1、.,1,圓周率,.,2,定義：,圓周率，一般以來表示，是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計(jì)算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值。 在分析學(xué)上，可以嚴(yán)格地定義為滿足sin(x) = 0的最小正實(shí)數(shù)x。,.,3,歷史發(fā)展：,實(shí)驗(yàn)時(shí)期 一塊產(chǎn)于公元前1900年的古巴比倫石匾清楚地記載了圓周率 = 25/8 = 3.125。 同一時(shí)期的古埃及文物也表明圓周率等于分?jǐn)?shù)16/9的平方，約等于3.16。 埃及人似乎在更早的時(shí)候就知道圓周率了。,.,4,英國作家 John Taylor (17811864) 在其名著金字塔中指出

2、，造于公元前2500年左右的金字塔和圓周率有關(guān)。 例如，金字塔的周長和高度之比等于圓周率的兩倍，正好等于圓的周長和半徑之比。 公元前800至600年成文的古印度宗教巨著百道梵書（Satapatha Brahmana）顯示了圓周率等于分?jǐn)?shù)339/108, 約等于3.139。3,.,5,幾何法時(shí)期 古希臘作為古代幾何王國對(duì)圓周率的貢獻(xiàn)尤為突出。古希臘大數(shù)學(xué)家阿基米德(公元前287212 年) 開創(chuàng)了人類歷史上通過數(shù)學(xué)算法計(jì)算圓周率近似值的先河。他求出圓周率的下界和上界分別為223/71 和22/7， 并取它們的平均值3.141851 為圓周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和兩側(cè)數(shù)值逼近的概念，稱

3、得上是“計(jì)算數(shù)學(xué)”的鼻祖。 中國古算書周髀算經(jīng)（約公元前2世紀(jì)）的中有“徑一而周三”的記載，意即取=3。4漢朝時(shí)，張衡得出的平方除以16等于5/8，即等于10的開方（約為3.162）。這個(gè)值不太準(zhǔn)確，但它簡單易理解。,.,6,公元263年，中國數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計(jì)算圓周率，他先從圓內(nèi)接正六邊形，逐次分割一直算到圓內(nèi)接正192邊形。他說“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！?，包含了求極限的思想。后來發(fā)現(xiàn)3.14這個(gè)數(shù)值還是偏小。于是繼續(xù)割圓到1536邊形，求出3072邊形的面積，得到令自己滿意的圓周率3927/1250=3.1416。 公元480年左右，南北

4、朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的值，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個(gè)近似分?jǐn)?shù)值，密率355/113和約率22/7。在之后的800年里祖沖之計(jì)算出的值都是最準(zhǔn)確的。其中的密率在西方直到1573年才由德國人奧托得到，1625年發(fā)表于荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。,.,7,約在公元530年，印度數(shù)學(xué)大師阿耶波多利用384邊形的周長，算出圓周率約為9.8684。婆羅門笈多采用另一套方法，推論出圓周率等于10的算術(shù)平方根。 阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西在15世紀(jì)初求得圓周率17位精確小數(shù)值，打破祖沖之保持近千年的紀(jì)錄。德國數(shù)學(xué)家柯倫于1

5、596年將值算到20位小數(shù)值，后投入畢生精力，于1610年算到小數(shù)后35位數(shù)，該數(shù)值被用他的名字稱為魯?shù)婪驍?shù)。,.,8,分析法時(shí)期,這一時(shí)期人們開始利用無窮級(jí)數(shù)或無窮連乘積求，擺脫可割圓術(shù)的繁復(fù)計(jì)算。無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級(jí)數(shù)等各種值表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使得值計(jì)算精度迅速增加。 魯?shù)婪蚍犊埔羵悾s1600年）計(jì)算出的小數(shù)點(diǎn)后首35位。 斯洛文尼亞數(shù)學(xué)家JurijVega于1789年得出的小數(shù)點(diǎn)后首140位，其中只有137位是正確的。這個(gè)世界紀(jì)錄維持了五十年。他利用了JohnMachin于1706年提出的數(shù)式。 但是上述的方法都不能快速算出。第一個(gè)快速算法由英國數(shù)學(xué)家梅欽提出，1706年梅欽計(jì)

6、算值突破100位小數(shù)大關(guān)，他利用了如下公式：6 其中arctan(x)可由泰勒級(jí)數(shù)算出。類似方法稱為“梅欽類公式”。1873 年另一位英國數(shù)學(xué)家尚可斯將值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后707位，可惜他的結(jié)果從528位起是錯(cuò)的。到1948年英國的弗格森和美國的倫奇共同發(fā)表了的808位小數(shù)值，成為人工計(jì)算圓周率值的最高紀(jì)錄。,.,9,計(jì)算機(jī)時(shí)代,1949年，美國制造的世上首部電腦ENIAC（Electronic Numerical Interatorand Computer）在亞伯丁試驗(yàn)場(chǎng)啟用了。 次年，里特韋斯納、馮紐曼和梅卓普利斯利用這部電腦，計(jì)算出的2037個(gè)小數(shù)位。這部電腦只用了70小時(shí)就完成了這項(xiàng)工作，

7、扣除插入打孔卡所花的時(shí)間，等于平均兩分鐘算出一位數(shù)。五年后，NORC（海軍兵器研究計(jì)算機(jī)）只用了13分鐘，就算出的3089個(gè)小數(shù)位?？萍疾粩噙M(jìn)步，電腦的運(yùn)算速度也越來越快，在60年代至70年代，隨著美、英、法的電腦科學(xué)家不斷地進(jìn)行電腦上的競(jìng)爭，的值也越來越精確。在1973年，Jean Guilloud和M. Bouyer發(fā)現(xiàn)了的第一百萬個(gè)小數(shù)位。 在1976年，新的突破出現(xiàn)了。薩拉明（Eugene Salamin）發(fā)表了一條新的公式，那是一條二次收斂算則，也就是說每經(jīng)過一次計(jì)算，有效數(shù)字就會(huì)倍增。高斯以前也發(fā)現(xiàn)了一條類似的公式，但十分復(fù)雜，在那沒有電腦的時(shí)代是不可行的。之后，不斷有人以高速電腦

8、結(jié)合類似薩拉明的算則來計(jì)算的值。,.,10,1989年美國哥倫比亞大學(xué)研究人員用克雷2型和IBMVF型巨型電子計(jì)算機(jī)計(jì)算出值小數(shù)點(diǎn)后4.8億位數(shù)，后又繼續(xù)算到小數(shù)點(diǎn)后10.1億位數(shù)，創(chuàng)下最新的紀(jì)錄。2010年1月7日法國一工程師將圓周率算到小數(shù)點(diǎn)后27000億位。2010年8月30日日本計(jì)算機(jī)奇才近藤茂利用家用計(jì)算機(jī)和云計(jì)算相結(jié)合，計(jì)算出圓周率到小數(shù)點(diǎn)后5萬億位。 2011年10月16日，日本長野縣飯?zhí)锸泄韭殕T近藤茂利用家中電腦將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后10萬億位，刷新了2010年8月由他自己創(chuàng)下的5萬億位吉尼斯世界紀(jì)錄。今年56歲近藤茂使用的是自己組裝的計(jì)算機(jī)，從去年10月起開始計(jì)算，花費(fèi)約一

9、年時(shí)間刷新了紀(jì)錄。,.,11,在各領(lǐng)域的用途：,幾何 圓柱 底面積：r*r 底面周長：2r、d 側(cè)面積：dh、2rh 表面積：2r*r+dh、2rh 體積：sh、r*rh（底面積高） 圓錐 底面積：r*r 底面周長：2r、d 體積：1/3sh、r*rh 扇形 面積公式： n/360*r（其中n表示該扇形對(duì)應(yīng)的角度） 弧長公式：n/180*r（其中n表示該扇形對(duì)應(yīng)的角度） 圓 面積：r*r 周長：2r、d 圓環(huán) 面積：（R*R-r*r） 周長：2r、d,.,12,代數(shù),是個(gè)無理數(shù)，即不可表達(dá)成兩個(gè)整數(shù)之比，是由JohannHeinrich Lambert于1761年證明的。 1882年，F(xiàn)erd

10、inand Lindemann更證明了是超越數(shù)，即不可能是任何有理數(shù)多項(xiàng)式的根。 圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺規(guī)作圖問題的可能性，因所有尺規(guī)作圖只能得出代數(shù)數(shù)，而超越數(shù)不是代數(shù)數(shù)。,.,13,數(shù)學(xué)分析 特斯林近似公式： 歐拉恒等式： 的連分?jǐn)?shù)表示：,.,14,數(shù)論,兩個(gè)任意自然數(shù)是互質(zhì)的概率是 6/(*)。 任取一個(gè)任意整數(shù)，該整數(shù)沒有重復(fù)質(zhì)因子的概率為 6/(*)。 一個(gè)任意整數(shù)平均可用 /4 個(gè)方法寫成兩個(gè)完全數(shù)之和。,.,15,概率論,設(shè)我們有一個(gè)以平行且等距木紋鋪成的地板，現(xiàn)在隨意拋一支長度比木紋之間距離小的針，求針和其中一條木紋相交的概率。這就是布豐投針問題。1777 年，布

11、豐自己解決了這個(gè)問題這個(gè)概率值是 1/。,.,16,統(tǒng)計(jì)學(xué),正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：,.,17,物理學(xué),海森堡不確定性原理： 相對(duì)論的場(chǎng)方程：,.,18,趣聞事件：,歷史上最馬拉松式的手工值計(jì)算，其一是德國的LudolphVan Ceulen，他幾乎耗盡了一生的時(shí)間，計(jì)算到圓的內(nèi)接正262邊形，于1609年得到了圓周率的35位精度值，以至于圓周率在德國被稱為Ludolph數(shù)； 其二是英國的威廉山克斯，他耗費(fèi)了15年的光陰，在1874年算出了圓周率的小數(shù)點(diǎn)后707位，并將其刻在了墓碑上作為一生的榮譽(yù)?？上?，后人發(fā)現(xiàn)，他從第528位開始就算錯(cuò)了。7 圓周率的最新計(jì)算紀(jì)錄由日本筑波大學(xué)所創(chuàng)造。他們于

12、2009年算出值2576980370000 位小數(shù)，這一結(jié)果打破了由日本人金田康正的隊(duì)伍于2002年創(chuàng)造的1241100000000位小數(shù)的世界紀(jì)錄。,.,19,日本人AkiraHaraguchi曾在2005年將背到了小數(shù)點(diǎn)后第 83431 位，創(chuàng)造了個(gè)人背誦圓周率的世界紀(jì)錄。 在Google公司2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數(shù)，而是$14,159,265，這當(dāng)然是由小數(shù)點(diǎn)后的位數(shù)得來。（順便一提，谷歌公司2004年的首次公開募股，集資額為$2,718,281,828，與數(shù)學(xué)常數(shù)e有關(guān)） 排版軟件TeX從第三版之后的版本號(hào)為逐次增加一位小數(shù)，使之越來越接近的值：3.1，3.1

13、4，當(dāng)前的最新版本號(hào)是3.141592 3月14日為圓周率日，“終極圓周率日”則是1592年3月14日6時(shí)54分，(因?yàn)槠溆⑹接浄椤?/14/15926.54”，恰好是圓周率的十位近似值。)和3141年5月9日2時(shí)6分5秒（從前往后,3.14159265）4. 7月22日為圓周率近似日（英國式日期記作22/7，看成圓周率的近似分?jǐn)?shù)） 有數(shù)學(xué)家認(rèn)為真正的圓周率應(yīng)為2，并將“真正的圓周率”記為（發(fā)音：tau）。數(shù)學(xué)界對(duì)圓周率到底是還是長期存在爭論。8,.,20,祖沖之和圓周率,祖沖之是中國古代偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。祖沖之于公元429年出生在建康（今江蘇南京），他家歷代都對(duì)天文歷法有研究，他從小

14、就接觸數(shù)學(xué)和天文知識(shí)，公元464年，祖沖之35歲時(shí)，他開始計(jì)算圓周率。 在中國古代，人們從實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到，圓的周長是“圓徑一而周三有余”，也就是圓的周長是圓直徑的三倍多，但是多多少，意見不一。,.,21,祖沖之不但精通天文、歷法，他在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)，特別對(duì)“圓周率”研究 的杰出成就，更是超越前代，在世界數(shù)學(xué)史上放射著異彩。 圓周率的應(yīng)用很廣泛。尤其是在天文、歷法方面，凡牽涉到圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。我國古代勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中求得的最早的圓周率值是“ 3”，后來，隨著天文、數(shù)學(xué)等科學(xué)的發(fā)展，研究圓周率的人越來越多了。西漢末年的劉歆首先拋棄“3”這個(gè)不精確的圓周率值，他曾經(jīng)采用過的圓周

15、率是3.547。東漢的張衡也算出圓周率為=3.1622。這些數(shù)值比起=3當(dāng)然有了很大的進(jìn)步，但是還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠精密。到了三國末年，數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造了用割圓術(shù)來求圓周率的方法，圓周率的研究才獲得了重大的進(jìn)展。,.,22,從理論上來講，如果內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增加到無限多時(shí)，那時(shí)正多邊形的周界就會(huì)同圓周密切重合在一起，從此計(jì)算出來的內(nèi)接無限正多邊形的面積，也就和圓面積相等了。不過事實(shí)上，我們不可能把內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)增加到無限多,只能有限度地增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使它的周界和圓周接近重合。 劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐次加倍地增加邊數(shù)，一直計(jì)算到內(nèi)接正九十六邊形為止，求得了圓周率是3.141024。把這

16、個(gè)數(shù)化為分?jǐn)?shù)，就是157/50。劉徽所求得的圓周率，后來被稱為“徽率”。他這種計(jì)算方法，實(shí)際上已具備了近代數(shù)學(xué)中的極限概念。,.,23,圓周率符號(hào),一個(gè)是355/113（約等于3.1415927），這一個(gè)數(shù)比較精密，祖沖之稱它為“密率”。另一個(gè)是22/7（約等于3.14），這一個(gè)數(shù)比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。 祖沖之求得“密率”，并且明確地用上、下兩限來說明圓周率這個(gè)數(shù)值的范圍。在一千五百年前，他有這樣的成就和認(rèn)識(shí)，真值得我們欽佩。,.,24,趣味記憶圓周率,趣味記憶圓周率100位 先設(shè)想一個(gè)酒徒在山寺狂飲，醉死山溝的情景： 山巔一寺一壺酒（3.14159），兒樂（26），我三壺不夠吃 （535897），酒撒了（932）！閃不死（384），遛了遛（626）， 死山扇把扇（43383），兒棄溝（279）。前30位 接著設(shè)想“死”者父親得知兒“死”后的心情： 吾疼兒（502），白白死已夠凄矣（8841971），留給山溝溝 （69399）。15位 再設(shè)想“死”者父親到山溝尋找兒子的情景： 山拐我腰痛（37510），我怕你凍久（58209），凄事久思思 （74944）。15位 然后是父親在山溝里把兒子找到，并把他救活