1、1,機器人工程及應用,a,2,牛頓歐拉運動方程 拉格朗日動力學 關(guān)節(jié)空間與操作空間動力學,第五講：機器人動力學,a,3,前面我們所研究的機器人運動學都是在穩(wěn)態(tài)下進行的，沒有考慮機器人運動的動態(tài)過程。實際上，機器人的動態(tài)性能不僅與運動學相對位置有關(guān)，還與機器人的結(jié)構(gòu)形式、質(zhì)量分布、執(zhí)行機構(gòu)的位置、傳動裝置等因案有關(guān)。機器人動態(tài)性能由動力學方程描述，動力學是考慮上述因素，研究機器人運動與關(guān)節(jié)力(力矩)間的動態(tài)關(guān)系。描述這種動態(tài)關(guān)系的微分方程稱為機器人動力學方程。機器人動力學要解決兩類問題： 動力學正問題和逆問題。,a,4,動力學正問題是根據(jù)關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩或力，計算機器人的運動(關(guān)節(jié)位移、速度和加速度

2、)； 動力學逆問題是已知軌跡對應的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)力矩或力。 不考慮機電控制裝置的慣性、摩擦、間隙、飽和等因素時，n 自由度機器人動力方程為n個二階耦合非線性微分方程。方程中包括慣性力/力矩、哥氏力/力矩、離心力/力矩及重力/力矩，是一個耦合的非線性多輸入多輸出系統(tǒng)。對機器人動力學的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛頓一歐拉(NewtonEuler)、高斯(Gauss)、凱恩(Kane)、旋量對偶數(shù)、羅伯遜一魏登堡(RobersonWittenburg)等方法。,a,5,研究機器人動力學的目的是多方面的。 動力學正問題與機器人的仿真有關(guān)； 逆

3、問題是為了實時控制的需要，利用動力學模型，實現(xiàn)最優(yōu)控制，以期達到良好的動態(tài)性能和最優(yōu)指標。在設(shè)計中需根據(jù)連桿質(zhì)量、運動學和動力學參數(shù)、傳動機構(gòu)特征和負載大小進行動態(tài)仿真，從而決定機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳動方案，驗算設(shè)計方案的合理性和可行性，以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化程度。 在離線編程時，為了估計機器人高速運動引起的動載荷和路徑偏差，要進行路徑控制仿真和動態(tài)模型仿真。這些都需要以機器人動力學模型為基礎(chǔ)。,研究機器人動力學的目的,a,6,5.1 機器人靜力學 機器人靜力學研究機器人靜止或者緩慢運動時作用在手臂上的力和力矩問題，特別是當手端與外界環(huán)境有接觸力時，各關(guān)節(jié)力矩與接觸力的關(guān)系。 下圖表示作用在機器人手臂桿件

4、i上的力和力矩。其i-1fi為桿件i-1對桿i的作用力，-ifi+1為桿i+1對桿i的作用力，i-1Ni為桿件i-1對桿i的作用力矩，-iNi+1為桿i+1對桿i的作用力矩，ci為桿i質(zhì)心。,作用在桿i的力和力矩,a,7,根據(jù)力、力矩平衡原理有,a,8,5.2 機器人動力學正問題 機器人動力學正問題研究機器人手臂在關(guān)節(jié)力矩作用下的動態(tài)響應。其主要內(nèi)容是如何建立機器人手臂的動力學方程。建立機器人動力學方程的方法有牛頓歐拉法和拉格朗日法等。,a,9,1、牛頓歐拉法方程 在考慮速度與加速度影響的情況下，作用在機器人手臂桿i上的力和力矩如右圖所示。其中vci和i分別為桿i質(zhì)心的平移速度向量和此桿的角速

5、度向量。 根據(jù)力、力矩平衡原理有:,5-1,5-2,稱5-1為牛頓方程，5-2為歐拉方程。,a,10,其中Ii為桿i繞其質(zhì)心的慣性張量,a,11,2、 拉格朗日方程 牛頓一歐拉運動學方程是基于牛頓第二定律和歐拉方程，利用達朗伯原理，將動力學問題變成靜力學問題求解。該方法計算快。拉格朗日動力學則是基于系統(tǒng)能量的概念，以簡單的形式求得非常復雜的系統(tǒng)動力學方程，并具有顯式結(jié)構(gòu)，物理意義比較明確。,(1) 拉格朗日函數(shù) 對于任何機械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)總的動能Ek與總的勢能Ep之差，即:,表示動能與勢能的廣義坐標,相應的廣義速度,a,12,(2) 機器人系統(tǒng)動能 在機器人中，連桿是運動部件，

6、連桿i的動能Eki為連桿質(zhì)心線速度引起的動能和連桿角速度產(chǎn)生的動能之和，即:,系統(tǒng)的動能為n個連桿的動能之和，即：,a,13,由于 和 是關(guān)節(jié)變量 和關(guān)節(jié)速度 的函數(shù)，因此，從上式可知，機器人的動能是關(guān)節(jié)變量和關(guān)節(jié)速度的標量函數(shù)，記為 ，可表示成：,式中， 是nxn階的機器人慣性矩陣,a,14,3機器人系統(tǒng)勢能 設(shè)連桿i的勢能為 ，連桿i的質(zhì)心在O坐標系中的位置矢量為 ，重力加速度矢量在坐標系中為g，則： 機器人系統(tǒng)的勢能為各連桿的勢能之和，即： 它是q的標量函數(shù)。,a,15,4拉格朗日方程 系統(tǒng)的拉格朗日方程為： 上式又稱為拉格朗日歐拉方程，簡稱LE方程。式中， 是n個關(guān)節(jié)的驅(qū)動力或力矩矢量

7、，上式可寫成：,a,16,例平面RP機器人如圖所示，連桿l和連桿2的質(zhì)量分別為m1和m2，質(zhì)心的位置由l1和d2所規(guī)定，慣量矩陣為：,a,17,(1) 取坐標，確定關(guān)節(jié)變量和驅(qū)動力或力矩 建立連桿D-H坐標系如上圖所示，關(guān)節(jié)變量為1+/2為求解方便，此處取關(guān)節(jié)變量為1和d2，關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩l和力f2。,a,18,(2)系統(tǒng)動能 由式(1)，分別得,1,總動能為：,a,19,(3)系統(tǒng)勢能 因為：,則：,總勢能為：,a,20,(4)偏導數(shù),a,21,(5)拉格朗日動力學方程 將偏導數(shù)代入拉格朗日方程，得到平面RP機器人的動力學方程的封閉形式：,拉格朗日方程,2,a,22,(1)關(guān)節(jié)空間動力學方程

8、將式2寫成矩陣形式：,3、關(guān)節(jié)空間與操作空間動力學,式中,3,a,23,式(3)為機器人在關(guān)節(jié)空間中的動力學方程封閉形式的一般結(jié)構(gòu)式。它反映了關(guān)節(jié)力或力矩與關(guān)節(jié)變量、速度和加速度之間的函數(shù)關(guān)系。對于n個關(guān)節(jié)的機器人， 是nn正定對稱矩陣，是q的函數(shù)，稱為機器人慣性矩陣； 是n1的離心力和哥氏力向量； 是n1重力矢量，與機器人的形位q有關(guān)。,a,24,2操作空間動力學方程 與關(guān)節(jié)空間動力學方程相對應，在笛卡爾操作空間中，操作力F與末端加速度 之間的關(guān)系可表示為：,操作空間中的慣性矩陣,離心力和哥氏力矢量,重力矢量,廣義操作力矢量,機器人末端位姿向量,a,25,由上一章可知，廣義操作力和關(guān)節(jié)力之間的關(guān)系為：,操作空間與關(guān)節(jié)空間之間的速度與加速度的關(guān)系：,比較關(guān)節(jié)空間與操作空間動力學方程，可以得到：,a,26,3關(guān)節(jié)力矩操作