1、2019 北京市西城區(qū)高一數(shù)學 （上）期末 2019.1 試卷滿分：試卷滿分：150150 分分考試時間：考試時間：120120 分鐘分鐘 A A 卷卷 三角函數(shù)與平面向量三角函數(shù)與平面向量 本卷滿分：本卷滿分：100100 分分 三三 題號題號一一二二 1717 分數(shù)分數(shù) 18181919 本卷總分本卷總分 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共 1010 小題，每小題小題，每小題 4 4 分，共分，共 4040 分分. .在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的. . 1sin( )（） 3 （A） 1 2 （B） 1 2 （C） 3

2、2 （D） 3 2 x 2函數(shù)f (x) sin()的最小正周期為（） 23 （A） 3如果向量a a (0,1)，b b (2,1)，那么| |a a 2b b| |（） （A）6（B）5（C）4（D）3 （B）2（C）4（D）6 sin() 2 （）4 cos() （A）tan 5已知函數(shù)y sin x和y cos x在區(qū)間I上都是減函數(shù)，那么區(qū)間I可以是（） （B）tan（C）1（D）1 （A）(0,) 2 （B）( , ) 2 （C）(, 3 ) 2 （D）( 3 ,2 ) 2 6如圖，在ABC中，D是BC上一點，則 AB BC AD （ ） （A）BD（B）DB （C）CD 1 1

3、/ 1010 （D）DC 2 ，那么向量a a,b b的夾角是（） 2 7已知a a,b b為單位向量，且a ab b （A） 4 （B） 2 （C） 3 （D） 4 8設0,2 )，則使sin 1 成立的的取值范圍是（） 2 4 （C）( ,) 33 7 11 ,) 66 2 （A）( ,) 33 5 （B）( ,) 66 （D）( 9已知函數(shù)f (x) A 1 sin( 1x 1) ，g(x) A 2 sin( 2x 2 )，其圖象如下圖所示為得到函數(shù)g(x)的圖象，只需 先將函數(shù)f (x)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的 1 倍（縱坐標不變），再 2 （A）向右平移 （C）向左平移 個單位

4、 6 個單位 6 （B）向右平移 （D）向左平移 個單位 3 個單位 3 10在ABC中，A ，AB2，AC1D是BC邊上的動點，則AD BC的取值 2 范圍是（） （A）4,1（B）1,4（C）1,4（D）4,1 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 4 4 分，共分，共 2424 分分. .把答案填在題中橫線上把答案填在題中橫線上. . 1 11若cos ，且為第三象限的角，則tan_ 2 12已知向量a a (1, 2)與向量a a共線的一個非零向量的坐標可以是_ 2 2 / 1010 13如果tan(x)0 (x 0)，那么x的最小值是_ 3 14

5、如圖，已知正方形ABCD若AD AB AC，其中，R R，則 _ 15在直角坐標系xOy中，已知點A(3,3)，B(5,1)，P(2,1)，M是坐標平面內的一點 若四邊形APBM是平行四邊形，則點M的坐標為_； 若PA PB 2 PM，則點M的坐標為_ 16設函數(shù)f (x) sin(x )若f (x)的圖象關于直線x 對稱，則的取值集合是_. 36 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 3 3 小題，共小題，共 3636 分分. .解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. . 17（本小題滿分 12 分） 3 已知(0, )，且sin 25 （）求si

6、n( )的值； 4 （）求cos2 18（本小題滿分 12 分） 函數(shù)f (x) Asin(x )的部分圖象如圖所示，其中A 0, 0,| （）求f (x)的解析式； tan()的值 24 （）求f (x)在區(qū)間,上的最大值和最小值； 2 （）寫出f (x)的單調遞增區(qū)間 3 3 / 1010 19（本小題滿分 12 分） 在直角坐標系xOy中，已知點A(1,0)，B(0,3)，C(cos,sin)，其中0, 2 （）求AC BC的最大值； （）是否存在0,，使得ABC為鈍角三角形？若存在，求出的取值范圍；若不 2 存在，說明理由 B B 卷卷 學期綜合學期綜合 本卷滿分：本卷滿分：5050

7、分分 二二 題號題號一一 6 6 分數(shù)分數(shù) 7 78 8 本卷總分本卷總分 一、填空題：本大題共一、填空題：本大題共 5 5 小題，每小題小題，每小題 4 4 分，共分，共 2020 分分把答案填在題中橫線上把答案填在題中橫線上 1若集合A x |0 x 3，B x | 1 x 2，則AB _ 2函數(shù)f (x) 1 的定義域為_. log2x 1 3已知三個實數(shù)a 32，b 2，c log32將a,b,c按從小到大排列為_ 4里氏震級M的計算公式為：M lg A lg A0，其中A0 0.005 是標準地震的振幅，A是測震儀記錄的地 震曲線的最大振幅在一次地震中，測震儀記錄的地震曲線的最大振幅

8、是500，則此次地震的里氏震級為 _級；8級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的_倍 2 1x x, 2xc, 5已知函數(shù)f (x) 若c 0，則f (x)的值域是_；若f (x)的值域是,2，則實 14 c x3. x , 數(shù)c的取值范圍是_ 二、解答題：本大題共二、解答題：本大題共 3 3 小題，共小題，共 3030 分分. .解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. . 6（本小題滿分 10 分） 已知函數(shù)f (x) x 2 x 1 （）證明：f (x)是奇函數(shù)； （）判斷函數(shù)f (x)在區(qū)間(1,1)上的單調性，并用函數(shù)單調性的定義加以證明 4 4

9、/ 1010 7（本小題滿分 10 分） 已知函數(shù)f (x) ax2 x定義在區(qū)間0,2上，其中a 2,0 （）若a 1，求f (x)的最小值； （）求f (x)的最大值 8（本小題滿分 10 分） 已知函數(shù)f (x)的定義域為D若對于任意x 1,x2 D，且x1 x2，都有f (x 1) f (x2 ) 2f ( 數(shù)f (x)為“凸函數(shù)” （）判斷函數(shù)f 1(x) 2x 與f2(x) x是否為“凸函數(shù)”，并說明理由； （）若函數(shù)f (x) a 2x b（a ,b為常數(shù)）是“凸函數(shù)”， 求a的取值范圍； x 1 x2 )，則稱函 2 1 （）寫出一個定義在( ,)上的“凸函數(shù)”f (x)，滿足

10、0 f (x) x（只需寫出結論） 2 5 5 / 1010 數(shù)學試題答案 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共 1010 小題，每小題小題，每小題 4 4 分，共分，共 4040 分分. . 1. D 2. C 3. B 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9.A 10.A 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 4 4 分，共分，共 2424 分分. . 11. 3 12.(2,4) （答案不唯一） 13. 2 14.1 15.(6,3)；(4,2) 16. 注：第注：第 1515 題每空題每空 2 2 分分. . 三、解答題：本大題共

11、三、解答題：本大題共 3 3 小題，共小題，共 3636 分分. . 17.（本小題滿分 12 分） （）解：因為(0, 2 )，sin 3 5 ， 所以cos1sin2 4 5 所以sin( 4 ) 2 2 (sincos) 2 10 （）解：因為sin 3 5 ，cos 4 5 ， 所以tan sin cos 3 4 所以cos2 1cos1 tan 2 tan(4) 2 1tan 79 10 3 | 6k 1,kZ Z 2 分 3 分 5 分 6 分 8 分 9 分 11 分 12 分 6 6 / 1010 18. （本小題滿分 12 分） （）解：由圖象可知A31 分 因為f (x)的

12、最小正周期為T ， 66 所以 23 分 T 令2 ， 解得，適合| 626 所以f (x) 3sin(2x)5 分 6 （）解：因為x ,，所以2x,6 分 6662 133 ，即x 時，f (x)取得最大值；8 分 662 所以，當2x 當2x 32 ，即x 時，f (x)取得最小值310 分 623 （）解：f (x)的單調遞增區(qū)間為k, k（k Z Z）12 分 36 19.（本小題滿分 12 分） （）解：AC (cos1,sin)，BC (cos,sin3)2 分 所以ACBC (cos1)cossin(sin3)3 分 cos3sin1 2cos()14 分 3 因為0,，所以

13、,5 分 3362 所以 當 ，即0時，AC BC取得最大值26 分 33 （）解：因為| AB| 2，| AC|(1cos)2sin222cos， 7 7 / 1010 | BC|cos2(sin3)242 3sin 又0,，所以sin0,1，cos0,1， 2 所以| AC |2，| BC|2 所以 若ABC為鈍角三角形，則角C是鈍角，從而CACB 08 分 1 由（）得2cos()10，解得cos() 9 分 332 所以 (,， 即( , 11 分 3363 2 反之，當( , 時，CACB 0， 3 2 又A,B,C三點不共線，所以 ABC為鈍角三角形 綜上，當且僅當( , 時，AB

14、C為鈍角三角形12 分 3 2 B B 卷卷 學期綜合學期綜合 滿分滿分 5050 分分 一、填空題：本大題共一、填空題：本大題共 5 5 小題，每小題小題，每小題 4 4 分，共分，共 2020 分分. . 1.x| 1 x 3 2.x|0 x 1，或x 1 3.c b a 4.5；1000 11 5.,)； ,1 42 注：第注：第 4 4 題、第題、第 5 5 題每空題每空 2 2 分分. . 二、解答題：本大題共二、解答題：本大題共 3 3 小題，共小題，共 3030 分分. . 6.（本小題滿分 10 分） （）解：函數(shù)f (x)的定義域為D x| x 1.1 分 對于任意xD，因為

15、f (x) x f (x)，3 分 (x)21 所以f (x)是奇函數(shù)4 分 （）解：函數(shù)f (x) x 在區(qū)間(1,1)上是減函數(shù)5 分 x21 證明：在(1,1)上任取x 1 ，x2，且x 1 x2，6 分 8 8 / 1010 則f (x 1) f (x2 ) x 1 x2(1 x 1x2 )(x2 x 1) 8 分 2222 x 1 1x21(x 1 1)(x21) 22 由1 x 1 x21，得1 x 1x2 0，x2 x 1 0，x 1 10，x210， 所以f (x 1) f (x2 ) 0，即f (x 1) f (x2 ). 所以 函數(shù)f (x) x 在區(qū)間(1,1)上是減函數(shù)

16、.10 分 x21 7.（本小題滿分 10 分） 11 （）解：當a 1時，f (x) x2 x (x)22 分 24 11 所以f (x)在區(qū)間(0, )上單調遞增，在( ,2)上f (x)單調遞減 22 因為f (0) 0，f (2) 2， 所以f (x)的最小值為24 分 （）解： 當a 0時，f (x) x 所以f (x)在區(qū)間0,2上單調遞增， 所以f (x)的最大值為f (2) 25 分 當2a 0時，函數(shù)f (x) ax2 x圖像的對稱軸方程是x 1 .6 分 2a 當0 1111 2，即2a 時，f (x)的最大值為f () . 8 分 2a42a4a 1 當 a 0時，f (

17、x)在區(qū)間0,2上單調遞增， 4 所以f (x)的最大值為f (2) 4a 29 分 111 綜上，當2a時，f (x)的最大值為f () ； 42a4a 1 當 a0時，f (x)的最大值為4a210 分 4 8.（本小題滿分 10 分） （）解：對于函數(shù)f1(x)2x，其定義域為R R 取x 1 0,x21，有f (x 1) f (x2 ) f (0) f (1) 2，2f ( x 1 x21 ) 2f ( ) 2， 22 9 9 / 1010 所以f (x 1) f (x2 ) 2f ( x 1 x2 )， 所以f1(x)2x不是“凸函數(shù)”2 分 2 對于函數(shù)f2(x)x，其定義域為0,) 對于任意x 1,x2 0,)，且x 1 x2，由 x 1 x2 2 x x2 2 ) ( x 1 x2)2(2 1) ( x 1 x2)2 0， 22 f (x 1) f (x2 )22 f ( 所以f (x 1) f (x2 )22f ( x 1 x2 2 ) 2 x 1 x2 ) 0， 2 因為f (x 1) f (x2 ) 0，2f ( 所以f (x 1) f (x2 ) 2f ( x 1