1、20062006 年高考文科數(shù)學(xué)試題（福建卷）年高考文科數(shù)學(xué)試題（福建卷） 一選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是 符合題目要求的。 （1）已知兩條直線y ax2和y (a2)x1互相垂直，則a等于 （A）2（B）1（C）0（D）1 （2）在等差數(shù)列a n中，已知 a 1 2,a 2 a 3 13,則a 4 a 5 a 6 等于 （A）40（B）42（C）43（D）45 （3）tan1是 4 的 （A）充分而不必要條件（B）必要不而充分條件 （C）充要條件（D）既不充分也不必要條件 （4）已知( 3 ,),sin,則tan()等于 2

2、54 11 （A）（B）7（C）（D）7 77 2 （5）已知全集U R,且A x| x1 2 ,B x| x 6x8 0 ,則(C U A) B等于 （A）1,4)（B）(2,3)（C）(2,3（D）(1,4) x (x 1)的反函數(shù)是 x1 xx (x 1)方 （B）y (x 1) （A）y x1x1 x11 x (x 0) （D）y (x 0) （C）y xx 32 ，那么正方體的棱長(zhǎng)等于（7）已知正方體外接球的體積是 3 （6）函數(shù)y （A）2 2（B） 2 34 24 3 （C）（D） 333 （8）從 4 名男生和 3 名女生中選出 3 人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這 3 人中至

3、少有 1 名女生， 則選派方案共有 （A）108 種（B）186 種（C）216 種（D）270 種 （9）已知向量a與b的夾角為120，a 3, ab 13,則b等于 （A）5（B）4（C）3（D）1 （10）對(duì)于平面和共面的直線m、n,下列命題中真命題是 o （A）若m ,m n,則n（B）若m,n,則mn 1 （C）若m ,n,則mn（D）若m、n與所成的角相等，則mn x2y2 o （11）已知雙曲線 2 2 1(a 0,b 0)的右焦點(diǎn)為 F，若過點(diǎn) F 且傾斜角為60 的直線與雙曲 ab 線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （A）(1,2（B）(1,2)（C）2

4、,)（D）(2,) （12）已知f (x)是周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng)0 x 1時(shí)，f (x) lg x.設(shè)a f ( ),b f ( ), 6 5 3 2 5 c f ( ),則 2 （A）a b c（B）b a c（C）c b a（D）c a b 二填空題：本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。 4 （13）(x ) 展開式中x的系數(shù)是（用數(shù)字作答） 。 2 1 x 5 （14）已知直線x y 1 0與拋物線y ax2相切，則a _. （15）已知實(shí)數(shù)x、y滿足 y 1, 則x2y的最大值是。 y x1, （16）已知函數(shù)f (x) 2sinx( 0)

5、在區(qū)間 , 上的最小值是2，則的最小值是 3 4 。 三解答題：本大題共 6 小題，共 74 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 （17） （本小題滿分 12 分） 已知函數(shù)f (x) sin2x3sin xcosx2cos2x,xR. （I）求函數(shù)f (x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； （II）函數(shù)f (x)的圖象可以由函數(shù)y sin2x(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？ （18） （本小題滿分 12 分） 每次拋擲一枚骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6). （I）連續(xù)拋擲 2 次，求向上的數(shù)不同的概率； （II）連續(xù)拋擲 2 次，求向上的數(shù)之和為 6 的概率； （II

6、I）連續(xù)拋擲 5 次，求向上的數(shù)為奇數(shù)恰好出現(xiàn)3 次的概率。 2 （19） （本小題滿分 12 分） 如圖，四面體 ABCD 中，O、E 分別是 BD、BC 的中點(diǎn)， A CACB CD BD 2,AB AD 2. （I）求證：AO 平面 BCD； （II）求異面直線 AB 與 CD 所成角的大??； （III）求點(diǎn) E 到平面 ACD 的距離。 （20） （本小題滿分 12 分） D O BE C y x2 y21的左焦點(diǎn)為 F，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)。 已知橢圓 2 （I）求過點(diǎn) O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程； （II）設(shè)過點(diǎn) F 的直線交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)，并且線段 AB 的 中點(diǎn)

7、在直線x y 0上，求直線 AB 的方程。 l FO x （21） （本小題滿分 12 分） 已知f (x)是二次函數(shù)，不等式f (x) 0的解集是(0,5),且f (x)在區(qū)間1,4上的最大值是 12。 （I）求f (x)的解析式； （II）是否存在實(shí)數(shù)m,使得方程f (x) 37 0在區(qū)間(m,m1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù) x 根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由。 （22） （本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列an滿足a 1 1,a 2 3,a n2 3a n1 2a n (nN*). 3 （I）證明：數(shù)列an1an是等比數(shù)列； （II）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （II）若數(shù)列

8、b n滿足 4 1 4 2 .4 n b 1b 1b 1 (a n 1)bn(nN*),證明b n是等差數(shù)列。 4 20062006 年高考年高考( (福建卷福建卷) )數(shù)學(xué)文試題答案數(shù)學(xué)文試題答案 一選擇題：本大題考查基本概念和基本運(yùn)算。每小題5 分，滿分 60 分。 （1）D（2）B（3）B（4）A（5）C（6）A （7）D（8）B（9）B（10）C（11）C（12）D 二填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4 分滿分 16 分。 （13）10（14） 13 （15）4（16） 42 三解答題：本大題共 6 小題，共 74 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 （17）本小

9、題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基本知識(shí)， 以及推理和運(yùn)算能力。滿分12 分。 解： （I）f (x) 1cos2x3 sin2x(1cos2x) 22 313 sin2xcos2x 222 3 sin(2x). 62 f (x)的最小正周期T 由題意得2k 即 k 2 . 2 2 2x 6 2k 2 ,k Z, 3 x k 6 ,k Z. f (x)的單調(diào)增區(qū)間為 k ,k ,kZ. 36 （II）方法一： 先把y sin 2x圖象上所有點(diǎn)向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng) sin(2x )的圖象，再把所 126 33 得圖象上所有的點(diǎn)向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到y(tǒng)

10、 sin(2x ) 的圖象。 262 方法二： 把y sin2x圖象上所有的點(diǎn)按向量a ( 3 , )平移，就得到y(tǒng) sin(2x) 的圖象。 12 262 3 （18）本小題主要考查概率的基本知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12 分。 解： （I）設(shè) A 表示事件“拋擲 2 次，向上的數(shù)不同” ，則 P(A) 655 . 666 5 6 答：拋擲 2 次，向上的數(shù)不同的概率為 . （II）設(shè) B 表示事件“拋擲 2 次，向上的數(shù)之和為6” 。 5 向上的數(shù)之和為 6 的結(jié)果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5 種， P(B) 55 . 6636 5 . 3

11、6 答：拋擲 2 次，向上的數(shù)之和為 6 的概率為 （III）設(shè) C 表示事件“拋擲 5 次，向上的數(shù)為奇數(shù)恰好出現(xiàn)3 次” ，即在 5 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中， 事件“向上的數(shù)為奇數(shù)”恰好出現(xiàn)3 次， 105 3 1 3 1 2P(C) P 5 (3) C 5 ( ) ( ) . 223216 答：拋擲 5 次，向上的數(shù)為奇數(shù)恰好出現(xiàn)3 次的概率為 5 . 16 （19）本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離基本知識(shí)， 考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。滿分12 分。 方法一： （I）證明：連結(jié) OC BO DO, AB AD,AO BD. BO DO,BC

12、 CD,CO BD. 在AOC中，由已知可得AO 1,CO 3. 而AC 2, M A AO2CO2 AC2, AOC 90o,即AO OC. BDOC O, AO 平面BCD B O D C E （II）解：取 AC 的中點(diǎn) M，連結(jié) OM、ME、OE，由 E 為 BC 的中點(diǎn)知MEAB,OEDC 直線 OE 與 EM 所成的銳角就是異面直線AB 與 CD 所成的角 在OME中， EM 121 AB ,OE DC 1, 222 1 AC 1, 2 OM是直角AOC斜邊 AC 上的中線，OM cosOEM 2 , 4 6 異面直線 AB 與 CD 所成角的大小為arccos 2 4 . （II

13、I）解：設(shè)點(diǎn) E 到平面 ACD 的距離為h. V EACD V ACDE , 1 3 h.S 1 ACD 3 .AO.S CDE . 在ACD中，CACD 2,AD 2, S 1 2 27 ACD 22 ( 2 )2 2 2 . 而AO 1,SCDE 1 2 3 4 22 3 2 , 1 3 h AO.S CDE 2 S ACD 7 21 7 . 2 點(diǎn) E 到平面 ACD 的距離為 21 7 . 方法二： （I）同方法一。 （II）解：以 O 為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0), D(1,0,0), C(0, 3,0), A(0,0,1),E( 1 2 , 3 2 ,0),

14、 BA (1,0,1),CD (1, 3,0). cos BA,CD BACD. BA CD 2 4 , 異面直線 AB 與 CD 所成角 的大小為arccos 2 4 . （III）解：設(shè)平面 ACD 的法向量為n (x, y,z),則 z n.AD (x, y,z).( A 1,0,1) 0, y,z).(0, 3,1) 0, n.AC (x, D O x B E C y 7 x z 0, 3y z 0. 令y 1,得n ( 3,1, 3)是平面 ACD 的一個(gè)法向量。 又EC (, 13 ,0), 22 點(diǎn) E 到平面 ACD 的距離 h EC.n n 321 . 77 （20）本小題主

15、要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查 運(yùn)算能力和綜合解題能力。滿分12 分。 解： （I）a2 2,b21,c 1,F(1,0),l :x 2. y 圓過點(diǎn) O、F， 1 圓心 M 在直線x 上。 2 1 設(shè)M( ,t),則圓半徑 2 B N l F A O x 13 r ( )(2) . 22 由OM r,得 ( ) t 1 2 22 3 , 2 解得t 2. 19 所求圓的方程為(x)2(y 2)2. 24 （II）設(shè)直線 AB 的方程為y k(x1)(k 0), x2 y21,整理得(12k2)x24k2x2k22 0. 代入 2 直線 AB 過橢圓的

16、左焦點(diǎn) F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根， 記A(x 1, y1),B(x2 , y 2 ),AB中點(diǎn)N(x 0 , y 0 ), 4k2 , 則x 1 x 2 22k 1 8 12k2k x 0 (x 1 x 2 ) 2 , y 0 k(x 0 1) 2 , 22k 12k 1 線段 AB 的中點(diǎn) N 在直線x y 0上， 2k2k 2 0,x 0 y 0 22k 12k 1 1 k 0，或k . 2 當(dāng)直線 AB 與x軸垂直時(shí)，線段 AB 的中點(diǎn) F 不在直線x y 0上。 直線 AB 的方程是y 0,或x2y 1 0. （21）本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

17、的方法，考 查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的能力。滿分12 分。 （I）解：f (x)是二次函數(shù)，且f (x) 0的解集是(0,5), 可設(shè)f (x) ax(x5)(a 0). f (x)在區(qū)間1,4上的最大值是f (1) 6a. 由已知，得6a 12, a 2, f (x) 2x(x5) 2x210 x(xR). （II）方程f (x) 3 37 0等價(jià)于方程2x310 x237 0. x 2 設(shè)h(x) 2x 10 x 37, 則h(x) 6x 20 x 2x(3x10). 2 10 )時(shí)，h(x) 0,h(x)是減函數(shù)； 3 10 當(dāng)x( ,)時(shí)，h(x) 0,

18、h(x)是增函數(shù)。 3 101 h(3) 1 0,h() 0,h(4) 5 0, 327 1010 方程h(x) 0在區(qū)間(3,),(,4)內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間(0,3), (4,)內(nèi)沒有實(shí) 33 當(dāng)x(0, 數(shù)根， 9 所以存在惟一的自然數(shù)m 3,使得方程f (x) 37 0在區(qū)間(m,m1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不同 x 的實(shí)數(shù)根。 （22）本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。 滿分 14 分。 （I）證明：a n2 3a n1 2a n , a n2 a n1 2(a n1 a n ), a 1 1,a 2 3, a n2 a n1 a 2(nN*). n1 a n a n1 a n是以 a 2 a 1 2為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列。 （II）解：由（I）得a n n1 a n 2 (nN*), a n (a n a n1)(