin2xcosx， 又f (x) 為奇函數(shù)，所以f (x) f (x) sin2xcosx （） 當xR時，f (x)為奇函數(shù)，所以f (0) 0 sin2xcos,x 0 由（）知f (x) 0, x 0 sin2xcosx,x 0 10已知函數(shù)f (x) sin(x)( 0,0 )是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點 3 ,0)對稱，且在區(qū)間0,上是單調函數(shù)，求和的值 42 解：由f (x)是R上的偶函數(shù)，得f (x) f (x)，即sin(x) sin(x)， 展開整理得：cossinx cossinx，對任意x都成立，且 0，所以cos 0 M( 又0 ，所以 得f ( 2 由f (x)的圖象關于點M對稱， 3 4 x) f ( 3 4 x) 取x 0，得f ( 所以f ( 3 4 ) f ( 3 4 )， 3 所以cos 4 3 ) 0，f (