1、第3篇 增長(zhǎng)理論：超長(zhǎng)期中的經(jīng)濟(jì)第7章 經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)：資本積累與人口增長(zhǎng)7.1 復(fù)習(xí)筆記跨考網(wǎng)獨(dú)家整理最全經(jīng)濟(jì)學(xué)考研真題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研課后習(xí)題解析資料庫，您可以在這里查閱歷年經(jīng)濟(jì)學(xué)考研真題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研課后習(xí)題，經(jīng)濟(jì)學(xué)考研參考書等內(nèi)容，更有跨考考研歷年輔導(dǎo)的經(jīng)濟(jì)學(xué)學(xué)哥學(xué)姐的經(jīng)濟(jì)學(xué)考研經(jīng)驗(yàn)，從前輩中獲得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)初學(xué)者來說是寶貴的財(cái)富，這或許能幫你少走彎路，躲開一些陷阱。以下內(nèi)容為跨考網(wǎng)獨(dú)家整理，如您還需更多考研資料，可選擇經(jīng)濟(jì)學(xué)一對(duì)一在線咨詢進(jìn)行咨詢。1資本積累（1）單位勞動(dòng)生產(chǎn)函數(shù)總生產(chǎn)函數(shù)為： 定義： 單位工人產(chǎn)出單位工人資本假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報(bào)酬不變的，即對(duì)任意有：。當(dāng)，那么這個(gè)式子表示，人均產(chǎn)出

2、是人均資本量的函數(shù)（數(shù)字“1”是不變的，從而可以忽略）。規(guī)模收益不變的假設(shè)意味著，經(jīng)濟(jì)的規(guī)模用工人人數(shù)來衡量并不影響人均產(chǎn)出與人均資本量之間的關(guān)系。由于經(jīng)濟(jì)規(guī)模是無關(guān)緊要的，所以可以證明以人均額來表示所有數(shù)量是方便的。用小寫字母來表示這些量，因此是人均產(chǎn)出，是人均資本量。這樣，可以把生產(chǎn)函數(shù)寫為：。在這里，定義。圖7-1顯示了這一生產(chǎn)函數(shù)。圖7-1 生產(chǎn)函數(shù)這個(gè)生產(chǎn)函數(shù)的斜率表示當(dāng)給定一單位額外資本時(shí)，一個(gè)工人生產(chǎn)的額外產(chǎn)出是多少。這個(gè)量是資本的邊際產(chǎn)量。數(shù)學(xué)上，可以寫為：。國(guó)民收入恒等式（不考慮政府支出和凈出口）由儲(chǔ)蓄率為可知：則：即投資等于儲(chǔ)蓄。人均資本折舊=折舊率（）人均資本水平（）。（

3、2）資本存量的增長(zhǎng)和穩(wěn)定狀態(tài)投資使資本存量增加，折舊使資本存量減少。因此，資本存量變動(dòng)等于同期的投資減折舊：而，所以：。索洛模型的核心方程：。該方程決定了資本隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)情況；同時(shí)也決定了其他內(nèi)生變量，因?yàn)樗械膬?nèi)生變量都依賴于，如：人均產(chǎn)出： 人均消費(fèi)： 穩(wěn)定狀態(tài)當(dāng)投資和折舊相等時(shí)，就會(huì)有：。圖7-2 投資、折舊和穩(wěn)定狀態(tài)人均資本存量保持不變，記為，稱之為穩(wěn)定狀態(tài)的人均資本存量。在穩(wěn)定狀態(tài)，由于人均資本存量保持不變，所以人均產(chǎn)出也保持不變，即人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率為零。（3）趨近穩(wěn)定狀態(tài)如圖7-2所示，資本存量越多，產(chǎn)出量和投資量就越大。但資本存量越高，折舊量也越大。資本的穩(wěn)定狀態(tài)是投資等于折舊的水

4、平，這表示資本量不隨時(shí)間而變化。初始資本水平小于時(shí)，投資大于折舊，所以人均資本會(huì)增加。也就是說，只要投資大于折舊，人均資本水平就會(huì)向右移動(dòng)，直到達(dá)到時(shí)，投資和折舊相等，人均資本不再發(fā)生移動(dòng)，經(jīng)濟(jì)達(dá)到了均衡狀態(tài)。當(dāng)初始資本水平大于時(shí)，原理和一樣，只是現(xiàn)在折舊大于投資，因此人均資本水平會(huì)下降，直到達(dá)到，折舊和投資相等，經(jīng)濟(jì)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。（4）儲(chǔ)蓄率與增長(zhǎng)的關(guān)系圖7-3 儲(chǔ)蓄率的提高儲(chǔ)蓄率上升會(huì)增加投資，從而增加人均資本存量以及人均產(chǎn)出。如圖7-3所示，經(jīng)濟(jì)初始處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)儲(chǔ)蓄率上升，儲(chǔ)蓄曲線也隨之向上移動(dòng)，儲(chǔ)蓄（投資）就高于折舊，于是人均資本存量增加，直到達(dá)到，經(jīng)濟(jì)重新達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。由于人均資

5、本存量增大了，所以在新的穩(wěn)定狀態(tài)下，人均產(chǎn)出水平高于經(jīng)濟(jì)初始水平。索洛模型預(yù)測(cè)：儲(chǔ)蓄率是穩(wěn)定狀態(tài)資本存量的關(guān)鍵決定因素，從長(zhǎng)期看，如果一國(guó)有更高的儲(chǔ)蓄率和投資，則將有更高的人均資本存量和產(chǎn)出水平。如果儲(chǔ)蓄率高，經(jīng)濟(jì)的資本存量就會(huì)大，相應(yīng)的產(chǎn)出水平就會(huì)高。如果儲(chǔ)蓄率低，經(jīng)濟(jì)的資本存量就會(huì)少，相應(yīng)的產(chǎn)出水平就會(huì)低。這個(gè)結(jié)論也說明：減少儲(chǔ)蓄率的長(zhǎng)期后果是較低的資本存量和較低的國(guó)民收入。這就是許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家批評(píng)長(zhǎng)期預(yù)算赤字的原因。2資本的黃金律水平（1）資本的黃金律水平定義：資本的黃金律水平就是指穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)人均消費(fèi)最大化所對(duì)應(yīng)的人均資本水平。意義：資本的黃金律水平描述了如何將產(chǎn)出在消費(fèi)和投資間分配才能使

6、經(jīng)濟(jì)福利最大化。經(jīng)濟(jì)福利通常以人均消費(fèi)來衡量。解法：設(shè)資本的黃金律水平。首先，把表示為的式子：求解最大化，可得：這就是資本的黃金律水平的條件。如圖7-4所示，曲線代表人均產(chǎn)出，代表折舊，也代表穩(wěn)態(tài)時(shí)的投資，那么兩曲線之間的差距就代表穩(wěn)態(tài)時(shí)的人均消費(fèi)水平。求解，也就是找到使曲線和之間的差最大時(shí)的資本水平，那么在這個(gè)資本水平下兩曲線的斜率相等，的斜率為，的斜率為，所以仍然得到資本的黃金規(guī)則水平條件：。圖7-4 穩(wěn)定狀態(tài)的消費(fèi)（2）向黃金律穩(wěn)態(tài)的過渡特點(diǎn)：a經(jīng)濟(jì)體系不會(huì)自發(fā)地向黃金律穩(wěn)定狀態(tài)過渡。b要達(dá)到黃金律穩(wěn)定狀態(tài)，要求政策制定者調(diào)整儲(chǔ)蓄率。c這種調(diào)整將使經(jīng)濟(jì)達(dá)到更高消費(fèi)水平的新的穩(wěn)定狀態(tài)。d但

7、是在過渡的過程中，消費(fèi)的變動(dòng)是不確定的，這取決于初始資本水平與資本的黃金律水平間的大小關(guān)系。初始資本水平大于的情況如圖7-5所示，由于初始經(jīng)濟(jì)的資本水平大于，要使經(jīng)濟(jì)過渡到黃金律穩(wěn)態(tài)，就要減少儲(chǔ)蓄，因此在整個(gè)過渡過程中，人均消費(fèi)水平都高于初始狀態(tài)。圖7-5 儲(chǔ)蓄率的下降初始資本水平小于的情況如圖7-6所示，由于初始經(jīng)濟(jì)的資本水平小于，要使經(jīng)濟(jì)過渡到黃金律穩(wěn)態(tài)水平，就要增加儲(chǔ)蓄，從而在短期內(nèi)消費(fèi)水平會(huì)下降，當(dāng)然達(dá)到穩(wěn)態(tài)后消費(fèi)水平會(huì)高于初始情形。圖7-6 儲(chǔ)蓄率的提高3人口增長(zhǎng)（1）有人口增長(zhǎng)的穩(wěn)定狀態(tài)兩個(gè)概念資本擴(kuò)展化也即資本廣化，指為使人均資本保持不變而進(jìn)行的投資，又稱之為補(bǔ)償投資或收支相抵的

8、投資（break-even investment）。所以，在沒有人口增長(zhǎng)和技術(shù)進(jìn)步的情況下，資本擴(kuò)展化就等于折舊。在人口增長(zhǎng)率為的情況下（仍然沒有技術(shù)進(jìn)步，涉及技術(shù)進(jìn)步的情況會(huì)在下一章討論），資本擴(kuò)展化就等于。資本深化指人均資本存量的累積。資本深化大于零，就說明人均資本在增加；資本深化等于零，就說明經(jīng)濟(jì)達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。投資就是用于資本擴(kuò)展化和資本深化這兩方面，也就是說：投資=資本擴(kuò)展化+資本深化。那么資本運(yùn)動(dòng)方程實(shí)際上就是：資本深化=投資-資本擴(kuò)展化。穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)資本深化為零，所以穩(wěn)定狀態(tài)條件也可以表示為：投資=資本擴(kuò)展化。資本運(yùn)動(dòng)方程在加入了人口增長(zhǎng)因素之后，資本運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)椋?。新的穩(wěn)態(tài)條件為

9、：。如圖7-7所示，在穩(wěn)定狀態(tài)，投資對(duì)人均資本存量的正效應(yīng)正好與折舊和人口增長(zhǎng)的負(fù)效應(yīng)平衡。這就是說，在，而且，。一旦經(jīng)濟(jì)處于穩(wěn)定狀態(tài)，投資就有兩個(gè)目的：一些投資（）用于替代折舊的資本；其余的投資（）給新增加的人口提供穩(wěn)定狀態(tài)的資本量。圖7-7 有人口增長(zhǎng)時(shí)的新穩(wěn)態(tài)條件（2）人口增長(zhǎng)與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的關(guān)系如圖7-8所示，人口增長(zhǎng)率的提高會(huì)使資本擴(kuò)展線上移，降低了穩(wěn)定狀態(tài)的資本水平，從而降低了穩(wěn)態(tài)的人均產(chǎn)出。圖7-8 人口增長(zhǎng)的影響因此，索洛模型預(yù)言：從長(zhǎng)期看，人口增長(zhǎng)率較高的國(guó)家，人均資本和人均收入水平較低。由于穩(wěn)定狀態(tài)的人均資本不變，所以在有人口增長(zhǎng)率的情況下，穩(wěn)態(tài)人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率仍然為零，但是由于

10、人口在增長(zhǎng)，所以總產(chǎn)出在增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)率等于人口增長(zhǎng)率。（3）有人口增長(zhǎng)時(shí)的黃金律先把表示為的式子：解的最大化問題，可得：或者寫成：達(dá)到黃金律穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，資本邊際產(chǎn)量減去資本折舊率等于人口增長(zhǎng)率。4索洛模型的結(jié)論（1）從長(zhǎng)期來看，一國(guó)的人均產(chǎn)出水平（生活水平）與儲(chǔ)蓄率正相關(guān)，與人口增長(zhǎng)率負(fù)相關(guān)。（2）儲(chǔ)蓄率的增加會(huì)帶來長(zhǎng)期的產(chǎn)出增加和暫時(shí)的增長(zhǎng)率提高，但不能提高穩(wěn)定狀態(tài)后的增長(zhǎng)率。（3）如果經(jīng)濟(jì)中有高于黃金律水平的資本存量，減少儲(chǔ)蓄將會(huì)增加所有時(shí)點(diǎn)上的消費(fèi)水平，使每一代人都受益。如果經(jīng)濟(jì)中的資本水平低于黃金律水平，增加儲(chǔ)蓄將提高將來世代的消費(fèi)水平，但將減少現(xiàn)在這一代人的消費(fèi)水平。7.2 課后習(xí)題

11、詳解一、概念題1索洛增長(zhǎng)模型（Solow growth model）答：索洛增長(zhǎng)模型是表明儲(chǔ)蓄、人口增長(zhǎng)和技術(shù)進(jìn)步如何影響一個(gè)經(jīng)濟(jì)的產(chǎn)出水平及其隨著時(shí)間推移而實(shí)現(xiàn)增長(zhǎng)的一種經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型。它的基本假定有：（1）社會(huì)儲(chǔ)蓄函數(shù)為，式中，是作為參數(shù)的儲(chǔ)蓄率；（2）勞動(dòng)力按照一個(gè)不變的比例增長(zhǎng)；（3）生產(chǎn)的規(guī)模報(bào)酬不變。其主要思想是：人均投資用于資本擴(kuò)展化和資本深化，當(dāng)人均投資大于資本擴(kuò)展化時(shí)，人均產(chǎn)出就會(huì)增長(zhǎng)；當(dāng)人均投資等于資本擴(kuò)展化時(shí)，經(jīng)濟(jì)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，人均產(chǎn)出不再增長(zhǎng)，但總產(chǎn)出會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，增長(zhǎng)率等于人口增長(zhǎng)率。2穩(wěn)定狀態(tài)（steady state）答：索洛模型的穩(wěn)定狀態(tài)是指長(zhǎng)期中經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)達(dá)到的一種

12、均衡狀態(tài)，在這種狀態(tài)下，投資等于資本擴(kuò)展化水平，人均資本存量維持不變，即。這個(gè)維持不變的人均資本存量稱之為穩(wěn)定狀態(tài)人均資本存量。在穩(wěn)定狀態(tài)下，不論經(jīng)濟(jì)初始位于哪一點(diǎn)，隨著時(shí)間的推移，經(jīng)濟(jì)總是會(huì)收斂于該人均資本水平。在穩(wěn)定狀態(tài)，由于人均資本存量保持不變，所以人均產(chǎn)出也保持不變，即人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率為零。3資本的黃金律水平（golden rule level of capital）答：資本的黃金律水平是指在穩(wěn)定狀態(tài)人均消費(fèi)最大化時(shí)所對(duì)應(yīng)的人均資本水平，由經(jīng)濟(jì)學(xué)家費(fèi)爾普斯于1961年提出。他認(rèn)為如果一個(gè)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展目標(biāo)是使穩(wěn)態(tài)人均消費(fèi)最大化，穩(wěn)態(tài)人均資本量的選擇應(yīng)使資本的邊際產(chǎn)出等于勞動(dòng)力的增長(zhǎng)率。黃金律

13、具有如下的性質(zhì)：（1）在穩(wěn)態(tài)時(shí)如果一個(gè)經(jīng)濟(jì)中人均資本量高于黃金律的水平，則可以通過消費(fèi)掉一部分資本使每個(gè)人的平均資本下降到黃金律的水平，就能夠提高人均消費(fèi)水平；（2）如果一個(gè)經(jīng)濟(jì)擁有的人均資本低于黃金律的數(shù)量，則該經(jīng)濟(jì)能夠提高人均消費(fèi)的途徑是在目前縮減消費(fèi)，增加儲(chǔ)蓄，直到人均資本達(dá)到黃金律的水平。二、復(fù)習(xí)題1在索洛模型中，儲(chǔ)蓄率是如何影響穩(wěn)定狀態(tài)的收入水平的？它是如何影響穩(wěn)定狀態(tài)的增長(zhǎng)率的？答：在索洛模型中，如果儲(chǔ)蓄率高，經(jīng)濟(jì)的資本存量就會(huì)大，相應(yīng)的穩(wěn)定狀態(tài)的產(chǎn)出水平就會(huì)高；如果儲(chǔ)蓄率低，經(jīng)濟(jì)的資本存量就會(huì)少，相應(yīng)的穩(wěn)定狀態(tài)的產(chǎn)出水平就會(huì)低。如圖7-9所示。圖7-9 儲(chǔ)蓄率的影響較高的儲(chǔ)蓄導(dǎo)致

14、較快的增長(zhǎng)，但這只是暫時(shí)的。儲(chǔ)蓄率的提高會(huì)加快經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，直至經(jīng)濟(jì)達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)為止。如果經(jīng)濟(jì)保持高儲(chǔ)蓄率，也會(huì)保持大量的資本存量和高產(chǎn)出水平，但并不能永遠(yuǎn)保持較高的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率，隨著時(shí)間的推移，經(jīng)濟(jì)總是會(huì)趨向收斂于穩(wěn)定狀態(tài)下的均衡經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率。2為什么一個(gè)經(jīng)濟(jì)的決策者可能會(huì)選擇黃金律資本水平？答：決策者會(huì)選擇黃金律資本水平的原因如下：經(jīng)濟(jì)決策者的目標(biāo)是社會(huì)福利最大化，而社會(huì)福利水平體現(xiàn)為社會(huì)中個(gè)體的人均消費(fèi)水平而非產(chǎn)出水平。所以，決策者的目標(biāo)就應(yīng)該是人均消費(fèi)最大化。如果決策者要使人均產(chǎn)出最大化，那么就應(yīng)該使儲(chǔ)蓄率為100%；但如果要使人均消費(fèi)水平最大化，顯然儲(chǔ)蓄率不應(yīng)該是100%，因?yàn)?00%的

15、儲(chǔ)蓄率會(huì)使消費(fèi)為零。通過索洛模型的分析，可以知道這個(gè)使人均消費(fèi)最大化的資本水平就是黃金律資本水平。因此，決策者要使社會(huì)福利最大化，就一定會(huì)選擇黃金律資本水平。假定經(jīng)濟(jì)中不存在人口增長(zhǎng)和技術(shù)進(jìn)步。如果穩(wěn)定狀態(tài)下的資本存量增加一個(gè)單位，產(chǎn)出增加量則等于資本的邊際產(chǎn)出；但是，折舊以速度增加，所以新增產(chǎn)出中可以用于消費(fèi)的凈增加量等于。黃金規(guī)則的資本存量水平是在，即資本的邊際產(chǎn)出等于折舊。3決策者會(huì)選擇其資本高于黃金律穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)定狀態(tài)嗎？會(huì)選擇其資本低于黃金律穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)定狀態(tài)嗎？解釋你的答案。答：決策者對(duì)這兩種情況都可能選擇，只是看本國(guó)情況的不同而定。（1）在理想的狀況下，決策者出于長(zhǎng)遠(yuǎn)考慮，肯定會(huì)

16、選擇黃金律資本水平，因?yàn)樵邳S金律資本水平下，穩(wěn)定狀態(tài)的人均消費(fèi)可以達(dá)到最大，即社會(huì)福利最大化。但是在實(shí)際情況中，政治等多種因素可能會(huì)影響決策者的選擇。（2）考慮初始資本水平高于黃金律水平。在這種情況下，決策者如果選擇將經(jīng)濟(jì)的資本水平帶入黃金律水平，那么在達(dá)到黃金律資本水平的過程中，所有時(shí)點(diǎn)的人均消費(fèi)都會(huì)增大，此后逐步下降。（3）再考慮初始資本水平低于黃金律水平的情況。在這種情況下，如果要把經(jīng)濟(jì)帶入黃金律資本水平，社會(huì)將要忍受短期的痛苦，在短期內(nèi)人均消費(fèi)會(huì)降低，因?yàn)橛糜趦?chǔ)蓄（投資）的部分更大了?；蛘呖梢岳斫鉃闉榱耸瓜乱淮说母＠礁?，現(xiàn)在這代人要犧牲一部分消費(fèi)，用更多的儲(chǔ)蓄（投資）提高社會(huì)的

17、產(chǎn)量。如此看來，如果不選擇黃金律資本存量，則各期的消費(fèi)水平會(huì)有所不同，也就可能造成不同代際的人的福利水平不同，這種選擇要視不同國(guó)家實(shí)際情況而定。4在索洛模型中，人口增長(zhǎng)率是如何影響穩(wěn)定狀態(tài)的收入水平的？它是如何影響穩(wěn)定狀態(tài)的增長(zhǎng)率的？答：（1）在一定的儲(chǔ)蓄率下，人口增長(zhǎng)率越高，則穩(wěn)定狀態(tài)人均資本水平越低，相應(yīng)的人均產(chǎn)出水平也越低；反之，人口增長(zhǎng)率越低，穩(wěn)定狀態(tài)下的人均資本水平越高，人均產(chǎn)出水平也就越高。（2）人口增長(zhǎng)率越高，穩(wěn)定狀態(tài)下的經(jīng)濟(jì)總量增長(zhǎng)率就越高。在穩(wěn)定狀態(tài)下，人均資本以及人均產(chǎn)出都不變，即人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率為零，所以，在沒有技術(shù)進(jìn)步的情況下，經(jīng)濟(jì)總量增長(zhǎng)率等于人口增長(zhǎng)率（），那么人口增

18、長(zhǎng)率越高，經(jīng)濟(jì)總量增長(zhǎng)率就越高。在有技術(shù)進(jìn)步（）的情況下，經(jīng)濟(jì)總量增長(zhǎng)率等于人口增長(zhǎng)率與技術(shù)進(jìn)步率之和，穩(wěn)態(tài)的經(jīng)濟(jì)總量增長(zhǎng)率仍然與人口增長(zhǎng)率正相關(guān)。但人口增長(zhǎng)率與穩(wěn)態(tài)的人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率沒有關(guān)系。因?yàn)樵诜€(wěn)定狀態(tài)時(shí)（假設(shè)沒有技術(shù)進(jìn)步），人均資本不變，人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率為零，與人口增長(zhǎng)率無關(guān)。即使在有技術(shù)進(jìn)步時(shí)，穩(wěn)態(tài)的人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率與人口增長(zhǎng)率也無關(guān)。因?yàn)樵诜€(wěn)態(tài)時(shí)，人均資本維持不變，那么人均產(chǎn)量也就不變，因此人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率只與技術(shù)進(jìn)步相關(guān)。三、問題與應(yīng)用1A國(guó)與B國(guó)的生產(chǎn)函數(shù)都是：a這個(gè)生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報(bào)酬不變嗎？請(qǐng)解釋。b人均生產(chǎn)函數(shù)是什么？c假設(shè)沒有一個(gè)國(guó)家經(jīng)歷了人口增長(zhǎng)或技術(shù)進(jìn)步，并且資本折舊為每年5

19、%。再假設(shè)A國(guó)每年儲(chǔ)蓄為產(chǎn)出的10%，而B國(guó)每年儲(chǔ)蓄為產(chǎn)出的20%。用你對(duì)b的答案和投資等于折舊的穩(wěn)定狀態(tài)條件，找出每個(gè)國(guó)家穩(wěn)定狀態(tài)的人均資本水平。然后找出穩(wěn)定狀態(tài)的人均收入水平和人均消費(fèi)水平。d假定兩國(guó)都從人均資本存量為2開始。人均收入水平和人均消費(fèi)水平是多少？記住資本存量的變動(dòng)是投資減折舊，用計(jì)算器來計(jì)算這兩個(gè)國(guó)家的人均資本存量隨時(shí)間推移將如何變動(dòng)。計(jì)算每一年的人均收入和人均消費(fèi)。B國(guó)的消費(fèi)會(huì)在多少年后高于A國(guó)的消費(fèi)？解：a該生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報(bào)酬不變的生產(chǎn)函數(shù)。規(guī)模報(bào)酬不變，函數(shù)定義為。A國(guó)與B國(guó)的生產(chǎn)函數(shù)都是，對(duì)于任何正數(shù)，都有。b人均生產(chǎn)函數(shù)是以生產(chǎn)函數(shù)兩邊同除以L得到的：。如果定義，可

20、以得到，定義，整理上式得：。c已知：資本折舊率；A國(guó)儲(chǔ)蓄率；B國(guó)儲(chǔ)蓄率；人均產(chǎn)出函數(shù)是。在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，資本存量不變，即投資等于折舊：。將人均生產(chǎn)函數(shù)代入可推出：。因此：A國(guó)的穩(wěn)態(tài)人均資本水平為：；B國(guó)的穩(wěn)態(tài)人均資本水平為：。將、的值代入人均生產(chǎn)函數(shù)，可得兩國(guó)的穩(wěn)態(tài)人均產(chǎn)出水平分別為：，由于收入中用于儲(chǔ)蓄的比例是，那么用于消費(fèi)的比例就是，因此兩國(guó)的人均消費(fèi)水平分別為：d對(duì)于A國(guó)：，。對(duì)于B國(guó)：，。由以上兩個(gè)表可以看出：直到第五年B國(guó)的人均消費(fèi)才會(huì)比A國(guó)更高。2有關(guān)德國(guó)和日本戰(zhàn)后增長(zhǎng)的討論，正文中描述了部分資本存量在戰(zhàn)爭(zhēng)中被摧毀之后所出現(xiàn)的情況。相反，假設(shè)戰(zhàn)爭(zhēng)并沒有直接影響資本存量，但人員死傷減少

21、了勞動(dòng)力。a對(duì)總產(chǎn)出和人均產(chǎn)出的即刻影響是什么？b假設(shè)儲(chǔ)蓄率不變，而且戰(zhàn)前經(jīng)濟(jì)處于穩(wěn)定狀態(tài)，那么，在戰(zhàn)后的經(jīng)濟(jì)中人均產(chǎn)出會(huì)發(fā)生什么變動(dòng)？戰(zhàn)后人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率小于還是大于正常增長(zhǎng)率？答：a索洛增長(zhǎng)模型的總量生產(chǎn)函數(shù)是，或者以人均形式來表示為。如果一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng)減少了勞動(dòng)力，下降，使上升了。由總量形式的生產(chǎn)函數(shù)可知，勞動(dòng)力減少，則總產(chǎn)出下降。但是，由于人均資本存量水平上升了，工人人均產(chǎn)出將會(huì)增加。b勞動(dòng)力的減少意味著戰(zhàn)后人均資本存量高于戰(zhàn)前，而戰(zhàn)前的經(jīng)濟(jì)處于穩(wěn)定狀態(tài)，所以戰(zhàn)后的人均資本存量水平高于穩(wěn)定狀態(tài)水平。如圖7-10所示，戰(zhàn)后的人均資本存量位于的右邊的某一個(gè)位置。但是不是穩(wěn)定狀態(tài)，這時(shí)人均儲(chǔ)蓄小于資

22、本擴(kuò)展化水平，所以資本深化為負(fù)，人均資本存量會(huì)降低，經(jīng)濟(jì)逐漸向穩(wěn)定狀態(tài)過渡。最后，人均資本存量下降到，經(jīng)濟(jì)重新達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。在這個(gè)過程中，由于人均資本存量一直在下降，所以人均產(chǎn)出也一直在下降。在穩(wěn)定狀態(tài)，技術(shù)進(jìn)步?jīng)Q定人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率，一旦經(jīng)濟(jì)恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)，人均產(chǎn)量?jī)H由技術(shù)進(jìn)步?jīng)Q定。因此這和戰(zhàn)前是一樣的。圖7-10 資本存量恢復(fù)穩(wěn)態(tài)水平3考慮用以下生產(chǎn)函數(shù)描述的一個(gè)經(jīng)濟(jì)：。a人均生產(chǎn)函數(shù)是什么？b假定沒有人口增長(zhǎng)或技術(shù)進(jìn)步，找出穩(wěn)定狀態(tài)的人均資本存量、人均產(chǎn)出，以及作為儲(chǔ)蓄率和折舊率函數(shù)的人均消費(fèi)。c假定折舊率是每年10%。作一個(gè)表，表示儲(chǔ)蓄率分別為0、10%、20%、30%等時(shí)，穩(wěn)定狀態(tài)的人均

23、資本、人均產(chǎn)出和人均消費(fèi)。 （你需要用一個(gè)有指數(shù)鍵的計(jì)算器來計(jì)算這個(gè)問題。）使人均產(chǎn)出最大化的儲(chǔ)蓄率是多少？使人均消費(fèi)最大化的儲(chǔ)蓄率是多少？d（本題較難）用微積分找出資本的邊際產(chǎn)量。在你的表上增加一項(xiàng)每種儲(chǔ)蓄率下的資本的邊際產(chǎn)量減折舊。你的表說明了什么？解：a對(duì)生產(chǎn)函數(shù)兩端同除，得：令，所以：b穩(wěn)定狀態(tài)的條件為： 或者也可以寫成： 將人均產(chǎn)出函數(shù)代入得： 解得：再將它代入人均產(chǎn)出函數(shù)得：人均消費(fèi)等于人均產(chǎn)出減去人均儲(chǔ)蓄，而人均儲(chǔ)蓄在穩(wěn)定狀態(tài)下等于人均資本的折舊，所以穩(wěn)定狀態(tài)人均消費(fèi)等于人均產(chǎn)出減去人均資本折舊：也可以這么解：因?yàn)槿司M(fèi)等于人均產(chǎn)出減人均儲(chǔ)蓄，那么人均消費(fèi)就是人均產(chǎn)出的倍，即：

24、通過代數(shù)變化可以發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)果是等價(jià)的。c由表7-1可以清晰地看到：當(dāng)儲(chǔ)蓄率為100%時(shí)，人均產(chǎn)出可以達(dá)到最大值2.68，但是此時(shí)消費(fèi)為零，所有產(chǎn)出都用來投資了。而最大的人均消費(fèi)（1.12）位于30%的儲(chǔ)蓄率，這就是黃金律水平，在這個(gè)水平下，資本的邊際產(chǎn)出等于折舊率，并且儲(chǔ)蓄率等于資本在產(chǎn)出中的貢獻(xiàn)。表7-1 不同儲(chǔ)蓄率下穩(wěn)定狀態(tài)的人均資本、人均產(chǎn)出和人均消費(fèi)d對(duì)生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)，得：在表7-2中可得，在黃金律水平時(shí)，。即在沒有人口增長(zhǎng)和技術(shù)進(jìn)步的情況下，資本的邊際產(chǎn)量等于折舊，此時(shí)達(dá)到黃金律穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)儲(chǔ)蓄率小于黃金律水平時(shí)，反之則。表7-2 不同儲(chǔ)蓄率下的資本的邊際產(chǎn)量減折舊4“把較大比例的

25、國(guó)民產(chǎn)出用于投資將有助于迅速恢復(fù)生產(chǎn)率增長(zhǎng)，并提高生活水平。”你同意這種主張嗎？請(qǐng)解釋。答：不同意。根據(jù)索洛模型可以知道，這樣的結(jié)論不一定成立。把較大比例的國(guó)民產(chǎn)出用于投資，會(huì)在短期內(nèi)提高人均資本，從而提高人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率，即生產(chǎn)率的增長(zhǎng)。但是，當(dāng)經(jīng)濟(jì)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之后，人均產(chǎn)出的增長(zhǎng)率只與技術(shù)進(jìn)步率相關(guān)，而與投資率無關(guān)，也就是說提高投資率（儲(chǔ)蓄率）并不能提高長(zhǎng)期的人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率。生活水平是指人均消費(fèi)水平，投資率高并不一定意味著人均消費(fèi)就高，要看人均資本處在什么樣的水平。當(dāng)人均資本高于黃金律水平時(shí)，提高投資率只會(huì)降低人均消費(fèi)。而在人均資本低于黃金律水平時(shí)，雖然達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后的人均消費(fèi)水平會(huì)高于現(xiàn)在

26、，但是在短期內(nèi)人均消費(fèi)水平仍然會(huì)下降。因此，上述結(jié)論是不一定成立的。5關(guān)于消費(fèi)函數(shù)的一種觀點(diǎn)是，工人的邊際消費(fèi)傾向高，而資本家的邊際消費(fèi)傾向低。為了說明這種觀點(diǎn)的含義，假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)，所有的工資收入都用于消費(fèi)，而所有的資本收入都用于儲(chǔ)蓄。證明：如果生產(chǎn)要素賺到了自己的邊際產(chǎn)量，這個(gè)經(jīng)濟(jì)就達(dá)到了黃金律資本水平。（提示：從儲(chǔ)蓄等于投資這個(gè)恒等式開始。然后利用投資正好足夠維持折舊和人口增長(zhǎng)的穩(wěn)定狀態(tài)條件，以及在這個(gè)經(jīng)濟(jì)中儲(chǔ)蓄等于資本收入這一事實(shí)。）證明：令表示人均資本。因此：如果生產(chǎn)要素都獲得它們的邊際產(chǎn)量并且所有的資本收入都被儲(chǔ)蓄起來，則人均儲(chǔ)蓄等于。將它代入上式，得：在穩(wěn)定狀態(tài)下，。所以有：或即：

27、。也就是說，在這個(gè)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定狀態(tài)中，資本的凈邊際產(chǎn)出（）等于產(chǎn)出的增長(zhǎng)率，所以，這個(gè)經(jīng)濟(jì)已經(jīng)達(dá)到了資本積累的黃金律水平。6許多人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家預(yù)言，在21世紀(jì)美國(guó)的人口增長(zhǎng)將為零，與此相比，20世紀(jì)的人口增長(zhǎng)率是每年1%左右。用索洛模型預(yù)測(cè)人口增長(zhǎng)的這種減緩對(duì)總產(chǎn)出增長(zhǎng)和人均產(chǎn)出增長(zhǎng)會(huì)有什么影響?？紤]在穩(wěn)定狀態(tài)和在各種穩(wěn)定狀態(tài)之間過渡時(shí)的這一影響。答：（1）首先考慮穩(wěn)定狀態(tài)。如圖7-11所示，人口增長(zhǎng)率下降，資本擴(kuò)展化曲線順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，可以看出，在新的穩(wěn)定狀態(tài)，人均資本增大到，從而人均產(chǎn)出也增大。穩(wěn)定狀態(tài)的人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率只取決于技術(shù)進(jìn)步率，因而不受人口增長(zhǎng)率的影響。而總產(chǎn)出增長(zhǎng)率等于人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率加

28、上人口增長(zhǎng)率，所以總產(chǎn)出增長(zhǎng)率隨人口增長(zhǎng)率一起下降了。圖7-11 人口增長(zhǎng)率的影響（2）再考慮中間的過渡狀態(tài)。從圖7-11上可以看出，在人均資本水平從增大到的過程中，人均儲(chǔ)蓄是大于資本擴(kuò)展化的，這意味著在此過程中人均資本增長(zhǎng)率大于零，所以人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率大于穩(wěn)態(tài)時(shí)的情形。但是由于人均儲(chǔ)蓄和資本擴(kuò)展化之間的缺口越來越小，即資本深化越來越小，所以在此過程中人均資本的增長(zhǎng)率是逐漸降低的，從而人均產(chǎn)出的增長(zhǎng)率也是逐漸降低的?？偖a(chǎn)出的增長(zhǎng)情況不太容易從圖7-11上看出來。先從穩(wěn)態(tài)入手，前面已經(jīng)說明，在的資本水平下的人均產(chǎn)出增長(zhǎng)率低于資本水平在的穩(wěn)態(tài)情況。這說明在此過程中總產(chǎn)出的增長(zhǎng)率下降了。也可以由人均產(chǎn)

29、出的增長(zhǎng)來推知總產(chǎn)出的增長(zhǎng)。在過渡過程中，人均產(chǎn)出的增長(zhǎng)率一直在下降，而人口增長(zhǎng)率從之后就一直是，所以在過渡過程中，總產(chǎn)出增長(zhǎng)率在逐漸下降。（但是在初始點(diǎn)，當(dāng)人口增長(zhǎng)率突然下降為時(shí)，總產(chǎn)出增長(zhǎng)率與的穩(wěn)態(tài)水平相比是增大了還是變小了這個(gè)問題比較復(fù)雜，如果忽略一些不重要因素，它們的大小是相當(dāng)?shù)模信d趣的讀者可以用代數(shù)方法研究一下。）7在索洛模型中，人口增長(zhǎng)導(dǎo)致穩(wěn)定狀態(tài)的總產(chǎn)出增長(zhǎng)，但人均產(chǎn)出并不增長(zhǎng)。你認(rèn)為，如果生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模收益遞增或遞減，這一點(diǎn)仍然正確嗎？請(qǐng)解釋。（關(guān)于規(guī)模收益遞增和遞減的定義，參看第3章“問題與應(yīng)用”中的第2題。）答：不正確。分析如下：如果生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模收益遞減，那么，

30、當(dāng)所有投入要素增加同一比例時(shí)，產(chǎn)出的增加將小于這一比例。比如，如果所有要素都增加為原來的2倍，產(chǎn)出的增加將小于2倍。如果生產(chǎn)函數(shù)中有一種固定的生產(chǎn)要素（如土地）隨著經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)變的更加稀缺，那么這種規(guī)模收益遞減的現(xiàn)象就有可能發(fā)生。在這種情況下人口增長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致總產(chǎn)出增加，但是人均產(chǎn)出會(huì)降低，因?yàn)榭梢耘c每個(gè)人匹配的固定要素減少了。如果生產(chǎn)函數(shù)表現(xiàn)出規(guī)模收益遞增，資本和勞動(dòng)都增加為原來的2倍，產(chǎn)出的增加則大于2倍。隨著人口增長(zhǎng)和勞動(dòng)的專業(yè)化分工有可能會(huì)出現(xiàn)這種情況。這時(shí)人口增長(zhǎng)的結(jié)果是：總產(chǎn)出增加，人均產(chǎn)出也增加。因?yàn)榻?jīng)濟(jì)可以更快地利用規(guī)模擴(kuò)大帶來的好處。8考慮失業(yè)會(huì)如何影響索洛增長(zhǎng)模型。假定產(chǎn)出是根據(jù)生

31、產(chǎn)函數(shù)而生產(chǎn)的。式中，為資本；為勞動(dòng)力；為自然失業(yè)率。國(guó)民儲(chǔ)蓄率為，勞動(dòng)力增長(zhǎng)率為，資本折舊率為。a把人均產(chǎn)出（）表示為人均資本（）和自然失業(yè)率的函數(shù)。描述該經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定狀態(tài)。b假定政府政策的某些變化降低了自然失業(yè)率。描述這一變化隨時(shí)間的推進(jìn)如何影響產(chǎn)出。對(duì)產(chǎn)出的穩(wěn)定狀態(tài)的影響大于還是小于立即的影響？請(qǐng)解釋。答：a資本的人均產(chǎn)出為：人均產(chǎn)出是人均資本和自然失業(yè)率的函數(shù)。從上式中可以看出：失業(yè)降低了任何一個(gè)人均資本水平對(duì)應(yīng)的人均產(chǎn)出水平。這是因?yàn)槭I(yè)使得參與生產(chǎn)的勞動(dòng)力數(shù)量減少了，而人均產(chǎn)出是按勞動(dòng)力總數(shù)除的。穩(wěn)定狀態(tài)就是人均資本不再發(fā)生變化的狀態(tài)，或者說是儲(chǔ)蓄與資本擴(kuò)展化相等的狀態(tài)。因此穩(wěn)定狀態(tài)

32、的人均資本量可由下式解出：失業(yè)降低了資本的邊際產(chǎn)量，所以，它如同一種不利的技術(shù)沖擊，降低了穩(wěn)定狀態(tài)的資本存量。圖7-12顯示了失業(yè)對(duì)穩(wěn)態(tài)的影響：自然失業(yè)率升高使儲(chǔ)蓄曲線下移，從而使穩(wěn)定狀態(tài)的人均資本和人均產(chǎn)出下降。圖7-12 失業(yè)對(duì)穩(wěn)態(tài)的影響最后，把代入人均產(chǎn)出函數(shù)，就可以得到人均產(chǎn)出：所以，失業(yè)通過兩種途徑影響穩(wěn)態(tài)的產(chǎn)出水平。一方面，對(duì)任一給定的，失業(yè)降低了產(chǎn)出；另一方面，失業(yè)還降低了穩(wěn)態(tài)的，通過又降低了。b圖7-13顯示了人均產(chǎn)出隨時(shí)間的增長(zhǎng)路徑。初始經(jīng)濟(jì)處于穩(wěn)定狀態(tài)，產(chǎn)出為，當(dāng)失業(yè)率突然從降低到，由于人均儲(chǔ)蓄的大幅上升，出現(xiàn)了大幅的資本深化，人均資本量增加，人均產(chǎn)出上升。開始的時(shí)候上升速

33、度很快，隨著時(shí)間的推移，資本深化的幅度下降，但仍然大于零，因此人均資本以及人均產(chǎn)出仍然在增長(zhǎng)，只是增長(zhǎng)率在逐漸降低。直到人均儲(chǔ)蓄曲線與資本擴(kuò)展化曲線重新相交，經(jīng)濟(jì)在的自然失業(yè)率下重新達(dá)到均衡，人均產(chǎn)出達(dá)到（沒有考慮技術(shù)進(jìn)步，如果有技術(shù)進(jìn)步，只需把人均產(chǎn)出理解為產(chǎn)出與效率勞動(dòng)的比，分析是類似的）。圖7-13 人均產(chǎn)出的時(shí)間路徑9選擇你感興趣的兩個(gè)國(guó)家一個(gè)富國(guó)一個(gè)窮國(guó)。每一個(gè)國(guó)家的人均收入是多少？找一些可能有助于解釋收入差別的國(guó)家特征的數(shù)據(jù)：投資率、人口增長(zhǎng)率、受教育程度等等。（提示：世界銀行的網(wǎng)站是找到這類數(shù)據(jù)的一個(gè)地點(diǎn)。）你將如何推斷這些因素中哪些是造成觀察到的收入差距的最重要的因素？答：本題沒有惟一的答案。讀者可以根據(jù)實(shí)際情況靈活回答，下面的答案僅供參考。在世界銀行網(wǎng)站，先點(diǎn)擊“統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)”然后是“快速相關(guān)的表格”鏈接：http：//data/databytop