1、層次分析法,Analytic Hierarchy Process AHP,T.L.saaty,層次分析法建模,一 問題的提出 日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種 方案時需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。 例1 購物 買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實用性、價格、 外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。 買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選 擇某種飯菜。 例2 旅游 假期旅游，是去風光秀麗的蘇州，還是去迷人的北 戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、 費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。,例3 擇業(yè) 面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去 選擇，一般依據(jù)工作環(huán)

2、境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條 件等因素擇業(yè)。 例4 科研課題的選擇 由于經(jīng)費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依 據(jù)課題的可行性、應用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素 進行選題。,面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最后 作出決策。這個過程主觀因素占有相當?shù)谋戎亟o用數(shù)學方法 解決問題帶來不便。T.L.saaty等人20世紀在七十年代提出了 一種能有效處理這類問題的實用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這是 一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。 過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機理分析法和統(tǒng)計分析法兩 種方法，前者用經(jīng)典

3、的數(shù)學工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者 以隨機數(shù)學為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近 年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析 的數(shù)學工具之一。,層次分析法的基本思路：,與人們對某一復雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。,選擇鋼筆,質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用,鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4,質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進行排序 將各個鋼筆的質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進行排序 經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆,二 層次分析法的基本步驟,1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 一般分為三層，最上面為目標層，最下面為方案層，中 間是準則層或指標層。 例1 的層次結(jié)構(gòu)模型,準則層,方案層,目標層,例2 層次

4、結(jié)構(gòu)模型,準則層A,方案層B,目標層Z,若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所 有因素影響，稱為完全層次結(jié)構(gòu)，否則稱為不完全層次結(jié)構(gòu)。,設(shè)某層有 個因素，,2 構(gòu)造成對比較矩陣,要比較它們對上一層某一準則（或目標）的影響程度，確定 在該層中相對于某一準則所占的比重。（即把 個因素對上 層某一目標的影響程度排序）,用 表示第 個因素相對于第 個因素的比較結(jié)果，則,則稱為成對比較矩陣。,上述比較是兩兩因素之間進行的比較，比較時取19尺度。,尺度,第 個因素與第 個因素的影響相同,第 個因素比第 個因素的影響稍強,第 個因素比第 個因素的影響強,第 個因素比第 個因素的影響明強,第

5、個因素比第 個因素的影響絕對地強,含義,比較尺度：（19尺度的含義）,2,4,6,8表示第 個因素相對于第 個因素的影響介于上述 兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數(shù)的含義， 根據(jù) 。,由上述定義知，成對比較矩陣,則稱為正互反陣。 比如，例2的旅游問題中，第二層A的各因素對目標層Z 的影響兩兩比較結(jié)果如下：,滿足一下性質(zhì),1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分別表示 景色、費用、 居住、飲食、 旅途。,由上表，可得成對比較矩陣,旅游問題的成對比較矩陣共有6個（一個5階，5個3階）。,問題：兩

6、兩進行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上 層某因素的影響程度的排序結(jié)果呢？,3 層次單排序及一致性檢驗,層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。 用權(quán)值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權(quán)值。 例如 一塊石頭重量記為1，打碎分成 各小塊，各塊的重量,分別記為：,則可得成對比較矩陣,由右面矩陣可以看出，,即，,但在例2的成對比較矩陣中，,在正互反矩陣 中，若 ,則稱 為一致陣。,一致陣的性質(zhì)：,5. 的任一列(行)都是對應于特征根 的特征向量。,作業(yè),若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應于最 大特征根 的歸一化特征向量 ，且,定理： 階互反陣 的最大特征根 ，當且僅

7、 當 時， 為一致陣。,表示下層第 個因素對上層某因素影響程度的權(quán)值。,若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大 特征根對應的歸一化特征向量作為權(quán)向量 ，則,（為什么？）,這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.,定義一致性指標,其中 為 的對角線元素之和，也為 的特征根之和。,則可得一致性指標,定義隨機一致性指標,隨機構(gòu)造500個成對比較矩陣,隨機一致性指標 RI 的數(shù)值：,一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率0.1 及隨機一致性指標的數(shù)值表，對 進行檢驗的過程。,一般，當一致性比率,的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其歸一化特征向量 作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對比較矩陣，對 加 以

8、調(diào)整。,時，認為,4 層次總排序及其一致性檢驗 確定某層所有因素對于總目標相對重要性的排序權(quán)值過程， 稱為層次總排序 從最高層到最低層逐層進行。設(shè)：,對總目標Z的排序為,的層次單排序為,即 層第 個因素對 總目標的權(quán)值為：,層的層次總排序為：,A,B,層次總排序的一致性檢驗,設(shè) 層 對上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標為 ，隨機一致性指為 ， 則層次總排序的一致性比率為：,當 時，認為層次總排序通過一致性檢驗。到 此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。,1.建立層次結(jié)構(gòu)模型 該結(jié)構(gòu)圖包括目標層，準則層，方案層。,層次分析法的基本步驟歸納如下,3.計算單排序權(quán)向量并做一致性檢

9、驗,2.構(gòu)造成對比較矩陣,從第二層開始用成對比較矩陣和19尺度。,對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應的特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向量；若不通過，需要重新構(gòu)造成對比較矩陣。,計算最下層對最上層總排序的權(quán)向量。,4.計算總排序權(quán)向量并做一致性檢驗,進行檢驗。若通過，則可按照總排序權(quán)向量表示的結(jié)果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率 較大的成對比較矩陣。,利用總排序一致性比率,三 層次分析法建模舉例,旅游問題 (1)建模,分別分別表示景色、費用、 居住、飲食、旅途。,分別表示蘇杭、北戴河、桂林。,（

10、2）構(gòu)造成對比較矩陣,(3)計算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗,成對比較矩陣 的最大特征值,表明 通過了一致性驗證。,故,則,該特征值對應的歸一化特征向量,對成對比較矩陣 可以求層次 總排序的權(quán)向量并進行一致性檢驗，結(jié)果如下：,計算 可知 通過一致性檢驗。,對總目標的權(quán)值為：,（4）計算層次總排序權(quán)值和一致性檢驗,又,決策層對總目標的權(quán)向量為：,同理得， 對總目標的權(quán)值分別為：,故，層次總排序通過一致性檢驗。,可作為最后的決策依據(jù)。,故最后的決策應為去桂林。,又 分別表示蘇杭、北戴河、桂林，,即各方案的權(quán)重排序為,四 層次分析法的優(yōu)點和局限性,1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照

11、分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策 ，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。,2 實用性 層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用 傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應用范圍很廣，同 時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策 者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性。,3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本 原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得 結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。,以上三點體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點，該法的局限 性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：,第一 只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的

12、新方案。,第二 該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計算過程都是粗糙 的，不適用于精度較高的問題。 第三 從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀 因素對整個過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓 所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法 是克服這個缺點的一種途徑。,思考：多名專家的綜合決策問題,五 正互反陣最大特征值和特征向量實用算法,用定義計算矩陣的特征值和特征向量相當困難，特別是階數(shù)較高時； 成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對它的精確計算是沒有必要的。 尋找簡便的近似方法。,定理,對于正矩陣 A （A的所有元素為正）,1） A 的最大特征根為正單根 ；,2） 對應正特征向量 w（w的所有分量為正）；,3）,其中,是對應 的歸一化特征向量。,1 冪法 步驟如下,a) 任取 n 維歸一化初始向量,b) 計算,c) 歸一化,，即令,d) 對于預先給定的精度 ，當下式成立時,即為所求的特征向量；否則返