1、最初等差數(shù)列和等比數(shù)列1.an和Sn的關(guān)系： Sn=a1 a2 an，an=2 .等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義an-an-1=常數(shù)(n2 )=常數(shù)(n2 )通項(xiàng)式an=a1 (n-1)dan=a1qn-1(q0 )判定方法(1)定義法(2)項(xiàng)式法：2an 1=an an 2(n1)an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)式法： an=pn q(p，q為常數(shù)) an為等差數(shù)列(4)最初的n項(xiàng)和公式法： Sn=An2 Bn(A，b為常數(shù)) an為等差數(shù)列(5)an為等比數(shù)列，an0logaan為等差數(shù)列(1)定義法(2)項(xiàng)式法： a=anan 2(n1 )(an0)an是等比數(shù)列(3)通項(xiàng)式法： an=

2、cqn(c、q都不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(4)an為等差數(shù)列aan為等比數(shù)列(a0且a1 )性質(zhì)(1)m、n、p、qN*中，如果m n=p q，則am an=ap aq(2)an=am (n-m)d(3)Sm、S2m-Sm、S3m-S2m，還為等差數(shù)列(1)m、n、p、qN*中，m n=p q的話，aman=apaq(2)an=amqn-m(3)等比數(shù)列按順序每n項(xiàng)和(Sn0 )成為等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=na1 d(1)q1，Sn=(2)q=1，Sn=na11.(2013江西)等比數(shù)列x、3x 3、6x 6，的第4項(xiàng)等于()A.-24 B.0 C.12 D.24答案a由x，3 x

3、3，6 x 6成的等比數(shù)列得到分析，其中，(3x 3)2=x(6x 6)。解開x1=-3或x2=-1故數(shù)列的第四項(xiàng)是-242.(2012福建)等差數(shù)列an中，a1 a5=10、a4=7，數(shù)列an的公差為()A.1 B.2 C.3 D.4答案b分析方法將等差數(shù)列an的公差設(shè)為d從題意起8756； 得到d=2方法在二等差數(shù)列an中，a1 a5=2a3=10，a3=5另外a4=7，8756； 公差d=7-5=23.(2013遼寧)公差d0的等差數(shù)列an相關(guān)的4個(gè)命題如下所示p1:數(shù)列an是增加數(shù)列p2:數(shù)列nan是增加數(shù)列p3:數(shù)列是增加數(shù)列p4:數(shù)列an 3nd是增加數(shù)列其中的真命題是()A.p1

4、、p2B.p3、p4C.p2、p3D.p1、p4答案d分析an=a1 (n-1)d，d0an-an-1=d0，命題p1是正確的nan=na1 n(n-1)d，8756； nan-(n-1)an-1=a1 2(n-1)d涉及0的大小和a1的取法.數(shù)列nan不一定增加，命題p2不正確p3:=d，2200000000000000000000000000006在d-a10，即da1的情況下，數(shù)列遞增但是，da1不一定成立，p3不正確假設(shè)p4:bn=an 3ndbn 1-bn=an 1-an 3d=4d0。數(shù)列an 3nd是增加數(shù)列，p4是正確的綜上所述，正確的命題是p1、p44.(2013重慶)已知是

5、等差數(shù)列，a1=1、公差d0、Sn是其前n項(xiàng)之和，如果a1、a2、a5是等比數(shù)列，則S8=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _答案64在分析中，當(dāng)a1、a2和a5是等比數(shù)列時(shí)，a=a1a5，即，(1 d)2=1(1 4d )和d=2.因此，an=1 (n-1)2=2n-1，S8=4(1 15)=64 .5.(2013江蘇)在正項(xiàng)等比

6、數(shù)列an中，在a5=、a6 a7=3.中，滿足a1 a2 ana1a2an的最大正整數(shù)n的值是_ _。答案12解析為已知條件a5=、a6 a7=3即，在q q2=3時(shí)，整理為q2 q-6=0解開(舍去) q=2或q=-3。an=a5qn-5=2n-5=2n-6a1 a2 an=(2n-1 )a1a2an=2-52-42-32n-6=2a1 a2 ana1a2an到2n2 1n12問題型一等差數(shù)列的基本運(yùn)算已知例1 (2012山東)等差數(shù)列an前5項(xiàng)之和為105，a10=2a5(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)式(2)對(duì)于任意的mN*，將數(shù)列an中72m以下的項(xiàng)的個(gè)數(shù)求出bm .數(shù)列bm的最初的m項(xiàng)和Sm

7、.審查問題的破題(1)從關(guān)于標(biāo)題和公差的已知方程式中，通過解a1和d求出an.(2)bm，根據(jù)其特征選擇加法方法解(1)將數(shù)列an的公差設(shè)為d，最初的n項(xiàng)和Tn從T5=105，a10=2a5開始得到解是a1=7，d=7。因此，an=a1 (n-1)d=7 7(n-1)=7n(nN* )。(對(duì)于mN*，an=7n72m，n72m-1 .bm=72m-1。數(shù)列bm是初項(xiàng)為7，公比為49的等比數(shù)列Sm=.反省等差(等比)數(shù)列相關(guān)的基本運(yùn)算，一般來(lái)說，只要根據(jù)其通項(xiàng)式、前n項(xiàng)和式結(jié)構(gòu)，在解a1和d (或q )相關(guān)的方程式和方程式的過程中可活用等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)，則不僅可以迅速地得到解，而且還可以對(duì)

8、等差(等比)數(shù)列問題的認(rèn)識(shí)已知變式訓(xùn)練1 (2013浙江)為公差d的等差數(shù)列an，a1=10，且a1、2 a22、5a3為等比數(shù)列(1)求d、an(2)如果是d0，則求|a1| |a2| |a3| |an|。解(1)從題意來(lái)說是5a3a1=(2a2 2)2即，因?yàn)閐2-3d-4=0.所以d=-1或d=4.an=-n 11，n-n *或an=4n 6，n-n *。(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn由于d0，從(1)變成d=-1，an=-n 11 .在n11的情況下，|a1| |a2| |a3| |an|=Sn=-n2 n。在n12的情況下，|a1| |a2| |a3| |an|=-Sn 2S11=n

9、2-n 110。根據(jù)以上內(nèi)容，|a1| |a2| |a3| |an|=問題型二等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2 (1)由正數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列an，若最初的20項(xiàng)之和為100，則a7a14的最大值為()A.25 B.50 C.100 D .不存在(2)在等差數(shù)列an中，a1=-2 013，其最初n項(xiàng)之和為Sn，-=2，則S2 013的值為()A.-2 011 B.-2 012 C.-2 010 D.-2 013審查問題破題(1)根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，求出a7 a14=a1 a20、s20=a7 a14，在利用基本不等式(2)等差數(shù)列an中，Sn是其最初n項(xiàng)之和，也將成為等差數(shù)列.答案(1)A (2)D解析(1)

10、s20=20=100，8756； a1 a20=10。a1 a20=a7 a14，a7 a14=10。22222222222222222222226只在a7=a14的情況下取等號(hào)。(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列也是等差數(shù)列，已知該數(shù)列的最初項(xiàng)=a1=-2 013、公差d=1，因此為=-2 013 (2 013-1)1=-1，因此為S2 013=-2 013 .反思等差數(shù)列和等比數(shù)列的項(xiàng)，和最初的n項(xiàng)都有類似的性質(zhì)，充分利用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化解題過程變式訓(xùn)練2 (1)的數(shù)列an是等差數(shù)列，如果-1，其最初的n項(xiàng)和Sn具有最大值，則在Sn取最小的正值時(shí)，n等于()A.11 B.17 C.19 D.21

11、答案c分析an的前n項(xiàng)和Sn具有最大值數(shù)列是遞減數(shù)列.又-1得到a100、a10、a10、a10 a110。S19=19a100是S20=10(a10 a11)0。因此，在n=19時(shí)，Sn取最小正值.(2)若公比2的等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正，且a3a11=16，則log2a10等于()A.4 B.5 C.6 D.7答案b分析a3a11=16，HHHHK=16另外，等比數(shù)列an的各項(xiàng)目都為正，a7=4.另外，AAAAAAAAAAAAAAMMMMMMMMMMMMMMM7問題型三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足條件2Sn=3(an-1 )，其中nN*。(1)證明：數(shù)列a

12、n是等比數(shù)列(2)數(shù)列bn滿足bn=log3an，如果cn=anbn，則求數(shù)列cn的上位n項(xiàng)和。用審問題破題(an=Sn-Sn-1求an與an-1的關(guān)系，再定義證明數(shù)列an為等比數(shù)列(1)由于問題，an=Sn-Sn-1=(an-an-1)(n2 )PS=3an-1，222222222222222222226另外，S1=(a1-1)=a1、a1=3數(shù)列an開頭是3，公比是3的等比數(shù)列(2)如果從(1)中得到an=3n解，則bn=log3an=log33n=nPS=anbn=n3n假設(shè)Tn=131 232 333 (n-1)3n-1 n3n3tn=132 233 334 (n-1)3n n3n 1

13、-2Tn=31 32 33 3n-n3n 1=-n3n 1PS=若考慮歸納等差、等比數(shù)列的判斷和證明方法，則根據(jù)已知條件求出an，或得到an 1和an的遞歸關(guān)系，確認(rèn)an 1-an=d(nN*，d為常數(shù))或=q(nN*，q為非零常數(shù))對(duì)于所有正整數(shù)是否成立。已知變量訓(xùn)練3等差數(shù)列an第1項(xiàng)a1=1、公差d0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別為等比數(shù)列bn的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).(1)求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)式(2)若設(shè)定數(shù)列cn對(duì)nN*，則為2222222222222222652解(1)？a2=1d，a5=1 4d，a14=1 13d，d0解(1 4d)2=(1 d)(1 13d )、d=2。a

14、n=1 (n-1)2=2n-1 .另外，b2=a2=3，b3=a5=9等比數(shù)列bn的公比q=3.bn=b2qn-2=33n-2=3n-1。(2)是22222000000空中航空653n2時(shí)，=an二式的減法是=an 1-an=2cn=2bn=23n-1 (n2 )另一方面，在n=1的情況下，=a2，8756； c1=3PS=c1 c2 c2013=3 231 232 232012=3=3-3 32 013=32 013。典型例(12分鐘)已知數(shù)列a1、a2、a30，其中a1、a2、a10為第一項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列a10、a11、a20為公差d的等差數(shù)列a20、a21、a30為公差d2的等

15、差數(shù)列(d0 ) .(如果a20=40，則求d(2)試著寫一下關(guān)于a30的d的關(guān)系式，求出a30的值的范圍(3)繼續(xù)已知的數(shù)列，將a30、a31、a40設(shè)為公差d3的等差數(shù)列，依次類推，將已知的數(shù)列擴(kuò)展為無(wú)限數(shù)列。 應(yīng)該提出同樣的(2)類似的問題作為(2)特例進(jìn)行研究，能得到什么樣的結(jié)論？規(guī)范解答解(1)從題意來(lái)看，a10=10，a20=10 10d=40d=3.3分鐘(2)a30=a20 10d2=10(1 d d2)=10(d0).5分鐘在d(-，0)(0，)的情況下，a307.5，).7分鐘(3)給定的數(shù)列可擴(kuò)展到無(wú)限數(shù)列an，其中，a1、a2、a10為第一項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列在n

16、1時(shí)，數(shù)列a10n、a10n 1、a10(n 1)為公差dn的等差數(shù)列.研究的問題是寫出a10(n 1 )的d的關(guān)系式，求出a10(n 1 )的可能范圍研究的結(jié)論是a40=a30 10d3=10(1 d d2 d3 )和9分鐘可以按a10(n 1)=10(1 d dn )的順序類推=11分鐘在d0的情況下，a10(n 1)能取的值的范圍為(10，).12分鐘 .在一點(diǎn)列舉與評(píng)分細(xì)則(1)d有關(guān)的方程式(2)求a30的范圍時(shí)，d0按鈕一點(diǎn)沒有明確記載評(píng)分引擎老師要求本問題從具體的數(shù)列開始，確定d，然后利用函數(shù)思想求出a30的范圍，最后通過觀察求出一般規(guī)律，推進(jìn)結(jié)論，掌握數(shù)列的基本知識(shí)，活用數(shù)列的性質(zhì)。1 .若已知等比數(shù)列an的公比為正，且a3a7=4a，a2=2，則a1等于()A.1 B.C.2 D答案a分析為數(shù)列an的公比q(q0)，因?yàn)閍20、a40、a50、a3a7=a，所以a5=2a4、q=2，所以設(shè)為a1=12 .稱為等差數(shù)列的an，a1 a3 a5=1