1、第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和,知識點一 等差數(shù)列的有關(guān)概念,1.等差數(shù)列的定義,如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與它的前一項的差等于 ，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義的表達(dá)式為 .,2,同一個常數(shù),an1and,3.通項公式,a1(n1)d，nN*,A,三個定義,等差數(shù)列的定義；等差中項的定義；等差數(shù)列的通項公式. (1)在數(shù)列an中，a11，an1an3，則該數(shù)列的通項公式為an_.,解析 an為等差數(shù)列，a11，公差dan1an3.通項公式ana1(n1)d3n2.,答案 3n2,(2)若m是1，5的等差中項，則logm9_.,解析 152m，

2、m3，logm9log392. 答案 2,知識點二 等差數(shù)列的前 項和及性質(zhì),1.等差數(shù)列的前n項和,2.等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列an是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，則 (1)若mnpq，則 ， 特別地，若mn2p，則aman2ap； (2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差數(shù)列，公差為 ； (3)數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列.,amanapaq,kd,(3)等差數(shù)列an的通項公式為an2n1，則前n項和公式為Sn_.,答案 n22n,一個關(guān)系：等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.,(4)當(dāng)公差不為0時，等差數(shù)列通項公式是一次函數(shù)，前n項和公式是不含常數(shù)項的二次函數(shù)，反之亦成立數(shù)列an

3、對應(yīng)的點(n，an)在函數(shù)y2x9的圖象上，則an的前_項和最小.,解析 an2n9，數(shù)列an是等差數(shù)列，由2n90得n4.5，即數(shù)列an的前4項的和最小.,答案 4,突破等差數(shù)列基本量運(yùn)算的方法,(1)利用公式求解 等差數(shù)列可以由首項a1和公差d確定，所有關(guān)于等差數(shù)列的計算和證明，都可圍繞a1和d進(jìn)行. 如果給出兩個條件，就可以通過列方程(組)求出a1，d.如果再給出第三個條件，就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”問題. (2)利用性質(zhì)求解，運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)，可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件，如mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)，只有當(dāng)序號之和相

4、等、項數(shù)相同時才成立.,【例1】 (1)(2016江西重點中學(xué)十校聯(lián)考)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a42，S1010，則a7的值為( ),A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2016黑龍江哈六中模擬)已知等差數(shù)列an中，a26，a515，若bna2n，則數(shù)列bn的前5項和等于( ) A.30 B.45 C.90 D.186,答案 (1)A (2)C,點評 利用等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式列方程組解a1和d，是解決等差數(shù)列問題的常用方法.,等差數(shù)列的判定與證明解題方略,(1)證明一個數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種： 利用等差數(shù)列的定義證明，即證明an1and(nN*)； 利用

5、等差中項證明，即證明an2an2an1(nN*). (2)解選擇題、填空題時，可用通項公式或前n項和公式直接判斷： 通項法：若數(shù)列an的通項公式為n的一次函數(shù)，即anAnB，則an是等差數(shù)列； 前n項和法：若數(shù)列an的前n項和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常數(shù))，則an為等差數(shù)列.,點評 解決an與Sn的關(guān)系式時，有兩種途徑：一是將an化為Sn，即anSnSn1，二是將Sn化為an，根據(jù)題目的形式靈活應(yīng)用.,等差數(shù)列前n項和的最值求解策略,求等差數(shù)列前n項和的最值問題的方法：,【例3】 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米.開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為_米.,解析,答案 2 000 點評 每兩個樹坑間的距離都是10米，表示出每個樹坑與第i個樹坑間的距離，得出等差數(shù)列，然后求和，根據(jù)i的取值求出最小值.,方程思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用,【示例】 已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a58，S36.,(1)求數(shù)列an的通項公式； (2)若數(shù)列an的前k項和S72，求k的值.