1、課 題三 角 函 數(shù) 線-任意角三角函數(shù)的幾何表示教 學(xué) 背 景1 教材地位分析： 本課時(shí)選自數(shù)學(xué)必修4（蘇教版）第一章任意角的三角函數(shù)第2課時(shí)。三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，課標(biāo)要求在整章的教學(xué)過程中突出數(shù)形結(jié)合的思想方法。三角函數(shù)線作為三角函數(shù)的幾何表示，它的應(yīng)用不僅體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又貫穿整個(gè)三角函數(shù)的教學(xué)，如：探索任意角的同名三角函數(shù)值的變化規(guī)律、比較不同名三角函數(shù)值的大小、探究三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、推導(dǎo)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式等。可以說，三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的重要工具。2 學(xué)習(xí)情況分析：本班男女生人數(shù)均衡，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太扎實(shí)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣較高。學(xué)習(xí)本節(jié)前，在初中已學(xué)過銳角三角函

2、數(shù)，新學(xué)了任意角三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律、誘導(dǎo)公式（一）、為三角函數(shù)線的尋找奠定了知識(shí)基礎(chǔ)。3 教學(xué)設(shè)計(jì)理念：這節(jié)課借助多媒體技術(shù)，遵循“觀察猜想論證”的教學(xué)模式，倡導(dǎo)積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神和合作探究式的學(xué)習(xí)方式；教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生思維，不斷提出問題，研究問題，并解決問題；重視在師生、生生互動(dòng)交流的過程中滲透情感態(tài)度與價(jià)值觀；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的合理整合。教 學(xué) 目 標(biāo)1知識(shí)目標(biāo)了解如何利用單位圓中的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用三角函數(shù)線表示,并能利用三角函數(shù)線解決簡(jiǎn)單的三角問題。2能力目標(biāo)借助幾何畫板經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，提高

3、觀察、類比、猜想和實(shí)驗(yàn)探索的能力； 提高抽象概括、分析歸納、數(shù)學(xué)表述等基本數(shù)學(xué)思維能力。3情感目標(biāo)激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱情，培養(yǎng)分析、探究問題的能力，促進(jìn)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)和感悟。教 學(xué) 重 點(diǎn) 難 點(diǎn)1重 點(diǎn)三角函數(shù)線的探究與作法，及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。2難 點(diǎn)用有向線段表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值的幾何形式。教 學(xué) 方 法 與 教 學(xué) 手 段1教學(xué)方法演示、討論、合作學(xué)習(xí)2學(xué)法指導(dǎo)類比、聯(lián)想，產(chǎn)生知識(shí)遷移；觀察、實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)知識(shí)的形成過程；猜想、論證，獲得知識(shí)的延展。3教學(xué)資源多媒體技術(shù)，幾何畫板課件等教 學(xué) 過 程 設(shè) 計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教 學(xué) 過 程設(shè) 計(jì) 說 明一創(chuàng)設(shè)問題情境引入學(xué)習(xí)主題我們?cè)趯W(xué)習(xí)

4、數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，常會(huì)把較為抽象的數(shù)學(xué)概念借助直觀具體的圖像加以理解和認(rèn)識(shí)。比如：學(xué)習(xí)正數(shù)與負(fù)數(shù)的概念時(shí)，如果把向東走40米記為+40米，那么往西走40米，就記為 -40米，可以用圖形表示為：+40米- 40米向西走40米向東走40米前面學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，借助于函數(shù)圖像，直觀地認(rèn)識(shí)了它們的性質(zhì)。我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生就對(duì)數(shù)形結(jié)合在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的作用有精辟的論述：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微?，F(xiàn)在，我們學(xué)習(xí)了任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)的定義。能不能也用圖像的形式直觀地表示任意角的三角函數(shù)值呢？這節(jié)課，我們就來一起研究，解決這個(gè)問題：（板書課題）啟動(dòng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)（板書）為有向線段的引入鋪墊二、探究建構(gòu)數(shù)

5、學(xué)知識(shí)1、 觀察討論，歸納猜想問題引導(dǎo)1： 在初中我們學(xué)過銳角三角函數(shù)，銳角三角函數(shù)是通過直角三角形中邊的比表示的，如果把銳角放在直角坐標(biāo)系中再來看銳角函數(shù)的定義，并與任意角的三角函數(shù)的定義進(jìn)行比較，能猜想一下，可以用什么幾何圖形直觀地表示三角函數(shù)的值？學(xué)生活動(dòng)：畫圖，思考，討論，提出猜想。（幾何畫板2）學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生對(duì)初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的定義印象深刻。結(jié)合前節(jié)課新學(xué)的任意角三角函數(shù)的定義及問題1的思考，可以達(dá)成以下共識(shí)： 1）銳角三角函數(shù)的定義與第一象限角的三角函數(shù)的定義是一致的，體現(xiàn)一般到特殊。2）銳角三角函數(shù)是用三邊比值定義的，也就是通過線段的比反映，所以猜想任意角的三角函數(shù)值是不是

6、也可以用線段來表示？2. 探究猜想結(jié)果問題引導(dǎo)2： 有了這個(gè)猜想，我們重新關(guān)注任意角的正弦是如何定義的? （再現(xiàn)定義）問題引導(dǎo)3：注意定義中文字描述，你能進(jìn)一步簡(jiǎn)化正弦的表達(dá)式嗎？ 學(xué)情預(yù)設(shè)：借助幾何畫板，拖動(dòng)點(diǎn)P在終邊上的位置，觀察，可以注意到定義中“任意一點(diǎn)P”，確定三角函數(shù)值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，從而猜想若讓r取1，則正弦形式可以簡(jiǎn)化為.此時(shí)，引進(jìn) 單 位 圓 的定義：以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓稱為單位圓。這樣，任意角的終邊上都取與單位圓的交點(diǎn)P，此時(shí)r=1，分別為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。從學(xué)生熟悉的知識(shí)環(huán)境入手，可以從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)尋找知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)進(jìn)一步認(rèn)清三角函數(shù)概念 的本質(zhì) 只研究特

7、殊情況，對(duì)有向線段有初步的認(rèn)識(shí)相關(guān)概念在需要的時(shí)候自然引入，分散了教學(xué)難點(diǎn),使學(xué)生能夠更多的圍繞重點(diǎn)展開探索和研究根據(jù)對(duì)正弦線的詳細(xì)研究，簡(jiǎn)明扼要地得余弦線正切線的研究對(duì)學(xué)生來說既是知識(shí)的遷移，也是思維的跨越，要先讓學(xué)生類比、聯(lián)想 及時(shí)歸納，把握知識(shí)間的聯(lián)系，利于理解和記憶.通過練習(xí)讓知識(shí)內(nèi) 化培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力培養(yǎng)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)逆向思維，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，深化數(shù)學(xué)知識(shí)3.驗(yàn)證猜想問題引導(dǎo)4： 通過上面的討論結(jié)果，任意角的正弦函數(shù)值可以用線段來表示嗎？請(qǐng)大家在各個(gè)象限及坐標(biāo)軸上找角進(jìn)行討論、驗(yàn)證。學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生通過討論，得出一些猜想：角終邊上取了與單位圓的交點(diǎn)后，正弦函數(shù)值轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)的

8、縱坐標(biāo)，而縱坐標(biāo)的絕對(duì)值就是點(diǎn)P到軸的距離，說明正弦函數(shù)值可以用線段長(zhǎng)度來表示，但是還要根據(jù)不同象限角，加上正負(fù)符號(hào)才行。（這樣的話，已經(jīng)很接近這節(jié)課的中心了。）問題引導(dǎo)5：如果我們能讓上面的猜想中線段的長(zhǎng)度和符號(hào)統(tǒng)一起來就更完美了，有這樣的統(tǒng)一嗎？學(xué)情預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生觀察前面正負(fù)數(shù)的直觀表示，物理中也有矢量知識(shí)儲(chǔ)備，只要規(guī)定正方向就可以解決這個(gè)問題了。定義有向線段：規(guī)定了方向的線段。（1）方向：按書寫順序，前為起點(diǎn)，后為終點(diǎn)，由起點(diǎn)指向終點(diǎn). (2) 有向線段的數(shù)量（只考慮在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的有向線段） 師生互動(dòng)：結(jié)合有向線段進(jìn)一步確定正弦函數(shù)值的幾何表示：取角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P,

9、過點(diǎn)P作軸的垂線，設(shè)垂足為M，則有向線段MP=。(學(xué)生分析的同時(shí)，教師用幾何畫板演示) 4實(shí)驗(yàn)辨析得出結(jié)論通過幾何畫板的演示，特別地,當(dāng)角的終邊在軸上時(shí),有向線段MP變成一個(gè)點(diǎn),記數(shù)值為0.定義角的正弦線。5.類比猜想，知識(shí)遷移問題引導(dǎo)6：仿照正弦線產(chǎn)生的思路，推理用哪條有向線段可以表示角的余弦比較合適? 學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生通過主動(dòng)思考參與正弦線得出的過程，易得任意角的余弦線。定義角的余弦線。問題引導(dǎo)7：類似的，正切函數(shù)的定義？怎樣簡(jiǎn)化定義中的表達(dá)式？與正弦的表達(dá)式進(jìn)行類比，思考解決問題的辦法。6.任意角的正切值的幾何表示學(xué)情預(yù)設(shè)：仿照正弦線研究方法，學(xué)生易想到：可令=1, 即取終邊上橫坐標(biāo)為1的

10、點(diǎn)，但不一定想到要做圖中A的圓的切線，教師分析引導(dǎo)做圖中A的圓的切線并找到與角終邊的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)，有=AT。用線段表示正切初顯眉目，但是會(huì)很快發(fā)現(xiàn)第二、三象限角的終邊上沒有橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)，若此時(shí)取的點(diǎn)，,有向線段的表示方法又不能統(tǒng)一,產(chǎn)生符號(hào)問題。進(jìn)一步思考如何解決，怎樣向靠攏，才能解決方向問題？ 師生互動(dòng)：歸納合作討論結(jié)果：（幾何畫板演示）1）在象限角的終邊或其反向延長(zhǎng)線上取=1的點(diǎn)T，則tan=AT；2）借助正弦線、余弦線以及相似三角形知識(shí)得到注意當(dāng)?shù)慕K邊落在Y軸上時(shí)，有向線段AT的變化。定義正切線。 定義三角函數(shù)線.7.作法總結(jié)請(qǐng)大家總結(jié)這三種三角函數(shù)線的作法,邊說邊用幾何畫板演示

11、：第一步：作出角的終邊，與單位圓交于點(diǎn)P；第二步：過點(diǎn)P作軸垂線，垂足M，得正弦線MP、余弦線OM； 第三步：過點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)設(shè)為T，得角的正切線AT。特別注意：三角函數(shù)線是有向線段，表示這些線段時(shí)，要注意書寫順序.余弦線以原點(diǎn)為起點(diǎn)，正弦線和正切線以此線段與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)為起點(diǎn)，其中點(diǎn)A為定點(diǎn)（1，0）。三、數(shù)學(xué)演練及應(yīng)用1.牛刀小試：試著畫出下列各角的正弦線、余弦線、正切線： （1）;（2）；（3）0；（4）學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生畫圖,根據(jù)完成情況做點(diǎn)評(píng),并強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)線的位置和方向.2開拓思考：根據(jù)單位圓中的正弦線，能發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)值有怎么樣的變化規(guī)

12、律？余弦呢？正切？師生互動(dòng)：利用幾何畫板演示，觀察角的終邊在各位置的情形,結(jié)合三角函數(shù)線和已學(xué)知識(shí)，合作討論，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。 學(xué)情預(yù)設(shè)：（1）當(dāng)角的終邊在第一象限逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，正弦、正切值逐漸增大，余弦值逐漸減小;（2） ()時(shí)，正切線不存在。（3）-11, -11, R (4)一些特殊角的三角函數(shù)值也可以從圖中得出。（5）利用三角函數(shù)線，易比較同角或不同角的三角函數(shù)值； 根據(jù)學(xué)生探究實(shí)際情況，得出相關(guān)結(jié)論。3.數(shù)學(xué)運(yùn)用：（用三角函數(shù)線可以很方便的解決哪些問題？）例1 比較下列各組數(shù)的大小：（1） 與 (2) 與（3） 與 (4) 與 師生互動(dòng)：學(xué)生先做，后講評(píng)。例2 若，則的取值范圍是_。解析：

13、觀察歸納角的終邊與直線重合時(shí)，正、余弦函數(shù)值的關(guān)系。例3 利用三角函數(shù)線畫出適合下列條件的角的終邊：（1）；（2）； （3）.師生互動(dòng)：共同分析（1）（幾何畫板5動(dòng)態(tài)演示）學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)學(xué)生分析（2）、(3),同時(shí)用幾何畫板演示. 例4. 利用幾何畫板畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：（1）; （2）. 師生互動(dòng)：分析：先作出滿足，的角的終邊(例3已做)，然后根據(jù)已知條件確定角終邊的范圍,注意周期性.（幾何畫板5動(dòng)態(tài)演示）四、歸納反 思，課堂延展1. 數(shù)形結(jié)合思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩方面. 自從數(shù)學(xué)家歐拉提出三角函數(shù)與三角函數(shù)線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得對(duì)三角函數(shù)的研究大為簡(jiǎn)化，將任意角的三角函數(shù)值分別用有向線段表示出來體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化；借助三角函數(shù)線求解三角函數(shù)方程和不等式又發(fā)揮了由形到數(shù)的巨大作用。它為解三角不等式、比較大小、以及研究三角函數(shù)圖像與性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。2. 鞏固練習(xí)，課本：16頁