1、費(fèi)馬點(diǎn)及其在中考中的應(yīng)用一、費(fèi)馬點(diǎn)的由來(lái) 費(fèi)馬(Pierre de Fermat，16011665)是法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家費(fèi)馬一生從未受過專門的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)研究也不過是業(yè)余愛好 然而，在17世紀(jì)的法國(guó)還找不到哪位數(shù)學(xué)家可以與之匹敵他是解析幾何的發(fā)明者之一；概率論的主要?jiǎng)?chuàng)始人；以及獨(dú)承17世紀(jì)數(shù)論天地的人 一代數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬堪稱是17世紀(jì)法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家 尤其他提出的費(fèi)馬大定理更是困惑了世間智者358年費(fèi)馬曾提出關(guān)于三角形的一個(gè)有趣問題：在ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使 PA+PB+PC之值為最小，人們稱這個(gè)點(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)” 二、探索費(fèi)馬點(diǎn) 1 當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120的時(shí)候，則費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)

2、角的頂點(diǎn) 下面來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論： 如圖1，對(duì)三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)C，使得AC=AC，作CAP=CAP，并且使得AP=AP 即把APC以A為中心做旋轉(zhuǎn)變換 則APCAPC， BAC120，PAP60 在等腰三角形PAP中，APPP， PA+PB+PCPP+PB+ PCBC=AB+AC所以A是費(fèi)馬點(diǎn) 圖1 圖22 如果三個(gè)內(nèi)角都在120以內(nèi)，那么，費(fèi)馬點(diǎn)就是三角形內(nèi)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為120的點(diǎn) 如圖2，以B點(diǎn)為中心，將APB旋轉(zhuǎn)60到ABP 因?yàn)樾D(zhuǎn)60，且PB=PB，所以PPB為正三角形 因此，PA+PB+PC=PA+PP+PC 由此可知當(dāng)A，P，P，C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+P

3、B+PC=PA+PP+PC為最小 當(dāng)A，P，P共線時(shí)，BPP=60，APB=APB=120 同理，若P，P，C共線時(shí)，則BPP=60， BPC=120 所以點(diǎn)P為滿足APB=BPC=CPA=120的點(diǎn) 三、費(fèi)馬點(diǎn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 近幾年，在全國(guó)各地的中考中，時(shí)常可以看見費(fèi)馬點(diǎn)的影子 例1(2009浙江湖州-25) 若P為ABC所在平面上一點(diǎn)，且APB=BPC=CPA=120，則點(diǎn)P叫做ABC的費(fèi)馬點(diǎn) (1)若點(diǎn)P為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且ABC=60，PA=3，PC=4，則PB的值為_； (2)如圖3，在銳角ABC外側(cè)作等邊ACB，連結(jié)BB求證：BB過ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且BB=PA+PB+PC 解：(

4、1)PBA+PBC=PBC+PCB=60，PBA=PCB 又APB=BPC=120， PBAPCB，則PB2=PAPC=12， 即PB=2 (2)證明：在BB上取點(diǎn)P，使BPC=120，連結(jié)AP，再在PB上截取PE=PC，連結(jié)CE PC=CE，AC=CB，PCA=ECB， ACPBCE APC=BEC=120，PA=EB APB=APC=BPC=120， P為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC 例2 (2009北京) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，ABC三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-6，0)，B(6，0)， C(0，4)，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)D，使CD=AC，過點(diǎn)D作DEAB，交B

5、C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E (1)求D點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F，分別連結(jié)DF，EF，若過B點(diǎn)的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，試確定此直線的解析式； (3)設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短(要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明) 【析】本題第三問要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明如果不知原理，比較難找，用常規(guī)數(shù)學(xué)的方法，會(huì)涉及到一元二次方程的判別式的問題，并不容易想到而

6、用費(fèi)馬點(diǎn)的知識(shí)就能輕松找出這個(gè)G點(diǎn) 由于直線y=kx+b與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)在第二問當(dāng)中可求出M(0，6)，所以，本題第三問便可以轉(zhuǎn)化為：AOOM于點(diǎn)O，AO=6，MO=6，G點(diǎn)從M出發(fā)，向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)G點(diǎn)后，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)若G點(diǎn)在MO上運(yùn)動(dòng)的速度是它在GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置(如圖5，G點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間為t) 解法一： 方程解法 設(shè)GO=x，則MG=6-x，AG=， 則t=， 移項(xiàng)平方得：3x2+(12-4t)x +36+24t-4t2=0， 方程有解， =(12-4t)2-12(36+24t-4t2)0 解得t6， 將t=6代回方程，求出x=2時(shí)，t最小 解法二：費(fèi)馬點(diǎn)解法 如圖6，要使MG+AG最小，即使MG+2AG最小 作A關(guān)于MO的對(duì)稱點(diǎn)A， 則MG+2AG=MG+AG+AG， 即MG+AG+AG最小故G為AAM的費(fèi)爾馬點(diǎn)作GAO=30，交MO于G點(diǎn)，則AGM=AGM=AG A=120，故G點(diǎn)為所求 OG=2 由此利用費(fèi)馬點(diǎn)的解法可以看出： 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)G在OM上的運(yùn)動(dòng)速度是在AG上的2倍的時(shí)候，動(dòng)點(diǎn)的位置與MO的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，與AO的長(zhǎng)度有關(guān)，GO長(zhǎng)是AO長(zhǎng)的倍2009北京中考25題最后一問不需證明其實(shí)證明也很簡(jiǎn)單?。▋H供參考）其中為與軸的交點(diǎn)，由前兩個(gè)問題容易得知為等邊三角形， 為軸上的