1、吉林省遼源市田家炳高級(jí)中學(xué)（第六十六屆友好學(xué)校）2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文（含解析）第卷一、選擇題 （本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】試題分析：解得，又，則，則，故選A.考點(diǎn)：一元二次不等式的解法，集合中交集運(yùn)算.2.以為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】確定拋物線的開(kāi)口及的值即可得解.【詳解】易知以為準(zhǔn)線的拋物線焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，且，開(kāi)口向右，所以.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.3.已知a為函數(shù)f（x）=x312x的極小值點(diǎn)，

2、則a=A. 4 B. 2 C. 4 D. 2【答案】D【解析】試題分析：，令得或，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值點(diǎn)為2，即，故選D.【考點(diǎn)】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)在可導(dǎo)函數(shù)中，函數(shù)的極值點(diǎn)是方程的解，但是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，需要通過(guò)這個(gè)點(diǎn)兩邊的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性來(lái)判斷，在附近，如果時(shí)，時(shí)，則是極小值點(diǎn)，如果時(shí)，時(shí)，則是極大值點(diǎn).4.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若, 則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意可得：，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，該數(shù)列的公差：，故.本題選擇B選項(xiàng).5.若兩個(gè)單位向量,的夾角為120,則（ ）A. B. C. D. 【答案】C

3、【解析】【分析】由根據(jù)條件求解即可.【詳解】由兩個(gè)單位向量,的夾角為120,可得.所以.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)量積求向量的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.6.已知變量x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作出x，y滿足的可行域，然后平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）時(shí)取得最大值，求出即可?！驹斀狻孔鞒鲎兞縳，y滿足的可行域，如下圖陰影部分，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）時(shí)，取得最大值，所以的最大值為3.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題。7.已知表示兩條不同直線,表示平面, 下列說(shuō)法正確的是( )A. 若則 B. 若則C.

4、若則 D. 若則【答案】B【解析】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】8.已知函數(shù)，則A. 是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B. 是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C. 是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D. 是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】分析：討論函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且即函?shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)。故選A.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.9.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】圓

5、的半徑，弦長(zhǎng)的一半為1，以及圓心到漸近線的距離為，三者滿足，解出ab的關(guān)系即可求出離心率?！驹斀狻繄A的圓心為（2，0），半徑，雙曲線的漸近線為，即，則圓心（2，0）到直線的距離為解得，則離心率.故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，及雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。10.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被兩個(gè)平面所截得的幾何體的三視圖如圖所示, 則該幾何體外接球的表面積是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先通過(guò)三視圖還原該幾何體，然后求出該幾何體外接球的半徑，進(jìn)而求出該幾何體外接球的表面積。【詳解】由題意可知該幾何體(如下圖)是正方體被平面和平面截去三棱錐和三棱錐所剩下的部

6、分，它的外接球和該正方體的外接球一樣，設(shè)外接球半徑為，則，解得，所以該幾何體外接球的表面積為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的三視圖及外接球問(wèn)題，屬于中檔題。11.在中，若，則的形狀一定是（ ）A. 等邊三角形 B. 不含60的等腰三角形C. 直角三角形 D. 鈍角三角形【答案】C【解析】【分析】結(jié)合三角形的性質(zhì)，對(duì)等式進(jìn)行恒等變換，可以得到，進(jìn)而求出角是直角，即可選出答案?！驹斀狻坑深}意知，所以題中等式可轉(zhuǎn)化為：，即，則，故，所以角為直角，即的形狀一定是直角三角形。故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的性質(zhì)，及三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題。12.已知函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),若且,記,則的大小關(guān)

7、系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可以得到函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，由,可以得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可以比較的大小關(guān)系?！驹斀狻坑傻煤瘮?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；所以，即.故答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性及單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題。第II卷二、 填空題（本大題共4小題，每小題5分 ，共20分）13.曲線恒過(guò)定點(diǎn)_.【答案】(4,3)【解析】【分析】由即可得解.【詳解】由，知曲線恒過(guò)定點(diǎn)(4,3).故答案為：(4,3).【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程是_【答案】【解析】，故切線方程為，

8、即15.若n是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線的離心率是_【答案】或 【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的概念求出n值，然后分別利用橢圓、雙曲線的性質(zhì)求解離心率.【詳解】由n是2和8的等比中項(xiàng)，得，解得n= ，當(dāng)n=4時(shí)，圓錐曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，離心率為，當(dāng)n= -4時(shí)，圓錐曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，離心率為故填：或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了圓錐曲線的離心率的求法，涉及了等比中項(xiàng)的概念，考查了計(jì)算能力. 解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用離心率公式.16.在正方體中,分別為棱,的中點(diǎn),則直線與所成角的余弦值為_(kāi)【答案】【解析】【分析】找出直線的平行線，就等于直線與所成的角，求出即可?！?/p>

9、詳解】如圖，取的中點(diǎn)為，連結(jié)，則易知，所以與直線與所成的角相等，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，連結(jié)，則，則.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線的夾角，屬于基礎(chǔ)題。三、 解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。）17.的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量與平行（1）求；（2）若，求的面積【答案】（）；（）.【解析】試題分析：（）由兩向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算列出三角形邊角關(guān)系的等式，再由正弦定理化邊為角，可求得角A；（）由余弦定理（選用角A的等式），求出邊，再選用公式可得三角形面積試題解析：(I)因?yàn)?，所以由正弦定理，得，又，從而，由于所?II)解法一：由余弦定理，得，而，得，即因?yàn)?，所以?/p>

10、故面積為考點(diǎn)：向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，正弦定理，余弦定理，三角形面積【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】18.已知數(shù)列是等比數(shù)列，,是和的等差中項(xiàng),（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）將已知條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公比表示，通過(guò)解方程得到基本量，從而確定通項(xiàng)為；（）由數(shù)列的通項(xiàng)公式得數(shù)列的通項(xiàng)，結(jié)合特點(diǎn)采用錯(cuò)位相減法求和試題解析：（）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)椋裕?1分因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以 2分即，化簡(jiǎn)得因?yàn)楣?，所?4分所以（） 5分（）因?yàn)?，所以所?7分則， 9分得，10分，所以 12分考點(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)與求和19.已知函數(shù) （1）求函數(shù)的最小正周期；

11、（2）若,求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用公式，可求出最小正周期；（2）先求出函數(shù)的單調(diào)性，然后即可求出值域?！驹斀狻浚?），所以最小正周期為，（2）由（1）知又因?yàn)?，在區(qū)間上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又，所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換及三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題。20.如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn). （1）求證：直線平面（2）求證: 平面平面（3）若平面平面且求三棱錐的體積【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）見(jiàn)解析. （3）【解析】試題分析：（1）利用中位線的性質(zhì)可得到AD即可證明;（2）由題意可知，只需證明BD平面EFC,

12、即可證明平面面；（3）由題意可知，是正三角形，因此可將看成是底面來(lái)求三棱錐的體積，由前面可知AD是以為底面時(shí)三棱錐的高，分別計(jì)算出來(lái)代入體積公式即可求解。試題解析：（1）EF是的中位線,所以又 （2）（3）因?yàn)槊婷妫宜?由和得是正三角形所以考點(diǎn)：1.直線與平面平行的判定及性質(zhì)；2.平面與平面垂直的判定及性質(zhì)；3.三棱錐體積的求解21.已知橢圓,左右焦點(diǎn)分別為,且，點(diǎn)在該橢圓上.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)，若的面積為, 求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可以求出，將點(diǎn)代入橢圓方程可以解出與的值，即可得出答案；（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可以

13、求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的面積，經(jīng)計(jì)算不符合題意；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式可以表示出，利用點(diǎn)到直線的距離公式可以表示出到直線的距離，進(jìn)而得到的面積表達(dá)式，求得的值即可得到直線的方程?！驹斀狻浚?）因?yàn)樗?，又點(diǎn)在該橢圓上，所以，又，解得，所以橢圓C的方程為.（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可得，的面積為3，不符合題意。當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程得，顯然成立，設(shè)則，所以，用點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離，所以的面積，化簡(jiǎn)得解得，因此直線的方程為或.【點(diǎn)睛】處理涉及直線和圓錐曲線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，一般設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，但不求交點(diǎn)坐標(biāo)，而是用韋達(dá)定理作整體運(yùn)算（把或看作一個(gè)整體）。22.已知函數(shù)其中為常數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù), 求的取值范圍.【答案】（1）遞增區(qū)間，遞減區(qū)間；（2）.【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)表達(dá)式，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可求出的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，可以得到導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上滿足或,然后求出的取值范圍即可