1、板塊一、最佳安排和選擇方案【例 1】 一個(gè)盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚下面我們對這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補(bǔ)1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補(bǔ)1枚白色的棋子回去這樣的操作，實(shí)際上就是每次都少了1枚棋子，那么，經(jīng)過399次操作后，最后剩下的棋子是 顏色(填“黑”或者“白”)【鞏固】 在黑板上寫上、，按下列規(guī)定進(jìn)行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個(gè)數(shù)和，然后寫上它們的差(大數(shù)減小數(shù))，直到黑板上剩下一個(gè)數(shù)為止問黑板上剩下的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？【例 2】 5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號排列，今要將它們變?yōu)榉葱蚺帕校磸牡?卷到第1

2、卷如果每次只能調(diào)換相鄰的兩卷，那么最少要調(diào)換多少次?【鞏固】 在19971997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個(gè)按鈕按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài)，即由亮變?yōu)椴涣粒蛴刹涣磷優(yōu)榱寥绻瓉砻勘K燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮?【例 3】 有3堆小石子，每次允許進(jìn)行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子，或是將其中的某一石子數(shù)是偶數(shù)的堆中的一半石子移入另外的一堆開始時(shí)，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子問能否做到：、(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【鞏固】 在2009張卡片上分別寫

3、著數(shù)字1、2、3、4、2009，現(xiàn)在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，并在空白面上又分別寫上1、2、3、4、2009然后將每一張卡片正反兩個(gè)面上的數(shù)字相加，再將這2009個(gè)和相乘，所得的積能否確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？【例 4】 在某市舉行的一次乒乓球邀請賽上，有3名專業(yè)選手與3名業(yè)余選手參加.比賽采用單循環(huán)方式進(jìn)行，就是說每兩名選手都要比賽一場為公平起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負(fù)者扣分，每勝專業(yè)選手一場加2分，每勝業(yè)余選手一場加1分；專業(yè)選手每負(fù)一場扣2分，業(yè)余選手每負(fù)一場扣1分問：一位業(yè)余選手最少要勝幾場，才能確保他的得分比某位專業(yè)選手高?【例 5】

4、 n支足球隊(duì)進(jìn)行比賽，比賽采用單循環(huán)制，即每對均與其他各隊(duì)比賽一場.現(xiàn)規(guī)定勝一場得2分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.如果每一隊(duì)至少勝一場，并且所有各隊(duì)的積分都不相同，問：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【例 6】 如圖35-1，將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個(gè)數(shù)分別填入圖中的10個(gè)圓圈內(nèi)，使任意連續(xù)相鄰的5個(gè)圓圈內(nèi)的各數(shù)之和均不大于某個(gè)整數(shù)M.求M的最小值并完成你的填圖. 【例 7】 （2009年清華附中入學(xué)測試題）如圖，在時(shí)鐘的表盤上任意作個(gè)的扇形，使得每一個(gè)扇形都恰好覆蓋個(gè)數(shù)，且每兩個(gè)扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤上的數(shù)并舉一

5、個(gè)反例說明，作個(gè)扇形將不能保證上述結(jié)論成立【鞏固】 （2008年臺灣小學(xué)數(shù)學(xué)競賽選拔賽）將1、2、3、4、5、6寫在一個(gè)圓周上，然后把圓周上連續(xù)三個(gè)數(shù)之和寫下來，則可以得到六個(gè)數(shù)、，將這六個(gè)數(shù)中最大的記為請問在所有填寫方式中，的最小值是什么？【例 8】 1998名運(yùn)動員的號碼依次為1至1998的自然數(shù)現(xiàn)在要從中選出若干名運(yùn)動員參加儀仗隊(duì)，使得剩下的運(yùn)動員中沒有一個(gè)人的號碼等于另外兩人的號碼的乘積那么，選為儀仗隊(duì)的運(yùn)動員最少有多少人?【例 9】 一組互不相同的自然數(shù)，其中最小的數(shù)是l，最大的數(shù)是25，除1之外，這組數(shù)中的任一個(gè)數(shù)或者等于這組數(shù)中某一個(gè)數(shù)的2倍，或者等于這組數(shù)中某兩個(gè)數(shù)之和.問：這

6、組數(shù)之和的最小值是多少?當(dāng)取到最小值時(shí)，這組數(shù)是怎樣構(gòu)成的?【例 10】 2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的獲勝。甲、乙輪流取，如果甲先取，如何才能保證贏？【鞏固】 桌子上放著55根火柴，甲、乙二人輪流每次取走13根，規(guī)定誰取走最后一根火柴誰獲勝如果雙方都采用最佳方法，甲先取，那么誰將獲勝？【鞏固】 有3堆小石子，每次允許進(jìn)行如下操作：從每堆中取走同樣數(shù)目的小石子，或是將其中的某一石子數(shù)是偶數(shù)的堆中的一半石子移入另外的一堆開始時(shí)，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子問，能否做到：某2堆石子全部取光？3堆中的所有石子都被取走？【例 11】 在1019

7、方格表的每個(gè)方格內(nèi)，寫上0或1，然后算出每行及每列的各數(shù)之和問最多能得到多少個(gè)不同的和數(shù)?【例 12】 在88的國際象棋盤上最多能夠放置多少枚棋子，使得棋盤上每行、每列及每條斜線上都有偶數(shù)枚棋子?【例 13】 在下圖中有16個(gè)黑點(diǎn)，它們排成了一個(gè)44的方陣用線段連接其中4點(diǎn)，就可以畫出各種不同的正方形現(xiàn)在要去掉某些點(diǎn)，使得其中任意4點(diǎn)都不能連成正方形，那么最少要去掉多少個(gè)點(diǎn)?【例 14】 三個(gè)邊長為1的正方形并排放在一起，成為13的長方形.求證：.板塊二、染色與賦值問題【例 15】 某學(xué)校的學(xué)生中，沒有一個(gè)學(xué)生讀過學(xué)校圖書館的所有圖書，又知道圖書館內(nèi)任何兩本書都至少被一個(gè)同學(xué)都讀過問：能否找到

8、兩個(gè)學(xué)生甲、乙和三本書4、B、C，使得甲讀過A、B，沒讀過C，乙讀過B、C，沒讀過A?說明判斷過程【例 16】 4個(gè)人聚會，每人各帶2件禮品，分贈給其余3個(gè)人中的2人試證明：至少有2對人，每對人是互贈過禮品的【例 17】 有9位數(shù)學(xué)家，每人至多能講3種語言，每3個(gè)人中至少有2個(gè)人有共通的語言.求證：在這些數(shù)學(xué)家中至少有3人能用同一種語言交談。 【例 18】 在10001000的方格表中任意選取n個(gè)方格染為紅色，都存在3個(gè)紅色方格，它們的中心構(gòu)成一個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)求n的最小值【例 19】 甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)相同，在班級之間舉行象棋比賽各班同學(xué)都按l，2，3，4，依次編號當(dāng)兩個(gè)班比賽時(shí)，具有相

9、同編號的同學(xué)在同一臺對壘在甲、乙兩班比賽時(shí)，有15臺是男、女生對壘；在乙、丙班比賽時(shí)，有9臺是男、女生對壘試說明在甲、丙班比賽時(shí)，男、女生對壘的臺數(shù)不會超過24并指出在什么情況下，正好是24 ？【例 20】 將59的長方形分成10個(gè)邊長為整數(shù)的長方形證明：無論怎樣分法分得的長方形中必有兩個(gè)是完全相同的【例 21】 將1515的正方形方格表的每個(gè)格涂上紅色、藍(lán)色或綠色證明：至少可以找到兩行，這兩行中某一種顏色的格數(shù)相同【例 22】 在平面上有7個(gè)點(diǎn)，其中任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上如果在這7個(gè)點(diǎn)之字連結(jié)18條線段，那么這些線段最多能構(gòu)成多少個(gè)三角形 ？ 【例 23】 在99棋盤的每格中都有一只甲

10、蟲，根據(jù)信號它們同時(shí)沿著對角線各自爬到與原來所在格恰有一個(gè)公共頂點(diǎn)的鄰格中，這樣某些格中有若干只甲蟲，而另一些格則空著問空格數(shù)最少是多少?【例 24】 若干臺計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)，要求： 任意兩臺之間最多用一條電纜連接； 任意三臺之間最多用兩條電纜連接； 兩臺計(jì)算機(jī)之間如果沒有電纜連接，則必須有另一臺計(jì)算機(jī)和它們都連接有電纜若按此要求最少要用79條電纜 問：(1)這些計(jì)算機(jī)的數(shù)量是多少臺? (2)這些計(jì)算機(jī)按要求聯(lián)網(wǎng)，最多可以連多少條電纜?【例 25】 在一個(gè)66的方格棋盤中，將若干個(gè)11的小方格染成紅色如果隨意劃掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一個(gè)是紅色的那么最少要涂多少個(gè)方格?【例 26】 如圖，把正方體的6個(gè)表面剖分成9個(gè)相等的正方形現(xiàn)用紅、黃、藍(lán)3種顏色去染這些