1、廣東省珠海市金海岸中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座曲線軌道方程方法高考要求曲線的軌跡方程是分析幾何的兩個基本問題之一，即找到符合特定條件的移動點的軌跡方程，其本質(zhì)上利用問題設(shè)置的幾何條件，利用“坐標(biāo)化”來探索變量之間的關(guān)系等問題，不僅可以充分調(diào)查學(xué)生對圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基本知識的掌握，還可以充分調(diào)查各種數(shù)學(xué)思維方式、一定的推理能力和計算能力，因此，這一問題成為高考提案的熱點問題，成為學(xué)生們的大難題中南柔道求曲線軌跡方程的方法有直接方法、定義方法、替換方法和參數(shù)方法(1)直接方法是移動點滿足的幾何條件或等正關(guān)系、直接坐標(biāo)化、等式簡化移動點軌跡方程的列表(2)如果滿足基本軌跡定義(例如橢圓、雙曲、拋物

2、線、圓等)，則可以定義自己的導(dǎo)航(3)相關(guān)點方法是根據(jù)相關(guān)點滿足的方程通過轉(zhuǎn)換找到點的軌跡方程(4)如果參數(shù)方法移動點的坐標(biāo)(x，y)中的x，y分別隨其他變量的變化而變化，則可以將此變量用作參數(shù)，以建立軌跡的參數(shù)表達式要找到軌跡方程，必須注意軌跡的純粹性和完整性，區(qū)分軌跡方程和軌跡方程是兩個不同的概念典型問題例子說明示例1如圖所示，P(4，0)是圓x2 y2=36內(nèi)的一個點，a，b是圓上的兩個移動點，APB=90滿足矩形APBQ的頂點q的軌跡方程命題意圖的這個問題主要用“相關(guān)點替換法”來調(diào)查求曲線的軌跡方程知識依賴于平面幾何的基本知識，以及使用兩點之間的距離公式建立段AB中點的軌跡方程如果錯誤

3、地求解了想要q的軌跡方程，就必須先求出r的軌跡方程。學(xué)生不深入思考，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，就很難解決這個問題更復(fù)雜的勘探軌跡方程問題的技術(shù)和方法，可以先確定更容易求出的點的軌跡方程，然后將該點作為主動點，將所需軌跡上的點作為相關(guān)點，求出軌跡方程如果解決方案AB的中點為r，坐標(biāo)為(x，y)，則在RtABP中，|AR|=|PR|在RtOAR中，垂直清理為| ar | 2=| ao | 2-| or | 2=36-(x2 y2)，因為r是代碼AB的中點此外，|AR|=|PR|=因此，存在(x-4) 2 y2=36-(x2y2)，即x2y2-4x-10=0因此，當(dāng)點r在圓上，而r在圓上移動時，q點在所需軌跡

4、上移動設(shè)定Q(x，y)，R(x1，y1)，因為R是PQ的中點。x1=、參數(shù)表達式x2 y2-4x-10=0-10=0整理為X2 y2=56。這就是所需的軌道方程式范例2點a和b尋找OAob，omab，點m的軌跡方程式(稱為兩個移動點，而不是拋物線y2=4px (p 0)的原點)，并描述表示哪些曲線命題意圖的這個問題主要調(diào)查求曲線軌跡方程的“參數(shù)方法”知識依賴于直線和拋物線的位置關(guān)系請注意有關(guān)“x1=x2”的討論，其中錯誤分析a，b兩點的坐標(biāo)分別設(shè)置為(x1，y1)，(x2，y2)提示和方法將移動點的坐標(biāo)x，y表示為其他相關(guān)量，然后刪除該量以建立與x，y的關(guān)系解決方案A(x1，y1)、B(x2，

5、y2)、M(x，y) (x0)線AB的方程式為x=my a在omab中，m=-Y2=4px和x=my a，刪除x，y2-4p my-4pa=0所以y1 y2=-4pa，x1x2=所以在OAob中，x1x2=-y1 y2所以因此，x=my 4p，m=-替換，x2y2-4px=0 (x 0)因此，goto點m的軌跡方程為x2y2-4px=0 (x 0)，它表示以(2p，0)為中心、以2p為半徑的圓，并消除坐標(biāo)原點求解兩個OA方程的方法是y2=4pxOB的方程式為y2=4px。Ab的方程是，過點，在omab中，m位于ON直徑圓(不包括o點)上因此，goto點m的軌跡方程為x2y2-4px=0 (x

6、0)，它表示以(2p，0)為中心、以2p為半徑的圓，并消除坐標(biāo)原點解三個M(x，y) (x0)，OA的方程式是，替代y2=4pxOB的方程式為y2=4px。在omab中m位于OA直徑的圓中.，OB直徑圓.上方(o點除外)， x2 y2-4px=0 (x 0)因此，goto點m的軌跡方程為x2y2-4px=0 (x 0)，它表示以(2p，0)為中心、以2p為半徑的圓，并消除坐標(biāo)原點示例3檢查器使用直徑通常為2厘米、直徑為1厘米的標(biāo)準(zhǔn)圓柱檢測直徑為3厘米的圓柱，并詢問另外插入兩個合適的東弧標(biāo)準(zhǔn)圓柱以確保質(zhì)量，這兩個標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑是多少。命題意圖這個問題檢驗了求曲線軌跡方程的“定義法”，以及將實際問

7、題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力知識依賴圓錐曲線的定義來尋找兩條曲線的交點。正確理解問題解決分析問題的意義，正確地把這個實際問題變成數(shù)學(xué)問題，是順利解決這個問題的關(guān)鍵技巧和方法研究所通過創(chuàng)建圓柱體的截面和創(chuàng)建適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到移動圓心的軌跡方程將3個直徑為3，2，1的圓心分別解為o，a，b，問題是求出二等圓p，q， o和內(nèi)接，a，b和外接創(chuàng)建坐標(biāo)系并將半徑設(shè)置為rp，如圖所示| pa | | po |=(1 r) (1 5-r)=2 5點p集中在a，o上，位于長軸長度為2 5的橢圓上，其方程式為=1 同樣，p關(guān)注o，b，長軸長度為2的橢圓也存在，其方程式為(x-) 2 y2=1 ，能解決。r=圓柱的直徑

8、為cm示例4知道a，b是兩點，移動點m到a的距離比是常數(shù)，求點m的軌跡方程，顯示軌跡是什么樣的曲線建立座標(biāo)系統(tǒng)，如下所示：設(shè)定|AB|=2a時，a (-a，0)，b (a，0)將M(x，y)設(shè)定為軌跡上的任意點從問題設(shè)定=，坐標(biāo)中的替換，獲取=，簡化(1-2)x2(1-2)y2 2a(12)x(1-2)a2=0(1) =1時，如果|MA|=|MB|，則點m的軌跡方程式為x=0，點m的軌跡為直線(y軸)(2) 1時，點m的軌跡方程是x2 y2 x a2=0點m的軌跡是以圓(-，0)為中心有半徑的圓學(xué)生整合練習(xí)1橢圓的焦點已知為F1，F(xiàn)2，p。如果將F1P延伸到q，使其成為| pq |=| pf2

9、 |，則轉(zhuǎn)至點q的軌跡為()圓b橢圓c雙曲d拋物線如果2是a1，A2是橢圓=1的長軸的兩個端點，P1，P2是垂直于A1A2的弦端點，則直線A1和A2P2交點的軌跡表達式為()A BC D在3 ABC中，如果a是運動點，b，c是固定點，b (-，0)，c(，0)，并且滿足條件sinc-sinb=Sina，則運動點a的軌跡方程為_ _ _ _ _ _ _ _如果兩個5米和3米高的旗桿垂直于水平地面10米處，兩個旗桿的底部坐標(biāo)分別確定為a (-5，0)、b A(-5，0)，則觀察兩個旗桿頂部仰角相同的點的軌跡表達式為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _已知5 a，b，c是直線l上的三個點，

10、|AB|=|BC|=6，O 將直線l與點a相交，b，c將 o 與點p相交，以找出點p的軌跡方程式6雙曲線=1的實際軸為A1A2，點p是雙曲線上的移動點，A1Q、A1P、A2Q、A2P、A1Q和A2Q的交點求出q、QR點的軌跡方程7已知雙曲=1 (m 0，n 0)的頂點為A1，A2，與y軸平行的直線l是點p，q的雙曲線(1)求直線A1P和A2Q交點m的軌跡方程。(2) mn時，尋找結(jié)果圓錐曲線的焦點座標(biāo)、準(zhǔn)線方程式和偏心率8已知橢圓=1 (a b 0)，點p是上一點，F(xiàn)1，f 2是橢圓的焦點， f1pf 2的外部角度平分線是l，點F2的l的對稱點是q，F(xiàn)2Q交點l在點r(1)求出p點在橢圓上運動

11、時r形成的軌跡方程。(2)點r形成的曲線為c，直線l y=k(x a)在曲線c和a，b的兩點相交，并且AOB的面積獲得最大值時，得到k的值參考答案1分析/pf1 | | pf2 |=2a，| pq |=| pf2 |，pf1 | | pf2 |=| pf1 | | pq |=2a，也就是說，移動點q的軌跡是圓，因為| F1q |=2a，從移動點q到點f1的距離等于固定長度2a答案a2解釋設(shè)置IP (x，y)、a1 (-3，0)、a2 (3，0)、P1 (x0，y0)、p2 (x0，-y0)a1、P1、p共線、p共線a2、P2、p共線、p共線X0=回答c3解釋為sinc-sinb=Sina，c-

12、b=a，雙曲線必須是一個，實際軸為長度，因此方程式為答案4解釋設(shè)置P(x，y)，按主題將P點跟蹤方程式減小到4x2 4 y2-85x100=0回答4x2 4 y2-85x100=05 b，c與l和其他兩條切線分別與d，e的兩個點相交，這兩條切線被稱為切線的特性| ba | | BD | | PD | | PE |，| ca | | ce | |因此| Pb | | PC=| ba | | ce |=| ab | | ca |=6 12=18 6=| BC |。因此，通過橢圓定義，點p的軌跡是側(cè)重于b，c的橢圓，帶有l(wèi)的直線可以通過x軸，BC的中點作為原點創(chuàng)建坐標(biāo)系，移動點p的軌跡方程為=1(y

13、0)6 P(x0，y0)(xa)，Q(x，y)a1(-a，0)，a2 (a，0)根據(jù)條件點P(x0，y0)為雙曲線，B2 x02-a2y 02=a2 B2即B2 (-x2)-a2 () 2=a2 B2簡化Qpoint的軌跡方程為a2 x2-B2 y2=a4 (x a)如果7解法(1) p點的座標(biāo)為(x1，y1)，則q點座標(biāo)為(x1，-y1)，a1 (-m，0)，a2 (m，0)，A1P的方程式為y=A2Q的方程式為y=- y2=-雙曲線上有點p相反，定理=1這是m的軌跡方程(2) mn時，m的軌跡方程是橢圓的(I)如果m n，則焦點坐標(biāo)為(，0)，準(zhǔn)繩方程式為x=，離心率e=；(ii)如果m n，則焦點坐標(biāo)為(0，)，準(zhǔn)繩方程為y=，離心率e=8解法(1)點F2 l的對稱點為q，連接PQ。f2per=qpr，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|點f1，p，q在同一直線上為r (x0，y0)，q (x1，y1)，f1 (-c，0)，F(xiàn)2 (c，0)|F1Q|=|F2P