1、天津市南開中學(xué)天津市南開中學(xué) 20182018 屆高三第一次月考屆高三第一次月考 數(shù)學(xué)試卷（理科）數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題（每小題 5 分，共 60 分） 1.已知全集U 0,1,2,3,4,5，集合A 1,2,3,5，B 2,4則(CUA)B為（）. 3,4 A.1,2,4B.4C.0,2,4D.0,2， “x x2 0” 2.設(shè)x R，則是的（）條件. “x2 1” A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 3.設(shè)a log2，b log 1 ，c 2 2 2 ，則（）. A.b a cB.a b cC.a c bD.c b a 4.在下列區(qū)間中f (x) ex4x3的

2、零點(diǎn)所在區(qū)間為（）. A. 1 1 1 11 3 ,0 B.0，C. ， D. ， 4 4 4 22 4 1 x)ln(1 x),則f (x)是（ ）.5.設(shè)函數(shù)f (x) ln( A.奇函數(shù)，且在0， 1上是增函數(shù) B.奇函數(shù)，且在0， 1上是減函數(shù) C.偶函數(shù)，且在0， 1上是增函數(shù) D.偶函數(shù)，且在0， 1上是減函數(shù) 6. 已知函數(shù)f (x) ln x2，若f (x 4) 2,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）. A.(2,2)B.(2, 5)C.( 5,2)D.( 5,2) (2，5) 7. 若y log 1 (3x ax5)在1,上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）. 2 3 x2 A.(,6)

3、B.(6,0)C.(8,6D.8,6 8.已知f (x)為偶函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f (x) m( x2 1)(m 0)，若函數(shù)f ( f (x)恰有 4 個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是（）. A.(1,3)B.(0,1)C.(1,D.3， 二、填空題（每小題 5 分，共 30 分） z2 .9. 已知復(fù)數(shù)z 1i，則 z 2 10. 不等式 x5 2的解集是 . (x1)2 1x2 3ln x的一條切線的斜率為 ，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.11. 已知曲線y 24 12. 函數(shù)y x2與函數(shù)y 2x的圖象所謂封閉圖形的面積是. 13. 函數(shù)f (x) =12x- x3在區(qū)間 -3,3 的最小值是. 14. 若

4、函數(shù)f (x) 2x (x2a) xa在區(qū)間3,1上不是單調(diào)函數(shù)， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍 2 是. 三、解答題（共 80 分） 15. 在銳角ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊，且 3a 2csin A （1）確定角C的大?。?（2）若c 16. 某項(xiàng)選拔共有三輪考核， 每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核， 否則 被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為 ，且各輪問題能 否正確回答互不影響. （1）求該選手被淘汰的概率； （2）該選手在選拔中回答問題的個(gè)數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望. 17. 某小組共 10 人， 利用假期參加義工活動(dòng)，

5、 已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3 的人數(shù)分別為 3,3,4.現(xiàn)從這 10 人中隨機(jī)選出 2 人作為該組代表參加座談會(huì). 7，且ABC的面積為 3 3 ，求a b的值. 2 4 3 2 5 5 5 （1）設(shè)A為事件“選出的 2 人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”求事件A發(fā)生的概率. （2）設(shè)X為事件“選出的 2 人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值”求事件X發(fā)生的概率. 18. 如圖，在三棱柱ABC A 1B1C1中， AA 1 底面ABC, A 1 B 1 C 1 A B AB 1,AC AAABC 60. 1 3, （1）證明AB A 1C ; C BC 1所成角的余弦值; （2）求異面直線AB 1

6、和 （3）求二面角A A 1C B 的平面角的余弦值. 19. 已知x 3是函數(shù)f (x) aln(1 x) x210 x的一個(gè)極值點(diǎn). （1）求a； （2）求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間； （3）若直線y b與函數(shù)y f (x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍. 20. 設(shè)函數(shù)f (x) ln x 1 2ax bx. 2 （1）當(dāng)a 3,b 2時(shí)，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間； （2）令F(x) f (x) 率k 1 2 a ax bx(0 x 3),其圖象上任意一點(diǎn)P(x 0 , y 0 )處切線的斜 2x 1 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； 8 1 （3）當(dāng)a b 0時(shí)，令H(x) f (x)

7、,G(x) mx,若H(x)與G(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn) x A(x 1, y1) ,B(x2, y2),求證：x 1x2 2e2. 參考答案 KS5UKS5U 1-4CACC5-8ADCB 9. 14 1i 10. ,1)(1,3 11.212.13.1614.(6,2) 23 15.解： （1） 根據(jù)正弦定理， 由3a =2csin A有3sin A=2sin Csin A， 于是sinC = 由于是銳角三角形，故C = 3 ， 2 p 3 222 （2）c = a +b - 2abcosC = a +b ()2- 3ab ， (a+b)2 3 3 6 2sabsinC 2 =25，故a+b

8、 =5。=7+3ab =7+3=7+3=7+ sinCsinC3 2 16.解（1）記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為A i i =1,2,3 ，則P A 1 = ()( ) 4 ， 5 P(A 2) = 32 ，P(A 3) = ，該選手被淘汰的概率： 55 142433101 P = P A 1 +P(A 1) P A 2 +P(A 1) P(A 2) P A 3 =+?創(chuàng)= 555555125 ( )( )( ) （2）X的可能值為 1,2,3 142 P(X =1)= ，P(X =2)=? 555 隨機(jī)變量X的分布列為 843 ，P(X =3)=? 2555 12 25 X P

9、 123 1 5 8 25 1812 2?3? 52525 57 25 12 25 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E X=1? ( ) 12C 3C4 +C 3 21 1 A17.解： （1）由已知，得P(A)=，所以事件發(fā)生的概率為= 23C 10 3 （2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為 0, 1,2 KS5UKS5U 2111111C 3 2+C 3 2+C 4 C 3C3 +C 3C4 7C 3C4 44 ，P(X =0)=P X =1 =P X =2 = )( 222C 10 15C 10 15C 10 15 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X P 012 4 15 7 15 474 1?2?1 151

10、515 4 15 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E X=0? ( ) 18.解（1）在三棱柱ABC - A 1B1C1 中，AA 1 ABC，AA 1 AB 在ABC中，AB =1，AC =3，? ABC ? BAC 60，由正弦定理得? ACB30， 90，即AB AC。且AA 1 ，AC為平面ACC 1A1 內(nèi)兩條相交直線， AB ACC 1A1 ，又AC ACC 1A ，AB AC 11 （2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A 0,0,0，B(1,0,0)，C(0, 3,0)，A 1(0,0, 3) ， () B 1 1,0, 3 ，C1 0, 3,3 KS5UKS5U ()() A1 z B 1

11、A B C 1 C y x AB BC 1 7 AB 1 = 1,0, 3 ，BC1= -1, 3, 3 ，cos AB 1,BC1 = 1 ，即異 = 7 AB 1 BC 1 ()() 面直線AB 1和 BC 1 所成角的余弦值為 7 7 （3）可取m = AB =(1,0,0)為平面AAC的法向量，設(shè)平面A 11BC 的法向量為 BC?n 0 ，又BC =(-1, 3,0)，AC =(0, 3,- 3)，n =(x, y,z)，則 1 0 AC 1 ?n mn15 - x+ 3y =0 ，不妨取y =1，則n =( 3,1,1)，因此有cos m,n = = 5 m n 3y -3z =0

12、 二面角A- AC 1 - B的平面角的余弦值為 15 5 aa +2x- 10，所以f3 =+6- 10 =0，因此a =16 19.解： （1）因?yàn)閒 x = ( ) 1+x ( ) 4 2 x2- 4x+3 2(x- 3)(x- 1)16 當(dāng)a =16時(shí)，f ， (x)= 1+x +2x- 10 = x+1 = x+1 由此可知，當(dāng)x 1,3時(shí)，f x單調(diào)遞減，當(dāng)x? 3, ? () ( )( )()時(shí)， f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng) 2(x- 3)(x- 1) x+1 a =16時(shí)，x =3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2- 10 x的一個(gè)極值點(diǎn)。于是a =16 （2）由（I）知，f

13、 x =16ln(1+x)+x - 10 x，x? 當(dāng)x? ( ) 2(1,+?)，f(x)= ( 1,1)?(3, ? )時(shí)， f(x)0 () ()， f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1,3) 當(dāng)x 1,3時(shí)，f x 0 ( ) ( ) ( ) 所以f x的單調(diào)增區(qū)間是 -1,1 ? 3, ? （3）y b與y f (x)的圖象有3個(gè)實(shí)數(shù)根；即f (x)b 0有 3 個(gè)實(shí)數(shù)根；此時(shí)，函數(shù) f (x)b的圖象與x軸有3個(gè)不同交點(diǎn)， 令(x) f (x)b 16ln(1 x) x 10 xb, 則(x) 2 162(x1)(x3) 2x10 (x 1), 1 x1 x 令(x) 0,解得x 1或x 3

14、,(x),(x),隨x的變化情況列表如下： x (1,1) 1 (1,3) 3 0 極小值 (3,) (x) (x) 0 極大值 (1)為極大值，(3)為極小值. 為使y (x)圖象與x軸有3個(gè)不同交點(diǎn)，必須y (x)的極大值等于零， 極小值小于零， 即 (1) 0,16ln29b 0,b 16ln29, 可化為解得 (3) 0,32ln221b 0,b 32ln221, 3 2x 2x,定義域?yàn)?0,)， 2 32ln221 b 16ln29. 20. 解： （1）f (x) ln x 1(3x22x1)(3x1)(x1) f (x) 3x2 ， xxx 11 ，令f (x) 0,解得x ，

15、 33 11 f (x)的單增區(qū)間為(0, ),單減區(qū)間為( ,). 33 a1axa , （2）F(x) ln x ,F(x) 2 2xxxx 令f (x) 0,解得0 x k F(x0) x 0 a1 2 即,x (0,3,8x x 000 8a, 2x 0 8 2 令g(x0) 8x0 x0 (x04)216，g(x0)在(0,3上單調(diào)遞增， g(x0) g(3) 249 15,8a 15，a （3）H(x) ln x ln x 1 15 . 8 1 ,G(x) mx,定義域(0,), x 11 ， mxln x mx 2 12 x 1 x 2 11x x m(x 1 x 2 ),即ln

16、 x 1x2 12 m(x 1 x 2 )， x 1 x 2 x 1x2 +得ln x1ln x2 -得ln x2-ln x 1 + xx x11 -=m(x 2 - x 1),即 ln221 m(x 2 x 1) ， x 1 x 1x2 x 1 x 2 KS5UKS5U 由得ln x 1x2 2(x 1 x 2 )x 1 x 2 x 2 x ln ，不妨設(shè)0 x 1 x 2 ，記t 21， x 1x2 x 2 x 1 x 1 x 1 2(t 1)(t 1)2 (t 1),F(t) 令F(t) lnt 0, t 1t(t 1) F(t)在(1,)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(t) F(1) 0, lnt 2(t 1)x2(x 2 x 1) 2(x 1 x 2 )x 1 x 2 x 2,即ln2,ln x 1x2 ln 2, t 1x 1 x 1 x 2 x 1x