1、附錄I 平面圖形的幾何性質(zhì), 為什么要研究截面圖形的幾何性質(zhì),研究桿件的應力與變形，研究失效問題以及強度、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及到與截面圖形的幾何形狀和尺寸有關(guān)的量。例如在桿的拉（壓）計算中所用的橫截面面積A，在桿的扭轉(zhuǎn)計算中所用的極慣性矩Ip，在梁的彎曲計算中所用的橫截面的靜矩、慣性矩和慣性積等。這些量統(tǒng)稱為幾何量，包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸等。,1.靜矩,附錄I 平面圖形的幾何性質(zhì),I-1 截面的靜矩和形心的位置,2.形心,均質(zhì)薄板的重心與該薄板平面圖形的形心是重合的,3.形心與靜矩的關(guān)系,結(jié)論： (1)靜矩與坐標軸有關(guān)，同一平面圖形對于不同的坐標軸有不同

2、 的靜矩。靜矩可正、可負、可為零；靜矩常用單位為m3或mm3。 (2)如果已算出靜矩，就可確定形心的位置，反之亦然。 (3)某軸過圖形的形心，則圖形對該軸的靜矩為零；圖形對某軸 的靜矩為零，則該軸一定過圖形的形心。,有一個對稱軸：形心C 位于該軸上,y,有兩個對稱軸：兩個對稱軸的交點就是形心C的位置,對某點對稱（中心對稱）：形心C位于對稱中心,4.平面圖形形心和靜矩的確定,對于簡單的、規(guī)則的圖形和對稱圖形， 其形心位置可以直接判斷，例如矩形 、正方形、圓形、正三角形等的形心位 置是顯而易見的 。,(1)簡單的、規(guī)則的圖形,例I-1 求圖示半徑為r的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐標yC。,解

3、：過圓心O作與x軸垂直的y軸，在距x任意高度y處取一個與x軸平行的窄條，,所以,(2)組合圖形的形心與靜矩,組合圖形的靜矩,組合圖形的形心,解：將此圖形分別為I、II、III三部分，以圖形的鉛垂對稱軸為y軸， 過II、III的形心且與y軸垂直的軸線取為x軸，則,例I-2 求圖示圖形的形心。,由于對稱知： xC=0,1.極慣性矩：,2.慣性矩：,為圖形對一點的極慣性矩；,3.慣性積：,為圖形對x、y一對正交軸的慣性積；,分別為圖形對x、y軸的慣性矩；,I-2 極慣性矩 慣性矩 慣性積,4.慣性半徑,iy和ix分別稱為截面對于y軸和x軸 的慣性半徑，其單位為m或mm.,慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣

4、性積有正負，單位：m4、cm4、mm4；,若圖形有一個對稱軸，則圖形對包含此對稱軸的一對正交軸的慣性積為零；,慣性矩、慣性積和極慣性矩均為面積的二次矩 .,5.慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：,平面圖形對過一點的任意一對正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，等于圖形對該點的極慣性矩。,解：平行x軸取一窄長條， 其面積為dA=bdy，則,例I-3 求圖示矩形對通過其形心且與邊 平行的x、y軸的慣性矩Ix、Iy和慣性積Ixy。,又因為x、y軸皆為對稱軸，故Ixy=0。,同理可得,由于圓形對任意直徑軸都是對稱的，故Ix=Iy 注意到I=Ix+Iy，得到,例I-4 求圖示直徑為d的圓對過圓心的任意直徑軸的慣性矩Ix、Iy

5、及對圓心的極慣性矩I。,解：首先求對圓心的極慣性矩。 在離圓心O為r處作寬度為dr的薄圓環(huán)，其面積dA=2prdr，則,一、平行移軸公式(parallel-axis theorem),1.公式推導,2.平行移軸公式,b和a是圖形的形心C在Oxy坐標系中的坐標，所以它們是有正負的。移軸后慣性積有可能增加也可能減少。,3.注意：,xC、yC軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸的慣性矩最小；自形心軸移至與之平行的任意軸，慣性矩總是增加的。,I-3 慣性矩和慣性積的平行移軸公式 組合截面的慣性矩和慣性積,二、組合圖形的慣性矩：,已知： 、 、 ，形心在xOy坐標系下的坐標(a，b)，求Ix、Iy

6、、Ixy,例I-5 求圖示T型截面對形心軸的慣性矩。,例I-6 已知三角形對底邊(x1軸)的慣性矩為bh3/12，求其對過頂點的與底邊平行的x2軸的慣性矩。,解：由于x1、x2軸均非形心軸，所以不能直接使用平行移軸公式，需先求出三角形對形心軸xC的慣性矩，再求對x2軸的慣性矩，即進行兩次平行移軸：,一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式(rotation-axis theorem),1.公式推導：,2.轉(zhuǎn)軸公式：,3.注意：a是x軸與x1軸的夾角，由x軸逆時針轉(zhuǎn)到x1軸時的a為正。,I-4 慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 截面的主慣性軸和主慣性矩,已知：Ix、Iy、Ixy、a，求 、 、 。,利用三角變換，得

7、到,得到,形心主慣性矩：圖形對形心主軸的慣性矩；,2.主軸方位：,利用主軸的定義慣性積等于零進行求解；,主軸與x軸的夾角:,由上式可求出相差90o的a0，a0+90o，分別對應于一對相垂直的主軸x0、y0；,二、主慣性軸、主慣性矩,1.主軸的相關(guān)概念：,主軸(主慣性軸)：慣性積等于零的一對正交軸,即 ；,形心主軸：過圖形形心的主軸，圖形的對稱軸就是形心主軸.,意義對于給定的截面，選擇坐標系使慣性矩 最大（抵抗彎曲的能力最強），避免慣性矩最小,說明取極大（或極小）慣性矩時 慣性積等于零,求慣性矩的極值所在方位，得到與上式相同結(jié)果。所以：圖形對過某點所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對過該點主

8、軸的兩個主慣性矩。,與主軸方位的對應關(guān)系：求a0時只取主值|2a0|p/2)，若IxIy，則由x軸轉(zhuǎn)過a0到達x0軸時，有 ；若IxIy，則 。注意，a0為正值時應逆時針旋轉(zhuǎn)。,任何具有三個或三個以上對稱軸的平面圖形，所有形心軸都是主軸，如正三角形、正方形、正多邊形。,3.主慣性矩大?。?有對稱軸截面的慣性主軸,Ixy= (xiyidA- xiyidA)=0,當圖形有一根對稱軸時，對稱軸及 與之垂直的任意軸即為過二者交點的 主軸。, 確定組合圖形的形心主軸 和形心主矩的方法,工程計算中應用最廣泛的是組合圖形的形心主慣性矩，即圖形對于通過其形心的主軸之慣性矩。為此，必須首先確定圖形的形心以及形心

9、主軸的位置。,因為組合圖形都是由一些簡單的圖形（例如矩形、正方形、圓形等）所組成，所以在確定其形心、形心主軸以至形心主慣性矩的過程中，均不采用積分，而是利 用簡單圖形的幾何性質(zhì)以及移軸和轉(zhuǎn)軸定理。,1.將組合圖形分解為若干簡單圖形，并確定組合圖形的形心位置。,2.以形心為坐標原點，設(shè)Oxy坐標系x、y 軸 一般與簡單圖形的形心主軸平行。確定簡 單圖形對自身形心軸的慣性矩，利用移軸 定理（必要時用轉(zhuǎn)軸定理）確定各個簡單 圖形對x、y軸的慣性矩和慣性積，相加（空洞時則減）后便得到整個圖形的Ix、Iy 和Ixy。,4.計算形心主慣性矩Ix0和Iy0。,3.確定形心主軸的位置，即形心主軸與 x 軸的夾

10、角。,組合圖形的形心主軸 和形心主矩的確定步驟：,例I-7 計算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩,圖形的對稱中心C為形心，在C點建立坐標系xCy如圖,將整個圖形分成I、II、III三個矩形，如圖,整個圖形對x、y軸的慣性矩和慣性積分別為,例I-8 求圖示正方形對過形心的x1、y1軸的慣性矩和慣性積。,則,截面幾何性質(zhì)小結(jié),2. Iz、Iy 恒為正，Sz、Sy、Iyz可正可負，與坐標軸位置有關(guān),3. 對形心軸靜矩為0，對稱軸 Iyz = 0，對稱軸就是形心 主慣性軸。,4. 平行移軸公式中，對形心軸的慣性矩最小。,5. 主慣性系不唯一，但主形心慣性系唯一； 主形心慣性矩一個為最大，一個為最小。,1. 靜矩、慣性矩依賴坐標系數(shù)值不同，但是不同坐標系 中的數(shù)值有一定的關(guān)系,1、下列說法錯誤的有( )。,A、圖形對其主慣性軸