1、函數(shù)背景下的不等式證明給出一個特定的函數(shù)，先研究其單調(diào)性、極值或恒成立等問題，以此為基礎(chǔ)，最后證明一個不等式，我們不妨把該類問題稱為函數(shù)背景下的不等式證明問題。函數(shù)與不等式相結(jié)合的綜合問題在近幾年的高考試題中大量出現(xiàn)，已經(jīng)成為高考的熱點題型。學(xué)生解答時頗感棘手，為此本文對此類題的解題方法略作探討，供讀者參考。一、利用函數(shù)最值構(gòu)造不等式證明例1 已知函數(shù)（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性； (2)試證明：對，不等式恒成立分析：觀察不等式左右兩邊的形式，令，問題可轉(zhuǎn)化為證明，即證，聯(lián)系到函數(shù)，實際上要證，由此求出函數(shù)的最大值，問題便可解決。解：（）令，得 ，當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。（2）

2、由（1）知當(dāng)時，在上恒有，即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，對任意的恒有令，且即所以，對，不等式恒成立例2 已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的最小值；（2）若，證明：分析：不等式左邊是項和的形式，若能把與某個項和的形式聯(lián)系起來，則不等式可以轉(zhuǎn)化為比較項與項之間的大小關(guān)系。注意到，問題(1)暗示本題可以從最小值入手，即突破項與項之間的大小關(guān)系。解：（1），令，得當(dāng)時，當(dāng)時， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增當(dāng)時，有最小值1 （2）證明：由（1）知，對任意實數(shù)均有，即 令，則， 即 二、構(gòu)造輔助函數(shù)證明例3（07山東理科22題）設(shè)函數(shù)，其中（）當(dāng)時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)的極值點

3、；（）證明：對任意的正整數(shù)，不等式都成立分析：觀察不等式的形式，令，不等式就是，即，結(jié)合函數(shù)的形式，當(dāng)時，即證，可以通過構(gòu)造輔助函數(shù)，只要的最小值大于0即可。解：（）（）略（）證明：當(dāng)時，函數(shù)，令函數(shù)，則當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，時，恒有，即恒成立 故當(dāng)時，有對任意正整數(shù)，取，則有所以結(jié)論成立三、利用恒成立構(gòu)造適當(dāng)不等式證明例4 已知函數(shù)。（1）如果當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：，分析：要證，即證，不等式的左邊可以轉(zhuǎn)化為是項和的形式，若能把與項和的形式聯(lián)系起來，則不等式可以轉(zhuǎn)化為比較項與項之間的大小關(guān)系。問題(1)暗示可從恒成立問題中構(gòu)造出適當(dāng)不等式解決項與項之間的大小比較問題。解：（1），記則令，則，在上單調(diào)遞增，從而在上也單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒成立，只須，故實數(shù)的取值范圍為。（2）由（1）知恒成立，即