1、 第9章 矩陣和行列式初步9.1 矩陣的概念1、矩陣的概念將方程組 中未知數(shù)的系數(shù)按原來的次序排列，寫在圓括號內(nèi)，可記為；若將常數(shù)項增加進去，則可記為：。上述形如、這樣的矩形數(shù)表叫做矩陣。2、在矩陣中，水平方向排列的數(shù)組成的向量稱為行向量；垂直方向排列的數(shù)組成的向量稱為列向量；由個行向量與個列向量組成的矩陣稱為階矩陣，階矩陣可記做，如矩陣為階矩陣，可記做；矩陣為階矩陣，可記做。有時矩陣也可用、等字母表示。3、矩陣中的每一個數(shù)叫做矩陣的元素，在一個階矩陣中第（）行第（）列的數(shù)可用字母表示，如矩陣第3行第2個數(shù)為。4、當一個矩陣中所有元素均為0時，我們稱這個矩陣為零矩陣。如為一個階零矩陣。5、當一

2、個矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等時，這個矩陣稱為方矩陣，簡稱方陣，一個方陣有行（列），可稱此方陣為階方陣，如矩陣、均為三階方陣。 在一個階方陣中，從左上角到右下角所有元素組成對角線，如果其對角線的元素均為1，其余元素均為零的方陣，叫做單位矩陣。如矩陣為2階單位矩陣，矩陣為3階單位矩陣。6、如果矩陣與矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等，那么與叫做同階矩陣；如果矩陣與矩陣是同階矩陣，當且僅當它們對應(yīng)位置的元素都相等時，那么矩陣與矩陣叫做相等的矩陣，記為。7、對于方程組，矩陣叫做方程組的系數(shù)矩陣；而矩陣叫做方程組的增廣矩陣。例1、已知矩陣且，求、的值及矩陣。解：由題意知：解得：，又由解得：， 例2、寫出線性方程組的增廣

3、矩陣。解： 例3、已知線性方程組的增廣矩陣為，寫出其對應(yīng)的方程組：解： 例4、已知矩陣為單位矩陣，且，求的值。解：由單位矩陣定義可知：， 。8、線性方程組的增廣矩陣的三個基本變換：（1）互換矩陣的兩行；（2）把某一行同乘（除）以一個非零的數(shù)；（3）某一行乘以一個數(shù)加到另一行。9、通過以上三個基本變換，可將線性方程組的系數(shù)矩陣變成單位矩陣，這時增廣矩陣的最后一個列向量就是方程組的解。例5、運用矩陣變換方法解方程組：解： 即方程組的解為。9、2 矩陣的運算1、矩陣的加減，數(shù)乘矩陣例1、已知，求（1）；（2）解：（1） （2）例2、已知，且，求矩陣。解：由可得：例3、下表是在某次選秀比賽中四位競爭者

4、在各類評分中的得分情況，若評委、現(xiàn)場觀眾、及場外觀眾的權(quán)重分別為：，試用矩陣表示并計算這4位競爭者的綜合得分，選出優(yōu)勝者。 評分者得分選手評委現(xiàn)場觀眾場外觀眾競爭者1858890競爭者2889080競爭者3858595競爭者4908580解：設(shè)四位選手通過評委、現(xiàn)場觀眾及場外觀眾的得分情況分別為矩陣、， 則，設(shè)四位選手綜合得分為矩陣，則由題意知： 四位競爭者的得分分別為：87.4、86.2、88、85.5，優(yōu)勝者為競爭者3。例4、給出二元一次方程組存在唯一解的條件。解：原方程組對應(yīng)的系數(shù)矩陣為，其中、為的兩個列向量， 則原方程組可表示為（）-（*） 由平面向量的分解定理可知：當向量與不平行時，

5、存在唯一的實數(shù)、使（*）式成立。 而當與平行時，對任意、，都與或平行，因此若與平行時，則原方程組有無窮多解；若與不平行時，則原方程組無解。 綜上所述，與不平行是方程組存在唯一解的條件。2、矩陣乘法概念：對于一個階的矩陣和一個階的矩陣（），若矩陣的第行的行向量與矩陣的第列的列向量（）進行數(shù)量積得到的數(shù)為矩陣的第行第個數(shù)，那么矩陣叫做矩陣和的乘積，記作。說明：（1）只有當矩陣的列數(shù)與矩陣的行數(shù)相等時，矩陣之積才有意義； （2）在實際問題中，矩陣之積有著現(xiàn)實的意義。 例5、已知矩陣，求和解： 例6、若，試求的值。解：，即。例7、將下列線性方程組寫成矩陣的形式：（1） （2）解：（1） （2） 例8、

6、如果，矩陣就稱為與可交換，若，求所有與可交換的矩陣。解：由題意知：矩陣必為2階方陣，設(shè)（）則 由可得：，（）例9、下表是在某次選秀比賽中四位競爭者在各類評分中的得分情況，若評委、現(xiàn)場觀眾、及場外觀眾的權(quán)重分別為：，試用矩陣表示并計算這4位競爭者的綜合得分，選出優(yōu)勝者。 評分者得分選手評委現(xiàn)場觀眾場外觀眾競爭者1858890競爭者2889080競爭者3858595競爭者4908580解： 四位競爭者的得分分別為：87.4、86.2、88、85.5，優(yōu)勝者為競爭者3。9.3 二階行列式設(shè)二元一次方程組，當時，方程組有唯一解。用記號表示，即。我們將記號叫做行列式，并由于它有兩行、兩列，所以把它叫做二

7、階行列式。算式叫做此行列式的展開式；其計算結(jié)果叫做行列式的值；、叫做此行列式的元素。我們可將二階行列式寫成它的展開式，這種方法叫做二階行列式展開的對角線法則。行列式一般可用大寫字母表示，如：。類似地，在方程組求解公式中分子、也可分別用二階行列式及來表示。因此當時，方程組的解可用二階行列式表示為：。在這里，行列式叫做方程組的系數(shù)行列式；行列式和分別是用此方程組的常數(shù)項、替換行列式中的系數(shù)、和的系數(shù)、后得到的。例1、展開并化簡下列行列式：（1） （2） 解：（1）；（2）。例2、用行列式解下列二元一次方程組：解：將方程組化為， ， ，此方程組的解為。 我們已經(jīng)知道：當時，方程組-（*）有唯一解，

8、并且方程組的解可用二階行列式表示為：。顯然，此時兩個方程的系數(shù)所組成的列向量與不平行。那么當時，即與平行時，方程組（*）解的情況會怎樣呢？一般地，對于方程組（*），通過加減消元法可以轉(zhuǎn)化為，其中、，當時，我們可以分兩種情況來研究：若、中至少有一個不為零，不妨設(shè)，則無論取何值，方程都不成立，于是此時方程組（*）無解；若，可證方程組（*）中的方程的所有解都滿足方程，即都是方程組（*）的解，而方程有無窮多解，因此方程組（*）有無窮多解。例3、判斷下列二元一次方程組的解的情況：（1）； （2）； （3）解：（1），原方程組有唯一解；（2），而 原方程組無解；（3），而，原方程組有無窮多解。例4、解關(guān)于

9、、的二元一次方程組，并對解的情況進行討論： 。解：，（1）當即時，方程組有唯一解；（2）當時，此時， 當?shù)磿r，此方程組無解；當即且時，此方程組有無窮多解，此時令，則原方程組的解可表示為。練習(xí)：解關(guān)于、的二元一次方程組，并對解的情況進行討論： 。解：（1）當時，方程組有唯一解； （2）當時，此方程組無解；（3）當時，此方程組有無窮多解，。9.4 三階行列式1、三階行列式與二元一次方程組組類似，對于三元一次方程組（其中、為未知數(shù)，為未知數(shù)的系數(shù)且不全為零，、為常數(shù)項）我們將這個方程組的系數(shù)排成一個方陣：（*），我們把這個三行三列方陣叫做三階行列式。這個三階行列式表示算式：，我們把這個算式叫做三階

10、行列式的展開式，其中都叫做這個行列式的元素。（1）按對角線法則展開 三階行列式的展開式可用對角線法則來理解，即：如圖：按從左上至右下的對角線的乘積取“”號；按從右上至左下的對角線的乘積取“”號，而這六個結(jié)果的代數(shù)和就是三階行列式（*）的展開式，這個展開方法叫做三階行列式展開的對角線法則。例1、用對角線法則計算行列式：解：原式例2、如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標分別為，求的面積公式。解：分別作、垂直于軸，垂足分別為、， 的面積公式為說明：1、由上述解題可知：當、三點共線的充要條件為； 2、在本題中，如果對調(diào)某兩個頂點的次序，例如對調(diào)點、點的次序，于是可推得：，由行列式的運算性質(zhì)可知：，則按本

11、利方法推導(dǎo)三角形面積公式與三個頂點的次序有關(guān)（會相差一個符號），為了應(yīng)用方便，可將三角形面積公式表述為“的絕對值”。（2）按一行（或一列）展開基本概念：元素的余子式。元素的代數(shù)余子式。三階行列式按任意一行（或一列）展開 三階行列式可以按其任意一行（或一列）展開成該行（或該列）元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。例3：按下列要求計算行列式：（1）按第一行展開；（2）按第一列展開。解：-40。 行列式的一個性質(zhì)：如果將三階行列式的某一行（或一列）的元素與另一行（或一列）的元素的代數(shù)余子式對應(yīng)相乘，那么它們的乘積之和等于零。2、三元一次方程組的行列式解法 對于三元一次方程組 其中、為未知數(shù)，為未知數(shù)的系數(shù)且不全為零，、為常數(shù)項。其系數(shù)行列式； 又 則方程組可化為，可知，當時，方程組有唯一解； 當時，方程組無解或有無數(shù)組解。例4：用行列式解三元一次方程組：解：例