1、張量分析初步,第三節(jié) 張量分析,第一節(jié) 指標(biāo)符號,第二節(jié) 張量的定義和代數(shù)運算,符號推導(dǎo)過程中，概念要清楚,初步,參考教材：彈性力學(xué)，陳國榮編著，河海大學(xué)出版社,抽象的意義-突破人想象力的局限,1、代數(shù)學(xué)：代數(shù)X既不是1、2、3，又可以是1是2是3 2、微分方程：同一方程既可以描述熱傳導(dǎo)，也可以描述化學(xué)擴散 3、抽象空間：哈密頓空間、系綜相空間 4、指標(biāo)符號系統(tǒng)：矢量與張量,問題的提出,自然法則與坐標(biāo)無關(guān)（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)下的平衡方程） 坐標(biāo)系的引入方便了問題的分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)，并且相關(guān)表達式冗長,如何解決?,引入張量方法,A1 指標(biāo)符號,下標(biāo)符號 i 稱為指標(biāo)，n 為維數(shù) 指標(biāo) i

2、可以是下標(biāo)，如 xi 也可以是上標(biāo)，如 xi,記作,指標(biāo)的取值范圍如不作說明，均表示從13,通過指標(biāo)輪換，用1項表示很多項，簡潔！,采用指標(biāo)表示的符號系統(tǒng)稱為指標(biāo)符號，一般采用下標(biāo),xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, z ui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, w,一若干約定 啞標(biāo)和自由標(biāo),1. Einstein求和約定,凡在某一項內(nèi)，重復(fù)一次且僅重復(fù)一次的指標(biāo)，表示對該指標(biāo)在它的取值范圍內(nèi)求和，并稱這樣的指標(biāo)為啞指標(biāo)或啞標(biāo)。如：,又如：,重復(fù)不止一次的指標(biāo)，求和約定失敗,求和約定僅對字母指標(biāo)有效，如,同一項內(nèi)二對啞標(biāo)應(yīng)使用不同指標(biāo)，如,注意：,1,2,3,

3、4,啞標(biāo)可以換用不同的字母指標(biāo),2.求導(dǎo)記號的縮寫約定,k,二維問題 平衡微分方程的指標(biāo)表示,3.自由指標(biāo),定義：凡在同一項內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)。如,j 為自由指標(biāo),j=1,j=1,j=1,j=2,j=3,j=1,j=1,注意：,同一個方程中各項的自由指標(biāo)必須相同,不能單獨改變某一項的自由指標(biāo)，但可以同時改變所有項的自由指標(biāo),1,2,wrong,right,如：,二克羅內(nèi)克（Kronecker-）符號,定義：,由定義,特殊的指標(biāo)符號,當(dāng)克羅內(nèi)克符與其它項連乘時，可作指標(biāo)替換,性質(zhì)：,三Ricci 符號,定義：,共27個分量，亦稱為排列符號或置換符號,即：,特殊的指標(biāo)符號,矩陣的行列式可表示為:,

4、A2 張量的定義和 代數(shù)運算,說明,任意矢量可以表示為基矢量的線性組合,1,2,基矢量不是唯一的,1. 矢量的基本運算,(1)點積,基矢量點積,任意兩矢量的點積,1,2,投影,1,(2) 叉積,基矢量的叉積,由于,特別地：,（比較：,）,兩個任意矢量的叉積,2,(3) 混合積,基矢量混合積,故也有定義,1,置換符號就是基矢量的混合積,矢量混合積,表示的是以 為邊長的平行六面體的體積。,2,(4) 并矢（并乘）,定義：,展開共9項， 可視為并矢的基,為并矢的分解系數(shù)或分量,2. 平面笛卡兒坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換,互為逆矩陣,互為轉(zhuǎn)置矩陣,為正交矩陣,引用指標(biāo)符號：,由,又,互為逆矩陣,說明,1,2,矢

5、量的分量也具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律,基矢量具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律,3. 三維情況 (三維坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)),考慮一位置矢量,同理,同二維問題，可得,（正交性）,可試證：,4. 張量定義,定義：在坐標(biāo)變換時，滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量,自由指標(biāo)數(shù)目n稱為張量的階數(shù)，對于三維空間，張量分量的個數(shù)為3n個，變換式也有3n個。,采用并矢記號（不變性記法或抽象記法）,可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）,基矢量的坐標(biāo)變換符合前述要求,標(biāo)量：零階張量,矢量：一階張量,張量：二階張量,討論,1,2,上述表達式具有不變性特征；,張量分量 與坐標(biāo)系有關(guān)；,3,在坐標(biāo)變換時遵循相同的變換規(guī)律,問題的提出,

6、自然法則與坐標(biāo)無關(guān)（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)下的平衡方程） 坐標(biāo)系的引入方便了問題的分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)，并且相關(guān)表達式冗長,如何解決?,引入張量方法,1. 張量的數(shù)乘,張量代數(shù),2. 張量的加法,3. 矢量與二階張量的點積,1,2,左點乘：,右點乘 :,點乘得到的新張量比原張量低一階,張量代數(shù),1,左點乘：,3. 矢量與二階張量的點積,張量代數(shù),點積相當(dāng)于指標(biāo)縮并，導(dǎo)致張量階數(shù)降低,二階張量相當(dāng)于一個線性變換，或空間轉(zhuǎn)移,張量代數(shù),4. 矢量與二階張量的叉積,1,左叉乘：,叉乘得到的新張量與原張量同階,2,右叉乘 :,張量代數(shù),4. 兩個張量的點積,兩個二階張量點積得到一個新二階張量，相當(dāng)于矩陣

7、相乘,兩個任意階張量點積得到一個新張量，階數(shù)是兩個原張量之和減2,張量代數(shù),5. 兩個張量的雙點積,兩個任意階張量雙點積得到一個新張量，階數(shù)是兩個原張量之和減4,張量代數(shù),6. 張量的縮并,張量縮并后得到一個新張量，階數(shù)較原張量低二階,二階張量的“跡”，就是在其并矢的兩個矢量間取點積,張量代數(shù),7. 張量的轉(zhuǎn)置,對于對稱張量，一定可以找到三個互相正交的主方向,應(yīng)力張量與應(yīng)變張量均為對稱的二階張量,張量代數(shù),7. 張量的轉(zhuǎn)置,幾種常用的二階張量,1. 單位張量,2. 置換張量,以置換符號為分量的三階張量,3. 逆張量,并非所有張量都可逆，有逆存在的張量稱為可逆張量,幾種常用的二階張量,4. 正交

8、張量,正交張量對應(yīng)的線性變換保持矢量長度和內(nèi)積不變,正交張量對應(yīng)的線性變換代表一個轉(zhuǎn)動,A3 張量分析,梯度,標(biāo)量場的梯度是一個向量場，標(biāo)量場中某一點上的梯度指向標(biāo)量場增長最快的方向。,對單變量實值函數(shù)，梯度只是導(dǎo)數(shù)，如應(yīng)變。,圖中標(biāo)量場是黑白的，黑色代表大的數(shù)值，藍色箭頭代表梯度方向。,散度、旋度,散度是將向量空間上的一個向量場（矢量場）對應(yīng)到一個標(biāo)量場上，描述的是向量場里一個點是匯聚點還是發(fā)源點。,旋度表示三維向量場對某一點附近的微元造成的旋轉(zhuǎn)程度，這個向量提供了向量場在這一點的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。,力學(xué)中：,幾何方程與位移場的梯度有關(guān),轉(zhuǎn)動量與位移場的旋度有關(guān),平衡方程與應(yīng)力場的散度有關(guān),1、哈密頓(Hamilton)算子(梯度算子),梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子,可以表示為:,可以證明, Hamilton算子具有張量的屬性,相當(dāng)于一階張量。,啞標(biāo),2、梯度,1,標(biāo)量場,為一階張量矢量,2,張量場,（1）左梯度,（2）右梯度,并乘,3、散度,1,矢量場,為一標(biāo)量，反映“發(fā)源”或“匯聚”,2,張量場,（1）左散度,（2）右散度,