1、20162016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)：注意事項(xiàng)： 1. 1.本試卷分第卷本試卷分第卷( (選擇題選擇題) )和第卷和第卷( (非選擇題非選擇題) )兩部分兩部分. .第卷第卷 1 1 至至 3 3 頁(yè)，第卷頁(yè)，第卷 3 3 至至 5 5 頁(yè)頁(yè). . 2. 2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試題相應(yīng)的位置答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試題相應(yīng)的位置. . 3. 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無(wú)效. . 4. 4. 考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并

2、交回考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回. . 第卷第卷 一一. . 選擇題：本題共選擇題：本題共 1212 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)是符合題目要求的. . （1）已知z (m3)(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù) m 的取值范 圍是（） ， （B） (1，3)3) （C） (1,+) （D） (-， （A） (31) （2）已知集合 A 1,2,3 ， B x |(x 1)(x 2) 0,xZ Z ，則A B （ ） ， ， 2， 3（D）1， 01 ， ， 2， 3， 2（C

3、）01 （A）1（B）1 （3）已知向量 a a (1,m)，b b=(3,2) ，且 (a a+ +b b) b b ，則 m=（） （A）8（B）6（C）6（D）8 22x y 2x8y 13 0 的圓心到直線 ax y 1 0 的距離為 1，（4） 圓則 a= （） 43 （A） 3 （B） 4 （C） 3 （D）2 （5）如圖，小明從街道的E 處出發(fā)，先到F 處與小紅會(huì)合，再一起到位于G 處的老年 公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（） （A）24（B）18（C）12（D）9 （6）右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 （A）20（

4、B）24（C）28（D）32 （7）若將函數(shù) y=2sin 2x 的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖像的對(duì)稱(chēng)軸為（） 12 kkkk （A）x=(kZ Z)（B）x=+(kZ Z)（C）x=(kZ Z)（D）x=+ 2626212212 (kZ Z) （8）中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，右圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖 .執(zhí)行該程序框 圖，若輸入的 x=2，n=2，依次輸入的 a 為 2，2，5，則輸出的 s=（） （A）7（B）12（C）17（D）34 3 （9）若 cos( )=，則 sin 2 =（） 45 7117 （A）（B）（C）（D） 255525 （10） 從區(qū)間 0,1隨機(jī)

5、抽取 2n 個(gè)數(shù) x 1 x 2,， ，n， xy 1 y 2， ，n， 構(gòu)成 n 個(gè)數(shù)對(duì)x 1,y1 ， y x 2 , y 2 ，x n , y n ，其中兩數(shù)的平方和小于1 的數(shù)對(duì)共有 m 個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法 得到的圓周率的近似值為（） 4n2n4m2m （A） m （B） m （C） n （D） n x2y2 （11）已知 F1，F(xiàn)2是雙曲線 E： 2 2 1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M 在 E 上，M F1與x 軸 ab 垂直，sinMF 2F1 （A） 2 （B） 1 ,則 E 的離心率為（） 3 3 （C） 3 （D）2 2 x1 y f (x) （12）已知函數(shù) f (x)(xR )

6、 滿(mǎn)足 f (x) 2 f (x) ，若函數(shù)y 與圖 x 像的交點(diǎn)為(x 1, y1),(x2 , y 2 ),(x m , y m ), 則(x y ) （） ii i1 m （A）0（B）m（C）2m（D）4m 第 II 卷 本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題， 每個(gè)試題考生都 必須作答.第(22)題第(24)題為選考題，考生根據(jù)要求作答. 二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分 45 (13)ABC 的內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c， 若 cos A=， cos C=， a=1， 則 b= . 513 (14)、 是兩個(gè)平面，m、n

7、是兩條直線，有下列四個(gè)命題： （1）如果 mn，m，n，那么 . （2）如果 m，n，那么 mn. （3）如果 ，m，那么 m. （4）如果 mn，那么 m 與 所成的角和 n 與 所成的角相等. 其中正確的命題有.(填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào)） （15）有三張卡片，分別寫(xiě)有1 和 2，1 和 3，2 和 3。甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲 看了乙的卡片后說(shuō)： “我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是 2” ，乙看了丙的卡片后說(shuō)： “我與丙 的卡片上相同的數(shù)字不是1” ，丙說(shuō)： “我的卡片上的數(shù)字之和不是5” ，則甲的卡片上的數(shù)字 是。 （16） 若直線 y=kx+b 是曲線 y=lnx+2 的切線， 也

8、是曲線y=ln （x+1） 的切線， 則 b=。 三.解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.（本小題滿(mǎn)分 12 分） S n 為等差數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和，且a1=1 ，S7 28.記b n =lga n ，其中x表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)，如 0.9 =0， lg99 =1. （I）求b 1 ，b 11 ，b 101 ； （II）求數(shù)列b n的前 1 000 項(xiàng)和. 18.（本小題滿(mǎn)分 12 分） 某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為 a（單位：元） ，繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人，續(xù)保人的本年 度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險(xiǎn)次 數(shù) 保費(fèi) 一 年 內(nèi) 出 險(xiǎn)次數(shù) 概

9、率 0 0.30 0 0.85a 1 a 1 0.15 2 1.25a 2 0.20 3 1.5a 3 0.20 4 1.75a 4 0.10 5 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 5 0. 05 （I）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； （II）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率； （III）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值. 19.（本小題滿(mǎn)分 12 分） 如圖，菱形 ABCD 的對(duì)角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O，AB=5，AC=6，點(diǎn) E,F 分別在 AD,CD 上， 5 ，EF 交 BD 于點(diǎn) H.將DEF 沿

10、EF 折到DEF的位置，OD 10. 4 （I）證明：DH 平面 ABCD； （II）求二面角B DAC的正弦值. AE=CF= 20. （本小題滿(mǎn)分 12 分） x2y2 1的焦點(diǎn)在x軸上， 已知橢圓 E:A 是 E 的左頂點(diǎn)， 斜率為 k(k0)的直線交 E 于 A,M t3 兩點(diǎn)，點(diǎn) N 在 E 上，MANA. （I）當(dāng) t=4，AM AN時(shí)，求AMN 的面積； （II）當(dāng)2 AM AN時(shí)，求 k 的取值范圍. （21） （本小題滿(mǎn)分 12 分） (I)討論函數(shù)f(x) x 2 xe 的單調(diào)性，并證明當(dāng)x0 時(shí)，(x2)ex x2 0; x 2 exaxa g x） =(x 0) 有最小

11、值.設(shè) g（x）的最小值為(II)證明：當(dāng)a0,1)時(shí)，函數(shù)（ 2x h(a)，求函數(shù)h(a)的值域. 請(qǐng)考生在請(qǐng)考生在 2222、2323、2424 題中任選一題作答題中任選一題作答, ,如果多做如果多做, ,則按所做的第一題計(jì)分則按所做的第一題計(jì)分, ,做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題 號(hào)號(hào) （22） （本小題滿(mǎn)分 10 分）選修 4-1：幾何證明選講 如圖，在正方形 ABCD，E,G 分別在邊 DA,DC 上（不與端點(diǎn)重合） ，且 DE=DG，過(guò) D 點(diǎn)作 DFCE，垂足為 F. (I) 證明：B,C,G,F四點(diǎn)共圓； (II)若 AB=1，E 為 DA 的中點(diǎn)，求四邊形 BCGF 的面積.

12、 （23） （本小題滿(mǎn)分 10 分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系 xoy 中，圓 C 的方程為（x+6）2+y2=25. （I）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C 的極坐標(biāo)方程； （II）直線 l 的參數(shù)方程是（t 為參數(shù)）,l 與 C 交于 A、B 兩點(diǎn)，AB=， 求 l 的斜率。 （24） （本小題滿(mǎn)分 10 分） ，選修 45：不等式選講 已知函數(shù)f x x 11 x，M 為不等式 f(x) 2 的解集. 22 （I）求 M； （II）證明：當(dāng) a,bM 時(shí)，a+b1+ab。 20162016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

13、 理科數(shù)學(xué)答案理科數(shù)學(xué)答案 第卷第卷 一一. .選擇題：選擇題： （1） 【答案】A （2） 【答案】C （3） 【答案】D （4） 【答案】A （5） 【答案】B （6） 【答案】C （7） 【答案】B （8） 【答案】C （9） 【答案】D （10） 【答案】C （11） 【答案】A （12） 【答案】B 第卷第卷 二、填空題二、填空題 (13)【答案】 21 13 (14) 【答案】 （15） 【答案】1 和 3 （16） 【答案】1ln2 三三. .解答題解答題 17.（本題滿(mǎn)分 12 分） 【答案】 （）b 1 0，b 11 1，b 101 2； （）1893. 【解析】 試題分析：

14、 （）先求公差、通項(xiàng)an，再根據(jù)已知條件求b 1 ，b 11 ，b 101 ； （）用分段函數(shù)表 示bn，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列bn的前 1 000 項(xiàng)和 試題解析： （）設(shè)a n 的公差為d，據(jù)已知有721d 28，解得d 1. 所以a n 的通項(xiàng)公式為a n n. b 1 lg1 0,b 11 lg111,b 101 lg101 2. 0, 1, （）因?yàn)閎n 2, 3, 1 n 10, 10 n 100, 100 n 1000, n 1000. 所以數(shù)列b n 的前1000項(xiàng)和為190 2900311893. 考點(diǎn)：等差數(shù)列的的性質(zhì)，前n項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算. 【結(jié)束】 18.

15、（本題滿(mǎn)分 12 分） 【答案】 （）根據(jù)互斥事件的概率公式求解； （）由條件概率公式求解； （）記續(xù)保人 本年度的保費(fèi)為X，求X的分布列，再根據(jù)期望公式求解. 【解析】 試題解析： （）設(shè)A表示事件： “一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)” ，則事件A發(fā)生當(dāng) 且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故P(A) 0.20.2 0.10.05 0.55. （）設(shè)B表示事件： “一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%” ，則事件B發(fā)生當(dāng)且 僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P(B) 0.10.05 0.15. 又P(AB) P(B)，故P(B| A) P(AB)P(B)0.153 . P(A)P(A)0.5511

16、因此所求概率為 3 . 11 （）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為 X0.85a P0.30 a 1.25a1.5a1.75a 0.200.200.10 2a 0.050.15 EX 0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.05 1.23a 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23 考點(diǎn)： 條件概率，隨機(jī)變量的分布列、期望. 【結(jié)束】 19.（本小題滿(mǎn)分 12 分） 【答案】 （）詳見(jiàn)解析； （） 【解析】 試題分析： （）證AC/EF，再證DH OH，最后證DH 平面ABCD； （）用向 量法求解. 試題解析：（I）由已知得

17、 AC BD，ADCD，又由AE CF得 2 95 . 25 AECF ，故 ADCD AC/EF. 因此EF HD，從而EF DH.由AB5,AC 6得DO B0 由EF/AC得 AB2 AO2 4. OHAE1 .所以O(shè)H 1，DH DH 3. DOAD4 2 于是DH2OH 2 321210 DO ， 故DH OH. 又D H EF，而OH EF H， 所以DH 平面ABCD. z z DD A A E E O O H H C C F F x x D D y y B B （II） 如圖， 以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HF的方向?yàn)閤軸的正方向， 建立空間直角坐標(biāo)系H xyz， 則H 0,0,0，A3,

18、1,0，B0,5,0，C3,1,0，D0,0,3， AB (3,4,0)， AC 6,0,0，AD3,1,3. 設(shè)m x 1, y1,z1 是 平 面 ABD 的 法 向 量 ， 則 3x 1 4y 1 0 mAB 0 ，即，所以可以取m 4,3,5.設(shè)n x 2 , y 2 ,z 2 是平面 3x 1 y 1 3z 1 0 mAD 0 6x 2 0 nAC 0 ，即，所以可以取n 0,3,1.于是ACD的法向量，則 3x2 y 2 3z 2 0 nAD 0 cos m,n mn m n 147 52 95 ，sin m,n . 因 此 二 面 角 252550 10 2 95 . 25 B

19、D A 的正弦值是C 考點(diǎn)：線面垂直的判定、二面角. 【結(jié)束】 20.（本小題滿(mǎn)分 12 分） 【答案】 （） 【解析】 試題分析： （）先求直線AM的方程，再求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，最后求AMN的面積； （） 設(shè)M x 1,y1 ， ，將直線AM 的方程與橢圓方程組成方程組，消去y，用k表示x1，從而表 示| AM |，同理用k表示| AN |，再由2 AM AN求k. 144 ； （） 49 32, 2 . x2y2 1， 試題解析： （I）設(shè)M x 1,y1 ，則由題意知 y 1 0，當(dāng)t 4時(shí)，E的方程為 43 A2,0. 由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，直線AM的傾斜角為 .因此直線AM的方程為y

20、x 2. 4 x2y21212 1得7y212y 0.解得y 0或y ，所以y1.將x y 2代入 4377 因此AMN的面積S AMN 2 11212144 . 27749 （II）由題意t 3，k 0，A t,0. 將直 2 線 2 AM的方程y k(x t)代入 x2y2 1 t3 得 3tk x 2 t tk 2xt2k23t 0. t 3tk2 t2k23t 由x 1 t 得x 1 ，故AM x 1 t 223tk 3tk 1k2 6 t2k2 3tk2 . 6k t1k2 1 由題設(shè)，直線AN的方程為y ，xt，故同理可得AN 3k2tk 2k 由2 AM AN得，即k32t 3k

21、2k 1. 223tk3k t 當(dāng)k 32時(shí)上式不成立， 2 3k2k 1k33k2k 2 k 2k 1 因此t .t 3等價(jià)于 0， 33k32k 2k 2 k 2 0 k 2 0 k 2 即 3 ，或 3 ，解得 32 k 2. 0.由此得 3k 2 k 20k 2 0 因此k的取值范圍是32, 2. 考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系. 【結(jié)束】 （21） （本小題滿(mǎn)分 12 分） 1 e2 【答案】 （）詳見(jiàn)解析； （）( , . 2 4 【解析】 試題分析： （）先求定義域， 用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性， 當(dāng)x(0,)時(shí)，f (x) f (0)證 ex0 明結(jié)論； （）用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)

22、g(x)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)h(a) ，又用導(dǎo)數(shù)法求 x 0 2 解. 試題解析： （）f (x)的定義域?yàn)?,2)(2,). (x1)(x2)ex(x2)exx2ex f (x) 0, 22(x2)(x2) 且僅當(dāng)x 0時(shí)，f (x) 0，所以f (x)在(,2),(2,)單調(diào)遞增， 因此當(dāng)x(0,)時(shí)，f (x) f (0) 1, 所以(x2)e (x2),( x2)e x2 0 xx (x2)exa(x2)x2 2 ( f (x)a), （II）g(x) x3x 由（I）知，f (x) a單調(diào)遞增，對(duì)任意a0,1), f (0) a a 1 0, f (2) a a 0, 因此，存在唯一

23、x0(0,2,使得f (x0)a 0,即g (x0) 0， 當(dāng)0 x x0時(shí)，f (x) a 0,g (x) 0,g(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x x0時(shí)，f (x) a 0,g (x) 0,g(x)單調(diào)遞增. 因此g(x)在x x0處取得最小值，最小值為 ex0a(x 0 1)ex0+f (x 0 )(x 0 1)ex0 g(x 0 ) . 22x 0 x 0 x 0 2 ex(x1)exexex0 ) 0, 于是h(a) ，由(單調(diào)遞增 2x2(x2)x2 x 0 2 1e0ex0e2e2 所以，由x0(0,2,得 h(a) . 202x 0 2224 1 e2ex 因?yàn)閱握{(diào)遞增，對(duì)任意( , ,

24、存在唯一的x 0 (0,2,a f (x 0 )0,1), 24x2 1 e2 使得h(a) ,所以h(a)的值域是( , , 24 1 e2 綜上，當(dāng)a0,1)時(shí)，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是( , . 2 4 考點(diǎn)： 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值. 【結(jié)束】 請(qǐng)考生在請(qǐng)考生在 2222、2323、2424 題中任選一題作答題中任選一題作答, ,如果多做如果多做, ,則按所做的第一題計(jì)分則按所做的第一題計(jì)分, ,做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清 題號(hào)題號(hào) （22） （本小題滿(mǎn)分 10 分）選修選修 4-14-1：幾何證明選講：幾何證明選講 【答案】 （）詳見(jiàn)解析； （） 【解析】 試 題

25、分 析 ： （ ） 證DGF CBF,再 證B, C, G, F四 點(diǎn) 共 圓 ； （ ） 證 明 1 . 2 RtBCGRtBFG,四邊形BCGF的面積S是GCB面積S GCB 的 2 倍. 試題解析： （I）因?yàn)镈F EC,所以DEF CDF, 則有GDF DEF FCB, DFDEDG , CFCDCB 所以DGF CBF,由此可得DGF CBF, 因此CGF CBF 180 ,所以B,C,G,F四點(diǎn)共圓. （II）由B,C,G,F四點(diǎn)共圓，CGCB知FG FB，連結(jié)GB， 由G為RtDFC斜邊CD的中點(diǎn)，知GF GC,故RtBCGRtBFG, 因此四邊形BCGF的面積S是GCB面積SGCB的 2 倍，即 0 111 S 2S GCB 21. 222 考點(diǎn)： 三角形相似、全等，四點(diǎn)共圓 【結(jié)束】 （23） （本小題滿(mǎn)分 10