1、7.6 數(shù)學(xué)歸納法,2,3,知識梳理,雙擊自測,數(shù)學(xué)歸納法 一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行: (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(kn0,kN*)時命題成立,證明當(dāng)n= 時命題也成立. 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.,k+1,4,知識梳理,雙擊自測,2,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,第一步是驗證當(dāng)n=1時結(jié)論成立. ( ) (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明. ( )

2、(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,歸納假設(shè)可以不用.( ) (4)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時,由n=k到n=k+1時,項數(shù)都增加了一項. ( ),5,知識梳理,雙擊自測,2,3,4,1,5,6,知識梳理,雙擊自測,2,3,4,1,5,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+22+2n-1=2n-1(nN*)的過程中,第二步假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時等式成立,則當(dāng)n=k+1時應(yīng)得到( ),D,解析:由條件知,等式的左邊從20,21,一直到2n-1都是連續(xù)的,則當(dāng)n=k+1時,等式為1+2+22+2k-1+2k=2k-1+2k.,7,知識梳理,雙擊自測,2,3,4,1,5,C,8,知識梳理,雙擊自測,

3、2,3,4,1,5,9,知識梳理,雙擊自測,2,3,1,4,5,5.(2015河北唐山一中調(diào)研)用數(shù)學(xué)歸納法證明: (n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*)時,從“n=k到n=k+1”時,左邊應(yīng)增添的代數(shù)式為 .,2(2k+1),解析:當(dāng)n=k+1時左邊應(yīng)為 (k+1)+1(k+1)+2(k+1)+k-1(k+1)+k(k+1)+(k+1) =(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2), 即從“n=k到n=k+1”時,左邊應(yīng)添乘的式子是,10,考點一,考點二,考點三,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 求證:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(nN*).

4、,證明:(1)當(dāng)n=1時,等式左邊=2,右邊=2,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時等式成立, 即(k+1)(k+2)(k+k)=2k135(2k-1), 那么,當(dāng)n=k+1時, 左邊=(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k+1) =(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2) =2k135(2k-1)(2k+1)2 = (2k-1)(2k+1), 即當(dāng)n=k+1時等式也成立. 根據(jù)(1)和(2),可知等式對所有nN*都成立.,11,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題,要弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項,初始值n0是多少. 2.由當(dāng)n=k

5、時等式成立,推出當(dāng)n=k+1時等式成立.一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫出證明過程. 3.變形常用的方法:(1)因式分解;(2)添拆項;(3)配方法.,12,考點一,考點二,考點三,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 例題(2015陜西高考)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1,x,x2,xn的各項和,其中x0,nN,n2. (2)設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列,其各項和為gn(x),比較fn(x)和gn(x)的大小,并加以證明.,13,考點一,考點二,考點三,14,考點一,考點二,考點三,15,考點一,考點二,考點三,16,考點一,

6、考點二,考點三,17,考點一,考點二,考點三,18,考點一,考點二,考點三,所以mk(x)mk(1)=0. 所以當(dāng)m0且m1時,akbk(2kn), 又a1=b1,an+1=bn+1,故fn(x)gn(x). 綜上所述,當(dāng)x=1時,fn(x)=gn(x); 當(dāng)x1時,fn(x)23-1. 由此猜想:an2n-1.,26,考點一,考點二,考點三,27,數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題,證明過程的表述嚴(yán)格而且規(guī)范,兩個步驟缺一不可.第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),第二步中,歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用,當(dāng)n=k+1時一定要運用它,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”. 滿分策略 應(yīng)用數(shù)學(xué)