1、a,1,中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的教學(xué),一 數(shù)學(xué)概念及其教學(xué),二 數(shù)學(xué)命題及其教學(xué),三 數(shù)學(xué)推理、證明及其教學(xué),a,2,一 數(shù)學(xué)概念及其教學(xué),數(shù)學(xué)概念概述 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本要求和教法探討,a,3,數(shù)學(xué)概念概述,數(shù)學(xué)概念的意義 反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式叫做“數(shù)學(xué)概念”。 “屬性”與“本質(zhì)屬性” ；概念及其名稱和符號 數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和發(fā)展的途徑 （1）從現(xiàn)實模型直接得來； （2）經(jīng)過多級抽象概括得來； （3）從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要產(chǎn)生出來；,數(shù)量關(guān)系和空間形式,a,4,概念的內(nèi)涵和外延 概念的內(nèi)涵亦稱內(nèi)包，指概念所反映的對象的特有屬性、本質(zhì)屬性。 概念的外延亦稱外包，指概念所反映的對

2、象的總和。 例：“ABC的頂點” 內(nèi)涵是指點的性質(zhì)和其中任一點同在這個三角形兩邊之上這個性質(zhì)； 外延是指 A、B、C三點的集合。 注：（1）數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學(xué)科學(xué)體系中來認(rèn)識的。例如，角的概念在平面幾何中和在平面三角中的內(nèi)涵和外延均不同。 （2）概念的內(nèi)涵和外延是發(fā)展的,a,5,概念間的關(guān)系（概念外延間的同異關(guān)系） 1、相容關(guān)系 （1）同一關(guān)系（全同關(guān)系或重合關(guān)系） 外延完全重合，內(nèi)涵可以不同。 例如：數(shù)0是擴(kuò)大的自然數(shù)集中最小的數(shù)，又是正數(shù) 與負(fù)數(shù)的分界數(shù)，在數(shù)的運算中它又是兩個相等數(shù) 的差等； 等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角的平分線 的外延都是同一條線段，而內(nèi)涵也各不

3、相同。 注：研究概念間的同一關(guān)系，可以對概念所反映的對 象得到較深刻、較全面的認(rèn)識。另外，在推理證明中 具有全同關(guān)系的概念可以互相代換，使得論證簡明。,a,6,（2）從屬關(guān)系 如果甲概念的外延 真包含乙概念的外延 ，如下圖所示，那么，這兩個概念具有從屬關(guān)系。其中，外延較大的那個概念叫做屬概念，外延較小的那個概念叫做種概念。這兩個概念的外延 和 的關(guān)系可以寫成,注：內(nèi)涵和外延的反比關(guān)系 正方形內(nèi)涵 矩形內(nèi)涵 平行四邊形內(nèi)涵 四邊形內(nèi)涵 正方形外延 矩形外延 平行四邊形外延四邊形外延,a,7,（3）交叉關(guān)系 如果兩個概念的外延有且只有部分重合，那么這兩個概念具有交叉關(guān)系或者叫做部分重合關(guān)系，如下圖

4、。用集合符號表示概念的交叉關(guān)系，可設(shè)兩個概念的外延分別是集合 和集合 ，如果 是非空集合而且不是 ，那么這兩個概念具有交叉關(guān)系。,例： （1）整數(shù)和整數(shù) （2）等腰三角形和直角三角形,a,8,（4）不相容關(guān)系（全異關(guān)系） 如果兩個概念的外延間沒有任何一部分重合的關(guān)系，那么這兩個概念具有全異關(guān)系，這種關(guān)系又叫做“拳異關(guān)系”或“排斥關(guān)系”。 全異關(guān)系又分為反對關(guān)系和矛盾關(guān)系。,a,9,概念的定義和原始概念 把概念的內(nèi)涵用語言表達(dá)出來，就是給概念下定義。 原始概念 點、線、面、空間、集合、元素、對應(yīng)等。 數(shù)學(xué)中常用的幾種定義方式 （1）屬概念加種差的定義方式 四邊形+兩組對邊分別平行=平行四邊形 （

5、2）發(fā)生定義方式 在平面上，射線繞它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形叫做角。,a,10,（3）揭示外延的定義方式 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。 （4）約定式定義 我們規(guī)定“ ” 。 (5)關(guān)系定義：有的種差是被定義概念所反映的對象與另一對象之間關(guān)系，或它與另一對象對第三者的關(guān)系。如：偶數(shù)就是被2整除的整數(shù)。,a,11,下定義的基本要求 （1）定義應(yīng)當(dāng)相稱 無理數(shù)：有理數(shù)開不盡的方根。 平行線：兩條不相交的直線。 （2）定義不能惡性循環(huán)（直線垂直和直角） （3）定義一般不用否定形式 不是有理數(shù)的數(shù)是無理數(shù)。 （4）定義應(yīng)當(dāng)簡明 兩組對邊平行的平面四邊形是平行四邊形。 四個角都是直角的平行四邊形叫做矩形。 （5）

6、定義一般不用比喻說法,a,12,概念的劃分和分類 把一個屬概念分為若干個不相容種概念的邏輯方法叫做概念的劃分。 概念的分類是劃分的特殊形式，是根據(jù)概念所反映對象的本質(zhì)屬性或特征所進(jìn)行的劃分。 概念分類的要求： i）所分成的種概念之間應(yīng)是全異關(guān)系， ii）分類應(yīng)是相稱的 iii）每次分類都應(yīng)按照同一個根據(jù)進(jìn)行 iv）分類不應(yīng)越級,a,13,概念的劃分和分類 （3）二分法 二分法是一種常用的分類方法，是把一個概念的外延中具有某個屬性的對象作為一類，把不具有這個屬性的對象作為另一類換言之，是把屬概念分成兩個矛盾的種概念,a,14,數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析,概念學(xué)習(xí)的基本形式 1.概念的形成 概念形成就

7、是讓學(xué)生從大量同類事物的不同例證中獨立發(fā)現(xiàn)同類事物的本質(zhì)屬性，從而形成概念。因此，數(shù)學(xué)概念的形成實質(zhì)上是抽象出數(shù)學(xué)對象的共同本質(zhì)特征的過程?？筛爬ㄈ缦拢?（1）辨別各種刺激模式，通過比較，在知覺水平上進(jìn)行分析、辨認(rèn)，根據(jù)事物的外部特征進(jìn)行概括。,a,15,（2）分化出各種刺激模式的屬性。 （3）抽象出各個刺激模式的共同屬性。 （4）在特定的情境中檢驗假設(shè)，確認(rèn)關(guān)鍵屬性。 （5）概括，形成概念。 （6）把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣到同類事物中去。 （7）用習(xí)慣的形式符號表示新概念。,a,16,“函數(shù)”概念的形成過程： 1、觀察實例，寫出變量間的關(guān)系表達(dá)式： （1）以每小時80千米的速度勻速行使的汽

8、車，所駛過的路程和時間 （2）由某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時刻 （3）用表格給出的某水庫的貯水量與水深。 2、找出上例中兩變量之間關(guān)系的共同本質(zhì) 3、辨別正反例，找出本質(zhì)屬性（一一對應(yīng)） 4、概括出函數(shù)定義 5、練習(xí)鞏固成形,a,17,2.概念的同化 概念同化的學(xué)習(xí)形式是利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有概念，以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的本質(zhì)屬性。 由奧蘇伯爾的有意義接受學(xué)習(xí)理論可知，要使學(xué)生有意義地同化新概念，必須： 第一，新概念具有邏輯意義；第二，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備同化新概念的適當(dāng)知識；第三，學(xué)生積極主動地使這種具有潛在意義的新概念與他認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念發(fā)生相互作用，改造舊知識，使新

9、概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識進(jìn)一步分化和融會貫通。,a,18,概念同化的階段 （1）揭示概念的關(guān)鍵屬性，給出定義、名稱和符號； （2）對概念進(jìn)行特殊的分類，討論這個概念所包含的各種特例，突出概念的本質(zhì)特征； （3）使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)觀念建立聯(lián)系，把新觀念納入到已有概念體系中，同化新概念； （4）用肯定例證和否定例證讓學(xué)生辨認(rèn)，使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念分化； （5）把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，使有關(guān)概念融會貫通，組成一個整體。,a,19,如“一次函數(shù)”的概念 給出名稱、定義、符號：函數(shù) 特例： 等 把一次函數(shù)與函數(shù)概念、一次多項式概念等作 比較 用肯定、否定例證讓學(xué)生

10、辨認(rèn)：,a,20,教學(xué)過程中要注意： （1）同化方式學(xué)習(xí)概念，實際上是用演繹方式來理解和掌握概念。因為它是從抽象定義出發(fā)來學(xué)習(xí)的，所以應(yīng)注意及時利用實例，使抽象概念獲得具體例證的支持； （2）學(xué)習(xí)中必須經(jīng)過概念分類這一步，使學(xué)生從外延角度進(jìn)一步對概念進(jìn)行理解； （3）在引入概念的同時，要求學(xué)生掌握一定的智力動作，以防止出現(xiàn)知道概念的定義而不知如何將它用于解題的情況；,a,21,（4）為學(xué)生及時提供應(yīng)用概念進(jìn)行推理、論證的機(jī)會，在應(yīng)用中強(qiáng)化概念，以防止由于沒有經(jīng)歷概念形成的原始過程而出現(xiàn)的概念加工不充分、理解不深刻的情況； （5）一定要將所學(xué)概念納入到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成概念系統(tǒng)。,a,22,概

11、念教學(xué)的基本要求和教法探討,概念的引入概念的明確概念的系統(tǒng)化 概念的運用 1、概念的引入 （1）原始概念 一般采用描述法和抽象化法或用直觀說明或指明對象的方法來明確。 “針尖刺木板”的痕跡引入“點”、用“拉緊的繩”或“小孔中射入的光線”來引入“直線”的方法是直觀說明法，“1，2，3，叫做自然數(shù)”是指明對象法。,a,23,（2）對于用概念的形成來學(xué)習(xí)的概念 一般可通過觀察實例，啟發(fā)學(xué)生抽象出本質(zhì)屬性，師生共同進(jìn)行討論，最后再準(zhǔn)確定義。 （3）對于用概念的同化來學(xué)習(xí)的概念 （a）用屬加種差定義的概念 新概念是已知概念的特例，新概念可以從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的具有較高概括性的概念中繁衍出來。 （b）由概念

12、的推廣引入的概念 講清三點：推廣的目的和意義； 推廣的合理性； 推廣后更加廣泛的含義。,a,24,（c）采用對比方法引入新概念 當(dāng)新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有概念不能產(chǎn)生從屬關(guān)系，但與已有的舊概念有相似之處時可采用此法。 關(guān)鍵是講清不同之處，防止概念的負(fù)遷移。 （d）根據(jù)逆反關(guān)系引入新概念 多項式的乘法引入多項式的因式分解、由乘方引入開方、由指數(shù)引入對數(shù)等。 關(guān)鍵是講清逆反關(guān)系。,a,25,(4)發(fā)生式定義 通過觀察實例或引導(dǎo)學(xué)生思考，進(jìn)行討論，自然得出構(gòu)造過程，即揭示出定義的合理性。 2、概念的明確 （1）定義的必要理解； 對定義的邏輯意義的理解需要在分析定義時加以必要的解釋 例如，A到B的“映射”的概念、教師有必要通過具體例子說明：i）映射是兩個集合A、B之間的一個對應(yīng)法則；ii）A可以等于B；iii）A中每一個元素有象；iv）象唯一；v）B中的元素不一定有原象；vi）B中的元素有原象時未必唯一,a,26,2、概念的明確 （2）表示概念的名稱或符號的正確使用； （3）抓住掌握概念的關(guān)鍵； （4）舉出肯定例證和否定例證； （5）充分揭示