1、高三數(shù)學等差數(shù)列【本講主要內(nèi)容】 等差數(shù)列概念及性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式【知識掌握】【知識點精析】 1. 等差數(shù)列的概念：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。例如數(shù)列4，1，2，5，；數(shù)列，0，1，都是等差數(shù)列。它們的公差分別是3，。 2. 等差數(shù)列的性質(zhì)：由等差數(shù)列的定義，可以得出等差數(shù)列的常用的一些基本性質(zhì)，如在等差數(shù)列an中，若pqmn（p、q、m、n），則；若（）成等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列；，仍成等差數(shù)列。另外，若a、b、c三數(shù)成等差數(shù)列，則稱b為a、c的等差中項，且。

2、 3. 等差數(shù)列的通項公式為，其中a1為等差數(shù)列的首項，d為公差，an為通項。此通項公式可以看成是n的一個一次函數(shù)的形式，寫作（當d0時，是常數(shù)函數(shù)）?？梢宰C明，當一個數(shù)列的通項公式是一次函數(shù)形式，即（其中a、b是常數(shù)）時，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列。 4. 等差數(shù)列的前n項和公式為，其中分別為等差數(shù)列的首項和第n項，d為公差，n為項數(shù)，Sn為前n項和。從，可以看出Sn是n的一個少常數(shù)項的二次函數(shù)形式，即（d0時，除外）。反之，可以證明，當前n項和（a，b是常數(shù)）時，數(shù)列an是等差數(shù)列。【解題方法指導】 例1. （1）若數(shù)列an是首項為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且前6項為正，從第7項起開始為負，

3、則此數(shù)列的公差d是多少？ （2）已知數(shù)列an中，又數(shù)列為等差數(shù)列，求； （3）在等差數(shù)列an中，若，若，求k的值。 解：（1）設(shè) 依題意， 公差d4 （2）設(shè) 依題意， 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d ，解得 ， （3） 又 ， 設(shè)數(shù)列的公差為d，則 解得 k18 評述：本例題主要講述通項公式的應用和等差數(shù)列一些性質(zhì)的應用。要理解好等差數(shù)列的概念、性質(zhì)，有時還可靈活運用。如例中第（2）小題由，直接可以得，。而且的通項公式也可以寫成或，可以不必求出，例中第（3）小題也一樣，由，直接可得，然后由得k18。 例2. 已知為等差數(shù)列，Sn為其前n項和。 （1）若，求S23； （2）若前12項和為354，前1

4、2項中奇數(shù)項與偶數(shù)項的和之比為27：32，求公差d。 （3）若前4項和為21，末尾4項和為67，前n項和為286，試求項數(shù)n。 解：（1） ， （2）前12項中偶數(shù)項的和S偶與奇數(shù)項的和S奇之差為6d 即 又 由、解得d5 （3） ，即11n286 n26 例3. （2000年全國高考文科卷）設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn。 解題思路分析：由已知，當n7時，S77，當n15時，S1575 所以可以列式，從而求出 所以 又，判斷這個數(shù)列是什么數(shù)列，由 可以知道是等差數(shù)列，由，公差 代入求和公式即可得到【考點突破】【考點指要】 等差數(shù)列的問題在高考題

5、中出現(xiàn)的很多，不說與等比數(shù)列及其它知識綜合，就只是等差數(shù)列的問題在05年各省市的高考題中，如全國卷二、福建卷、湖南卷、江蘇卷等卷中都有，06年的高考題中在選擇、填空題中占的份量就更多，至少有九份試卷中出現(xiàn)等差數(shù)列的問題，所以掌握好等差數(shù)列基礎(chǔ)知識很重要?！镜湫屠}分析】 例4. （2020年北京文科卷） 設(shè)等差數(shù)列an的首項a1及公差d都為整數(shù)，前n項和為Sn （I）若a110，S1498，求數(shù)列an的通項公式； （II）若，求所有可能的數(shù)列an的通項公式。 解：（I）， 又 an的通項公式是； （II）由 即 由得。 由得。 于是 將代入、得，故a111或a112 所以，所有可能的數(shù)列an的

6、通項公式是 an12n和an13n，n1，2，3， 評述：本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式的基礎(chǔ)知識，又綜合了不等式的有關(guān)知識，難度不大。 例5. （2020年江蘇高考題）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，a26，a311，且，n1，2，3，其中A、B為常數(shù)。 （I）求A與B的值； （II）證明數(shù)列an為等差數(shù)列； （III）證明不等式對任何正整數(shù)m、n都成立。 解：（I）由已知，得， 由知 ，即， 解得A20，B8 （II）由（I）得， 所以 ，得 所以 ，得 因為 所以 又因為 所以 即 ， 又 所以數(shù)列an為等差數(shù)列 （III）證明：由（II）知 要證 只需證 故只要證 即

7、只要證 所以命題得證。 評述：本例第（I）、（II）問主要考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識，特別是數(shù)列前n項和Sn與數(shù)列通項an的關(guān)系，其中用式，式的這種方法要學會，它是使問題轉(zhuǎn)化后得以解決的重要手段。本例第（III）問是在得知數(shù)列an是等差數(shù)列后，代入數(shù)列的通項公式后，用證明不等式的常用方法，如分析法、放縮法及重要不等式的性質(zhì)進行證明的?！揪C合測試】一. 選擇題 1. （06年福建文科卷）在等差數(shù)列an中，已知，則等于（ ） A. 40B. 42C. 43D. 45 2. （06年廣東理科卷）已知某等差數(shù)列共10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為（ ） A. 2B. 3C. 4D.

8、5 3. （04年全國卷）設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，且，Sn是數(shù)列前n項和，則（ ） A. S4S5B. C. D. 4. （06年江西文科卷）在各項不為零的等差數(shù)列an中，若，則（ ） A. 2B. 0C. 1D. 2 5. （06年全國文科卷二）已知等差數(shù)列中，則前10項和（ ） A. 100B. 210C. 380D. 400 6. （06年天津理科卷）已知數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為，且，設(shè)，則數(shù)列Cn的前10項和等于（ ） A. 55B. 70C. 85D. 100 7. 等差數(shù)列中，則數(shù)列前13項的和為（ ） A. 13B. 52C. 26D. 156 8. 已知

9、兩個等差數(shù)列5，8，11，及3，7，11，均有100項，它們數(shù)值相同項的和為（ ） A. 3887B. 3899C. 3863D. 3875二. 填空題 9. （06年浙江理科卷）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若S510，S105，則公差為_。 10. 公差不為零的等差數(shù)列an中，已知，且，則k_。 11. （01年上海理科卷）設(shè)數(shù)列an的通項公式為，則_。 12. 若等差數(shù)列an的公差d0，且為關(guān)于x的方程的兩根，則的通項公式_。 13. 若1既是a2與b2的等差中項，又是與的等差中項，則_。 14. 數(shù)列為等差數(shù)列，前n項和為Sn，且S918，若Sn240，則n_。三. 解答題 15.

10、（04年全國文科卷）設(shè)數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，Sn是前n項和，且，S44S2，求數(shù)列an的通項公式。 16. 在數(shù)列an中，Sn是數(shù)列的前n項和，已知，求和。 17. 在數(shù)列an中，Sn是它的前n項和，且n2時，成立，求an。 18. （98年上海卷）若An和Bn分別表示數(shù)列an和bn的前n項和，對任意正整數(shù)n，。 （I）求數(shù)列bn的通項公式； （II）設(shè)有拋物線列，拋物線的對稱軸平行于y軸，頂點為（an，bn），且通過點Dn（0，），過點Dn且與拋物線Cn相切的直線斜率為kn，求極限； （III）設(shè)集合，若等差數(shù)列Cn的任一項，C1是中的最大數(shù)，且，求Cn的通項公式。綜合測試答案一. 選擇題 1. B 提示：先由，求出 再計算 2. B 提示：偶數(shù)項之和奇數(shù)項之和5公差。 3. B 提示：先由，可求出 所以 即 4. A 提示：因為，所以已知式變?yōu)?。?5. B 6. C 提示： 即， 即， Cn的前10項和為 7. C 提示：， 所以已知式變?yōu)?即 所以 8. D 提示：兩數(shù)列的通項公式分別為 若， 又，所以m3，6，9，75。 可得二. 填空題 9. 1 提示：，解得d1 10. 7 提示： 11. 153 提示：均大于0 12. 2n 提示：由已知， 13. 1或 提示：由，可得ab2ab， 從而得 解得 或 14. 15 提示： 又 三.