1、平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用 1. 1.定義及運算律定義及運算律. . 兩個向量的內(nèi)積(即數(shù)量積),其結(jié)果是一個實數(shù)，而不是向量 .其定義源于物理學中 “力所做的功”. 設(shè) a a 及 b b 是具有共同始點的兩個非零向量,其夾角滿足:0180,我們把 |a a|b b|cos叫做 a a 與 b b 的數(shù)量積，記作 a ab b 若 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2),則 a ab b=x 1x2 y1y2. 其運算滿足 “交換律” “結(jié)合律” 以及 “分配律”,即:a ab b=b ba a， (a a)b b=(a ab b)， (a ab

2、 b)c c=a ac cb bc c. 2. 2.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì). . |a a|= aa= =| a| a|cos | a|2 ; ;cos= 取等號. 設(shè)a a=(x1,y1),b b=(x2,y2), 則 :|a a|=22 x1 y1 (ab) ;|a ab b|a a|b b|,當且僅當 a a,b b 共線時 | a |b| ;cos = (x1x2 y1y 2 ) 2 x1 2 y1 2 x2 2 y2 ;|x1x2+y1y2| 2222 x1 y1x2 y2 3. 3.兩向量垂直的充要條件兩向量垂直的充要條件 若 a a,b b 均為非零向量

3、,則:a ab ba ab b=0. 若 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2),則 a ab bx1x2+y1y2=0. 4. 4.向量的模及三角不等式向量的模及三角不等式 |a a|2=a a a a 或|a a|= aa;|a a b b|a a| |b b|;|a a|2-|b b|2=(a a+b b) (a a-b b);|a ab b|=a2b22| a|b|cos (為 a a,b b 夾角);|a a|-|b b|a ab b|a a|+|b b|. 5. 5.三角不等式的推廣形式三角不等式的推廣形式 |a a1+a a2+a an|a a1|+|a a2|+|a a

4、n|. 小練習一小練習一 【例【例 1 1】計算下列各題: (1)已知等邊三角形 ABC 邊長為 1,且BC=a a,CA=b b,AB=c c,求 a ab b+b bc c+c ca a; (2)已知 a a、b b、c c 是空間中兩兩垂直的向量,且|a a|=1,|b b|=2,|c c|=3,求 r r=a a+b b+c c 的長度以及它和 a a,b b,c c 的 夾角; (3)已知(a a+3b b)與(7a a-5b b)垂直,且(a a-4b b)與(7a a-2b b)垂直,求 a a、b b 的夾角; (4)已知|a a|=2,|b b|=5,a a,b b 的夾角是

5、 2 ,p p=3a a-b b,q q=a a+17b b,問系數(shù)取向值時，p pq q. 3 【解前點津】【解前點津】(1)利用 x x2=x xx x,通過對(a a+b b+c c)2的計算得出結(jié)論;(2)運用公式及運算律;(3)利用 兩向量垂直的充要條件;(4)利用兩向量垂直的充要條件， 運算律以及內(nèi)積定義.構(gòu)造關(guān)于的方程， 解 之即得. 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)(a a+b b+c c)2=a a2+b b2+c c2-2(a ab b+b bc c+c ca a)=3-2(a ab b+b bc c+c ca a)=0 a ab b+b bc c+c ca a= 3 . 2

6、 (2)cosr r,a a= ra ,|r r|=r2且 | r | a | r r2=(a a+b b+c c)2=a a2+b b2+c c2-2(a ab b+b bc c+c ca a)=14-2(a ab b+b bc c+c ca a)=14. |r r|=14 cosr r,a a= (abc)a 14| a | | a |2 14 | a | |b|2 14 |b| |c |2 14 |c | 14 ; 14 14 ; 7 3 . 14 cosr r,b b= (abc)b 14|b| (abc)c 14|c | cosr r,c c= (3)由條件:(a a+3b b)(7

7、a a-5b b)=7|a a|2-15|b b|2+16a ab b=0,(a a-4b b)(7a a-2b b)=7|a a|2+8|b b|2-30a ab b=0 |a a|2=|b b|2=2a ab b(|a a|b b|)2=4(a ab b)2 由 cosa a,b b= 由 cosa a,b b=- 1 得: 2 1 得: 2 ab1 . | a|b|2 a a,b b= ; 3 a a,b b= 2 . 3 (4)令 p pq q=0 得:(3a a-b b)(a a+17b b)=03|a a|2-17|b b|2+(51-)a ab b=0 將|a a|=2,|b b

8、|=5,a ab b=|a a|b b|cos 2 代入得 34-1725+(51-)(-5)=0 解之:=40. 3 【解后歸納】【解后歸納】綜合利用內(nèi)積的定義及運算律，內(nèi)積運算形式與實數(shù)運算形式的相互轉(zhuǎn)化，是 計算的一項基本功. 【例【例 2 2】在ABC 中,AB=(2,3),AC=(1,k),且ABC 的一個內(nèi)角為直角，求k 的值. 【解前點津】【解前點津】因誰是直角，尚未確定，故必須分類討論. 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】當A=90時,因為ABAC=0, 21+3k=0,k=- 2 . 3 當B=90時,BC=AC-AB=(1-2,k-3)=(-1,k-3) ABBC=0,2(-1)+3

9、(k-3)=0k= 11 . 3 當C=90時,ACBC=0,-1+k(k-3)=0,k2-3k-1=0k= k 的取值為:- 21133 ,或. 332 33 . 2 【例【例 4 4】已知平行四邊形以 a a=(2,1),b b=(1,-3)為兩鄰邊. (1)求它的邊長和內(nèi)角; (2)求它的兩對角線的長和夾角. 【解前點津】【解前點津】利用內(nèi)積的有關(guān)運算性質(zhì). 【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)|a a|=22125,|b b|=12(3)210 cos= (2113) ab2 , | a |b|10 5 10 =-arccos 2 . 10 (2)|a a+b b|=(ab)2a2b22ab

10、 5102(1) 13, |a a-b b|=a2b22ab 5102(1) 17. 1 (ab) 2 cos= 1 (ab) 2 1 (ab) 2 1 (ab) 2 a2b2 13 17 5105 221 . 221 13 17 【解后歸納】【解后歸納】本題綜合運用了向量的有關(guān)運算性質(zhì)，也可利用余弦定理求解. 小練習二小練習二 一、基礎(chǔ)夯實 1.已知|a a|=1,|b b|=2,且(a a-b b)與 a a 垂直,則 a a 與 b b 的夾角是() A.60B.30C.135D.45 2.已知|a a|=2,|b b|=1,a a 與 b b 之間的夾角為 ,則向量 m m=a a-4

11、b b 的模為() 3 A.2B.23C.6D.12 3.a a,b b 是兩個非零向量,(a a+b b)2=a a2+b b2是 a ab b 的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件 4.若 a a=(-4,3),b b=(5,6),則 3|a a|2-4a ab b 等于() A.23B.57C.63D.83 5.已知 a a=(,2),b b=(-3,5)且 a a 與 b b 的夾角為鈍角，則的取值范圍是() A. 10101010 B.C.D. 3333 6.已知 a a=(4,3),向量 b b 是垂直 a a 的單位向量，則 b b 等

12、于() 3 4 4 3 4 3 3 4 A. , 或 , B, 或 , 5 5 5 5 5 5 5 5 3 4 4 3 3 4 3 4 C , 或 , D, 或 , 5 5 5 5 5 5 5 5 7.已知 a a=(2,3),b b=(-4,7),則 a a 在 b b 方向上的投影為() A. 55 B.C. 55 6513 D. 513 1 )在線段 AB 中垂線上,則 x 為() 2 8.已知 A(3,2),B(-1,-1),若點 P(x,- A.- 77 B.C.2D.-2 44 3 ,則 k 的值為() 4 9.已知 a a=(3,0),b b=(k,5),且 a a 與 b b

13、的夾角為 A.-4B.4C.5D.-5 10.已知 a a=(3,-1),b b=(1,2),求滿足條件:x xa a=9 與 x xb b=-4 的向量 x x 為() A.(2,3)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3) 二、思維激活 11.已知向量 a a、b b 的夾角為 ,|a a|=2,|b b|=1,則|a a+b b|a a-b b|=. 3 12.已知 a ab b、c c 與 a a,b b 的夾角均為 60,且|a a|=1,|b b|=2,|c c|=3,則(a a+2b b-c c)2=. 13.已知 a a=(1,2),b b=(1,1),c c=b b

14、-ka a,若 c ca a,則 c c=. 14.已知點 A(1,0),B(3,1),C(2,0),且 a a=BC,b b=CA,則 a a 與 b b 的夾角為. 三、能力提高 15.設(shè) A、B、C、D 是平面內(nèi)任意四點,求ABCD+BCAD+CABD值. 16.設(shè)OA=(3,1),OB=(-1,2),OCOB,BCOA,O 是原點，求滿足OD+OA=OC時的OD坐標. 17.已知兩單位向量 a a 與 b b 的夾角為 120,若 c c=2a a-b b,d d=3b b-a a,試求:c c 與 d d 的夾角. 18.已知 a a=(3,-1),b b= 的最小值. 21 3 ,

15、且存在實數(shù) k 和 t,使得 x x=a a+(t t2-3)b b, y y=-ka a+tb b,且 x xy y,試求 k t , t 22 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用 解答解答 1.Da a(a a-b b)=a a2-a ab b=0,a ab b=1=12cos,cos= 1 . 2 2.B|m m|=m m2=a a216b b28a ab b 2216821cos 2016cos 2 3. 3 3.C展開得:a a2+b b2+2a ab b=a a2+b b2a ab b=0. 4.D原式=3(42+32)-4(-20+18)=83. 5

16、.Aa ab b=10-3,|a a|=42,|b b|=34,由 cos= 103 34 42 10 . 3 x 3x 3 55 226.D設(shè) b b=(x,y),則 x +y =1 且 4x+3y=0 解方程組得或. 44 y y 55 13 7.Ca ab b=2(-4)+37=13,|a a|=13,|b| b|=65,13=1365cos,|a a|cos= 65 65 . 5 1 8.C由條件知 AB 中點為 M 1,令MPAB=0 得:(x-1,-1)(-4,-3)=-4(x-1)+(-1)(-3)=0,x=2. 2 3 k0 且k2 25=-2kk=-5.9.D作內(nèi)積:a ab

17、 b=3k=3k2 25cos 4 10.B 設(shè) x x=(m,n),則由條件得 3mn 9m 2 ,故 x x=(2,-3). m2n 4n 3 11.由已知條件得:a ab b=1,故原式=(a ab b)2(a ab b)2(412)(412) 21. 12.由條件得:c ca a=31cos60= 3 ,c cb b=32cos60=3. 2 32 1 c c= , . 5 5 5 原式=a a2+4b b2+c c2+2a ac c+4a ab b-4b bc c=1+16+9+3-12=17. 13.c c=(1-k,1-2k),由 c ca a=0 得 1(1-k)+2(1-2k

18、)=0 得 k= 14.由條件 a a=(-1,-1),b b=(-1,0)|a a|=2,|b b|=1,由 a ab b=2cos得:(-1(-1)+(-1)0=2cos cos= 2 =45. 2 15.AB=AD-BD,BC=BD-CD,CA=CD-AD, 原式=(AD-BD)CD+(BD-CD)AD+(CD-AD)BD =ADCD-BDCD+ADBD-ADCD+BDCD-ADBD=0. 16.設(shè)OC=(x,y),由OCOB得:-x+2y=0,又BC=OC-OB=(x+1,y-2),而BCOA3(y-2)-(x+1)=0 解關(guān) 于 x,y 的方程組得 x=14,y=7. OC=(14,

19、7)OD=OC-OA=(11,6). 17.a a、b b 是兩單位向量,|a a|=|b b|=1,且 a a,b b 夾角為 120. a ab b=|a a|b b|cos120=- 1 , 2 |c c|2=c cc c=(2a a-b b)(2a a-b b)=4a aa a-4a ab b+b bb b=4|a a|2-4a ab b+|b b|2=7, |c c|=7. |d d|2=d dd d=(3b b-a a)(3b b-a a)=9b bb b-6a ab b+a aa a=13, |d d|=13. c cd d=(2a a-b b)(3b b-a a)=6a ab

20、b-3b bb b-2a aa a+a ab b=- cos=- 17 9117 (為 c c、d d 夾角). 182 2 7 13 17 , 2 =-arccos 17 91 . 182 2 3 1 2,|b b|= 22 2 18.|a a|=3(1)21, 3 a ab b=3 1 1 0,故 a ab b, 22 x xy y=0,a a+(t2-3)b b -ka a+tb b=0 t33t 化簡得:k=. 4 2 7 k t 1 (t24t 3) 1 (t 2)2 7 -. 44444 7k t2 當且僅當 t=-2 時,有最小值-. 4t 小練習三 一選擇題 1已知 A、B、C

21、 為三個不共線的點，P 為ABC 所在平面內(nèi)一點，若PA 的位置關(guān)系是（） A、點 P 在ABC 內(nèi)部B、點 P 在ABC 外部 C、點 P 在直線 AB 上D、點 P 在 AC 邊上 2已知三點 A（1，2） ，B（4，1） ，C（0，-1）則ABC 的形狀為（） A、正三角形B、鈍角三角形C、等腰直角三角形D、等腰銳角三角形 3當兩人提起重量為|G|的旅行包時，夾角為，兩人用力都為|F|，若|F|=|G|，則的值為（ ） A、300B、600C、900D、1200 二、填空題 5一艘船以5km/h 的速度向垂直于對岸方向行駛，船的實際航行方向與水流方向成300角，則水流速度為 km/h。

22、6兩個粒子 a，b 從同一粒子源發(fā)射出來，在某一時刻，以粒子源為原點，它們的位移分別為Sa=（3，-4） ，Sb=（4， PB PC AB ，則點 P 與ABC 3） ， （1）此時粒子 b 相對于粒子 a 的位移； （2）求 S 在 Sa方向上的投影。 三、解答題 uuu ruuu r 7如圖，點 P 是線段 AB 上的一點，且 APPB=mn，點 O 是直線 AB 外一點，設(shè)OA a a ，OB b b ，試用 uuu r m,n,a a,b b的運算式表示向量OP A A a a O O P P b b B B 高三數(shù)學平面向量綜合練習題 一、選擇題 1、設(shè)平面向量a=(2，1)，b=(

23、， 1)，若a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是 1 ,2)(2,) B、(2，+) 2 11 C、(，+)D、(，) 22 A、( 2、設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則下列為a與b共線的充要條件的有 存在一個實數(shù)，使a=b或b=a；|ab|=|a|b|； x1y1 ；(a+b)/(ab) x2y 2 A、1 個B、2 個C、3 個D、4 個 3、若函數(shù) y=2sin(x+)的圖象按向量( A、 6 ，2)平移后，它的一條對稱軸是 x= 4 ，則的一個可能的值是 5 B、C、D、 121236 AB AC BA BC，則ABC 必約 4、ABC 中，若 A、直角三角形B、鈍角三角形

24、C、銳角三角形D、等腰三角形 5、已知ABC 的三個頂點 A、B、C 及所在平面內(nèi)一點 P 滿足PA 系是 A、P 在ABC 內(nèi)部B、P 在ABC 外部 C、P 在直線 AB 上D、P 在ABC 的 AC 邊的一個三等分點上 PB PC AB，則點P 與ABC 的關(guān) uuu rruuu vv 6、在邊長為 1 的正三角形 ABC 中，BC a， AB c ，CA b，則ab bc ca= A、1.5B、1.5C、0.5D、0.5 二、填空題 1、已知a=(cos，sin)，b=( 3，1)，則|2ab|的最大值為_ x2 2、已知 P(x，y)是橢圓 y21上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩焦點，若F1PF2為鈍角，則 x 的取值范圍為 4 _ 3、設(shè)m=(a,b)，n=(c,d)，規(guī)定兩向量 m, n 之間的一個運算“ ”為m 2)，p q =(4，3)，則q=_ 4、將圓 x2+y2=2 按a=(2，1)平移后，與直線 x+y+=0 相切，則實數(shù)的值