1、2010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù)學(xué)(文史類) 本試卷分第 I 卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共 150 分，考試用時 120 分鐘。 第 I 卷 1 至 3 頁。第卷 4 至 11 頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！ 第第 I I 卷卷 注意事項： 1答 I 卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考 試用條形碼。 2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡 皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在試卷上的無效。 3本卷共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。 參考公式：參考

2、公式： 如果事件A、B互斥，那么棱柱的體積公式 V=Sh. P(AB) P(A) P(B) 其中 S 表示棱柱的底面積. h表示棱柱的高 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 (1)i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 3i = 1i (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i x y 3, (2)設(shè)變量 x，y 滿足約束條件x y 1,則目標函數(shù) z=4x+2y 的最大值為 y 1, （A）12（B）10（C）8（D）2 (3)閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出s 的值為 (A)-1 (B

3、)0 (C)1 (D)3 （4）函數(shù) f（x）=e x2的零點所在的一個區(qū)間是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） (5)下列命題中，真命題是 (A)mR,使函數(shù)f（x）=x mx（xR）是偶函數(shù) (B)mR,使函數(shù)f（x）=x mx（xR）是奇函數(shù) (C)mR,使函數(shù)f（x）=x mx（xR）都是偶函數(shù) (D)mR,使函數(shù)f（x）=x mx（xR）都是奇函數(shù) (6)設(shè)a log54，b （log53） ，c log4，則 25 2 2 2 2 x 1 (A)acb(B) )bca(C) )abc(D) )bac (7)設(shè)集合A x|x-a|0

4、恒成立，求 a 的取值范圍. 2 2 （21） （本小題滿分 14 分） x2y23 已知橢圓 2 2 1（ab0）的離心率 e= ，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積 ab2 為 4. （）求橢圓的方程； （）設(shè)直線 l 與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點 A 的坐標為（-a，0）. 4 （i）若|AB |= 4 2 5 ，求直線 l 的傾斜角； （ii）若點 Q（0，y 0 ）在線段 AB 的垂直平分線上，且QA QB=4.求y 0 的值. （22） （本小題滿分 14 分） 在數(shù)列a n中， a * 1=0，且對任意 kN ，a 2k1,a2k ,a 2k+1 成等差數(shù)列，其公差為 2

5、k. （）證明a 4 ,a 5 ,a 6 成等比數(shù)列； （）求數(shù)列an的通項公式； （）記T 2232n23 n a ，證明 2 a 3 a n 2 2n Tn 2 （n 2）. 2010 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù)學(xué)（文史類）參考答案數(shù)學(xué)（文史類）參考答案 一一. . 選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題 5 5 分，滿分分，滿分 5050 分分. . （1）A (2)B (3)B (4)C (5)A （6）D (7)C (8)A (9)D (10)D 5 二二. . 填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題填空題：本題考查

6、基本知識和基本運算，每小題 4 4 分，滿分分，滿分 2424 分分. . 1x2y2 1 （11） (12)3 (13) 3412 2（-，-1） （14）（x+1） y2 2 (15)4 (16) 三三. . 解答題解答題 （17）本小題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、 二倍角的 正弦與余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力.滿分 12 分. （ ） 證 明 ： 在 ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 及 已 知 得 sin BcosB =. 于 是 sin CcosC sinBcosC-cosBsinC=0，即 sin（B-C）=0.因為 B C ，從而 B-C=0

7、. 所以 B=C. （）解：由 A+B+C=和（）得 A=-2B,故 cos2B=-cos（-2B）=-cosA= 1 . 3 又 02B0等價于 2 2 f ( 1 ) 0, 5a 0. 2 8 7 解不等式組得-50,f(-)0, 2 8 1 1 當x，時，f（x）0 等價于即 112 2 f( )0, 1- 0. a2a2 解不等式組得 22 .因此 2a5. a 5或a 22 綜合（1）和（2） ，可知 a 的取值范圍為 0a5. （21）本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點間的距離公式、 直線的傾斜角、 平面向量等基礎(chǔ)知識， 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形

8、結(jié)合 的思想，考查綜合分析與運算能力.滿分 14 分. （）解：由 e= c3 22222 ，得3a 4c.再由c a b，解得 a=2b. a2 由題意可知 1 2a2b 4，即 ab=2. 2 解方程組 a 2b, 得 a=2，b=1. ab 2, x2 y21. 所以橢圓的方程為 4 ()(i)解：由（）可知點 A 的坐標是（-2,0）.設(shè)點 B 的坐標為(x 1, y1) ，直線 l 的斜率為 k.則直線 l 的方程為 y=k（x+2）. y k(x2), 于是 A、B 兩點的坐標滿足方程組 x 2消去 y 并整理，得 2 y 1. 4 (14k2)x216k2x(16k24) 0.

9、4k16k2428k2 y x 由2x 1 ，得.從而. 11 14k214k214k2 8 28k2 4k4 1k2 所以| AB| 2 . 2 2 214k 14k 14k 4 24 1k24 2 由| AB|，得. 514k25 整理得32k 9k 23 0，即(k21)(32k223) 0，解得 k=1. 所以直線 l 的傾斜角為 42 2 2 3 或. 44 8k22k （ii）解：設(shè)線段 AB 的中點為 M，由（i）得到 M 的坐標為., 22 14k14k 以下分兩種情況： （1）當 k=0 時，點 B 的坐標是（2,0） ，線段 AB 的垂直平分線為 y 軸，于是 QA2,y

10、0 ,QB2,y 0 .由QAQB 4，得y 0 2 2。 2k 1 8k2 （2）當k 0時，線段 AB 的垂直平分線方程為y。 x 22 14kk 14k 令x 0，解得y0 6k 。 14k2 由QA2,y 0 ，QB x 1, y1 y 0 ， QAQB 2x 1 y 0 y 1 y 0 228k2 14k2 6k4k6k 14k214k214k2 416k415k21 14k 2 2 2 4， 142 14 。所以y0 。 75 2 14 5 整理得7k 2。故k 綜上，y0 2 2或y0 （22）本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n 項和公式、等比數(shù)列的定義、 數(shù)列求和等基礎(chǔ) 知識，

11、考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法， 滿分 14 分。 （I） 證明： 由題設(shè)可知，a2 a 1 2 2，a 3 a 2 2 4，a 4 a 3 4 8，a 5 a 4 4 12， a 6 a 5 6 18。 9 從而 a 6 a 5 3 ，所以a 4 ，a 5 ，a 6 成等比數(shù)列。 a 5 a 4 2 （II）解：由題設(shè)可得a 2k1 a 2k1 4k,kN * 所以a2k1a 1 a 2k1 a 2k1 a 2k1 a 2k3 .a 3 a 1 4k 4k 1.41 2kk 1,kN*. 由a 1 0，得a 2k1 2kk 1 ，從而a 2k a 2

12、k1 2k 2k2. n 21 n ,n為奇數(shù) 2 11 n 2 所以數(shù)列a n的通項公式為 a n 或?qū)憺閍 n ，n N *。 224 n ,n為偶數(shù) 2 （III）證明：由（II）可知a2k1 2kk 1，a 2k 2k2， 以下分兩種情況進行討論： （1）當 n 為偶數(shù)時，設(shè) n=2mmN* k2 若m 1，則2n 2， k2 a k n 若m 2，則 mm2km12k 1 k24k2m14k24k 1 2 aaa2k2k k 1 k2 k k1k1k1k1 2k2k1 n m1 4k24k 11 11 2m2 2m 2k k 12k k 12 kk 1 k1k1 m1 22 2m 2m 1 n 1 1 31 1 n2 . 2m2n nk2313k2 所以2n，從而 2n 2,n 4,6,8,. 2n2 k2 a k k2