1、學(xué)案4 數(shù) 列 求 和,返回目錄,1.當(dāng)已知數(shù)列an中，滿足an+1-an=f（n），且f（1）+f（2）+f（n）可求.則可用 數(shù)列的通項an. 2.當(dāng)已知數(shù)列an中，滿足 =f（n），且f（1）f（2）f（n）可求.則可用 求數(shù)列的通項an.,累加法,累積法,考點分析,返回目錄,3.等差數(shù)列前n項和Sn= ， 推導(dǎo)： ；等比數(shù)列前n項和 na1， q=1， q1. 推導(dǎo)： . 4.常見數(shù)列的前n項和： （1）1+2+3+n= ； （2）2+4+6+2n= ；,Sn =,倒序相加法,乘公比錯位相減,n2+n,（3）1+3+5+（2n-1）= ； （4）12+22+32+n2= . 5. （1

2、）分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列. （2）拆項相消：有時把一個數(shù)列的通項公式分成二項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和. （3）錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和. （4）倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.,返回目錄,n2,返回目錄,根據(jù)數(shù)列an的通項公式，求其前n項和Sn. （1）an=10n-1;（2）an=n(n+1).,【分析】 若數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列，或能轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列，或轉(zhuǎn)化為能用其他公式的，用公式法求和.,考點一 公式法求和,題型分析,返回目錄,【解析】（1）Sn=a1+a2+an=（101+10

3、2+10n）- n= （2）Sn=a1+a2+an =（12+1）+（22+2）+（n2+n） =(12+22+n2)+(1+2+n) = n(n+1)(n+2).,【評析】在數(shù)列求和中，常用的公式有： （1）等差數(shù)列： na1 q=1 q1. （3） 1+2+n= （4） 12+22+n2= n(n+1)(2n+1).,返回目錄,（2）等比數(shù)列: Sn=,對應(yīng)演練,已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1),nN*為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9. （1）求數(shù)列an的通項公式； （2）證明:,返回目錄,(1) 設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an-1)的公差為d. 由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log2

4、2+log28, 即d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1. (2) 證明:因為 ，,返回目錄,所以, ,返回目錄,【分析】所給數(shù)列為倒數(shù)構(gòu)成的數(shù)列,故應(yīng)研究通項,看能否拆為兩項之差的形式,以便使用裂項相消法.,【解析】,考點二 裂項相消求和,求數(shù)列 ,的前n項和.,返回目錄,【評析】 (1)裂項法求和時消項的規(guī)律具有對稱性,即前剩多少項后就剩多少項;前剩第幾項,后就剩倒數(shù)第幾項. (2)常見的裂項公式有: ； ； nn！=（n+1）！-n??； ！= ！- ??；, , ,返回目錄,返回目錄,對應(yīng)演練,設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，點(n， )(nN*)均在函數(shù)y

5、=3x-2的圖象上. （1）求數(shù)列an的通項公式； （2） ，Tn是數(shù)列bn的前n項和，求使得Tn 對所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.,（1）依題意得 =3n-2， 即Sn=3n2-2n. 當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5； 當(dāng)n=1時，a1=S1=312-21=1=61-5, an=6n-5(nN*).,返回目錄,（2）由(1)得bn= 故Tn=b1+b2+bn 因此，使得 (nN*)成立的m必須滿足 ,即m10. 故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.,返回目錄, ,返回目錄,求和:,【分析】分析通項an= 知, 為等比數(shù)列,其系 數(shù)構(gòu)成數(shù)

6、列n成等差數(shù)列,故可用錯位相減法.,考點三 錯位相減法求和,【解析】當(dāng)a=1時,Sn=1+2+3+n= ; 當(dāng)a1時, 兩邊同乘 ,得 得 , 即 綜上所述,得 (a=1) (a1).,返回目錄,Sn=,【評析】如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積組成,則求此數(shù)列的前n項和Sn,一般用乘以其公比然后再添加不可缺少的式子錯位相減法,要注意對字母的討論.,返回目錄,返回目錄,對應(yīng)演練,設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn=2n2,bn為等比數(shù)列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1. （1）求數(shù)列an和bn的通項公式； （2）設(shè)cn= ，求數(shù)列cn的前n項和Tn.,（1）當(dāng)n=1

7、時，a1=S1=2； 當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2. 故an的通項公式為an=4n-2， 即an是首項a1=2，公差d=4的等差數(shù)列. 設(shè)bn的公比為q，則b1qd=b1，d=4，q= . 故bn=b1qn-1=2 ， 即bn的通項公式為bn= .,返回目錄,返回目錄,（2）cn= =（2n-1）4n-1， Tn=c1+c2+cn=1+341+542+（2n-1）4n-1， 4Tn=14+342+543+（2n-3）4n-1+（2n-1）4n. 兩式相減得 3Tn=-1-2（41+42+43+4n-1）+（2n-1）4n = （6n-5）4n+5. Tn=

8、（6n-5）4n+5.,返回目錄,求和: （1）Sn=1+11+111+111; （2） Sn=(x+ )2+(x2+ )2+(xn+ )2.,考點四 拆項法求和,n個,返回目錄,【分析】 (1)寫出數(shù)列的通項公式an= (10n-1)，分 析通項可知，可轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列 10n 和 常數(shù)列 的求和問題. （2）分析通項公式an=(xn+ )2=(xn)2+( )2+2， 可轉(zhuǎn)化為兩個等比數(shù)列x2n， 與常數(shù)列2的求 和問題.,【解析】（1）an= (10n-1), Sn=1+11+111+111 = (10-1)+(102-1)+(10n-1) = (10+102+10n)-n = =,n

9、個,返回目錄,返回目錄,(2)an=x2n+2+ ,當(dāng)x1時, Sn=(x+ )2+(x2+ )2+(xn+ )2 =(x2+x4+x2n)+2n+( + + ) = = 當(dāng)x=1時，Sn=4n.,【評析】如果數(shù)列an的通項an可寫成an=bncn, 而bn,cn是等差或等比數(shù)列或其前n項和可求,那么數(shù) 列an的前n項和就可轉(zhuǎn)化為bn與cn前n項和的和差 問題.,返回目錄,對應(yīng)演練,求和：11+103+1 005+10 007+10n+(2n-1).,an=10n+2n-1, 原式=(10+102+10n)+2(1+2+n)-n = +n(n+1)-n = +n2.,返回目錄,返回目錄,已知數(shù)

10、列an的前n項和Sn=(n-1)2n+1，是否存在等差數(shù)列bn，使an=b1 +b2 +bn 對一切正整數(shù)n均成立？,【分析】先由an與Sn的關(guān)系，求出an的通項公 式，再由倒序相加得出結(jié)論.,考點五 倒序相加法求和,S1 n=1 Sn-Sn-1 n2. 當(dāng)n=1時，a1=S1=1; 當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=(n-1)2n+1-(n-2)2n-1-1=n2n-1. a1=1滿足n2時an的式子, an=n2n-1(nN+). 假設(shè)存在等差數(shù)列bn滿足條件，設(shè)b0=0，且bn仍成等差數(shù)列，則an=b0 +b1 +b2 +bn , 倒序得an=bn +bn-1 +bn-2 +b0 ,返回目

11、錄,【解析】 an=,以上兩式相加得 2an=(b0+bn) +(b1+bn-1) +(bn+b0) =(b0+bn)( + + )=bn2n, an=bn2n-1. 令bn=n，顯然n=0時，b0=0，故存在等差數(shù)列bn滿足已知等式.,返回目錄,【評析】當(dāng)把一個數(shù)列倒過來排序，與原數(shù)列對應(yīng)項 相加后，若有公因式可提，并且剩余的項的和易求，一般 可用倒序相加法求其和.,返回目錄,設(shè)f（x）= ，求f（-5）+f（-4）+f（0） +f（5）+f（6）的值.,對應(yīng)演練,返回目錄,f（1-x）+f（x） = = 設(shè)S=f(-5)+f(-4)+f（5）+f（6）, 則S=f（6）+f（5）+f（-4

12、）+f（-5）. 兩式相加得2S=12 ,S= .,返回目錄,考點六 數(shù)列求和的其他方法,已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且Sn=2an+n2-3n-2，n=1，2，3，. （1）求證：數(shù)列an-2n為等比數(shù)列； （2）設(shè)bn=ancosn,求數(shù)列bn的前n項和Pn.,【分析】在bn中，n取奇數(shù)、偶數(shù)時，bn的表示 形式不同，因此，應(yīng)分n為奇數(shù)、偶數(shù)討論.,返回目錄,【解析】（1）證明：令n=1，則S1=2a1+1-3-2， a1=4. 又Sn=2an+n2-3n-2 則Sn+1=2an+1+（n+1）2-3（n+1）-2 由-得an+1=2an+1-2an+2n-2, 即an+1=2an-2n

13、+2， an+1-2（n+1）=2(an-2n), 即 ,又a1-2=2， an-2n是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.,返回目錄,（2）由（1）知an-2n=2n. an=2n+2n，bn=（2n+2n）cosn. 當(dāng)n為偶數(shù)時，Pn=b1+b2+b3+bn =(b1+b3+bn-1)+(b2+b4+bn) =-(2+21)-(23+23)-2n-1+2(n-1)+(22+22)+(24+24)+(2n+2n) 當(dāng)n為奇數(shù)時，Pn= - （n+1）. （n為奇數(shù)） （為偶數(shù)）.,返回目錄,綜上，Pn=,【評析】（1）對于由遞推關(guān)系給出的數(shù)列，常借助于Sn+1-Sn=an+1轉(zhuǎn)化為an與an+

14、1的關(guān)系式或Sn與Sn+1的關(guān)系式，進而求出an與Sn使問題得以解決. （2）對于本題這樣判定an-2n為等比數(shù)列這種類型的問題，可采用整體配湊的方法，求出 為定值即可.而若求證an-2n為等差數(shù)列，只需構(gòu)造an+1-2n+1-（an-2n）為常數(shù)即可.,返回目錄,5n+1 （n為奇數(shù)） （n為偶數(shù)）， 求數(shù)列的前n項和Sn.,對應(yīng)演練,返回目錄,一個數(shù)列an， an=,當(dāng)n=2m時,a1,a3,a2m-1構(gòu)成首項為6,公差為10的等差數(shù)列,a2,a4,a2m構(gòu)成首項為2,公比為2的等比數(shù)列,此時, 當(dāng)n=2m+1時,返回目錄,a2k+1-a2k-1=5(2k+1)+1-5(2k-1)+1=10,返回目錄,1.數(shù)列求和,如果是等差、等比數(shù)列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到靈活運用. 2.非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思路： （1）轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項