1、1,第2.5節(jié) 初等變換與初等矩陣,線性代數(shù),2,一、矩陣的初等變換,二、初等矩陣,三、用初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣,主要內(nèi)容:,3,一 、矩陣的初等變換,線性方程組的一般形式,什么是初等變換?,4,用矩陣形式表示此線性方程組：,令,則，線性方程組可表示為,5,如何解線性方程組？,可以用消元法求解。,始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換：,（1）交換方程次序；,（2）以不等于的數(shù)乘某個方程；,（3）一個方程加上另一個方程的k倍,由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換,6,若記,則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為 對矩陣B（方程組的增廣矩

2、陣）的變換,因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算,基本思想:,對線性方程組的增廣矩陣進行初等變換,簡化,未知量的系數(shù),把其變形為與原方程同解且易直接求解的階梯形方程組,初等行變換化為階梯形,同解方程組,即:,初等行變換:,化為行階 梯形矩陣,則以矩陣（3）為增廣矩陣的方程組與原方程組同解。,化為行最 簡形矩陣,由矩陣（3）可討論原方程組的解的情況,1) 若 ，則方程組無解。,特別地，原方程組的導出組，即對應的齊次線性方程組 一定有解。,11,即，求解線性方程組實質(zhì)上是對增廣矩陣施行 3種初等運算：,(1) 對調(diào)矩陣的兩行。,(2) 用非零常數(shù)k乘矩陣的某

3、一行的所有元素。,將矩陣的某一行所有元素乘以非零常數(shù)k后 加到另一行對應元素上。,12,定義1：,下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:,同理可定義矩陣的初等列變換 (把“r”換成“c”),13,矩陣的初等變換,通常稱 (1) 對換變換 (2) 倍乘變換 (3) 倍加變換,初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同,逆變換,逆變換,逆變換,14,等價關(guān)系的性質(zhì)：,具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價,例如，兩個線性方程組同解，,就稱這兩個線性方程組等價,定義2：,15,用矩陣的初等行變換解方程組（1）：,16,17,18,19,特點：,（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；,（2）、每個臺階 只

4、有一行，,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元非零行的首非零元逐行增加.,20,注意：行簡化矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的,21,例如，,22,特點：,所有與矩陣 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形 是這個等價類中最簡單的矩陣.,23,注：,1、任何一個矩陣經(jīng)過有限次初等變換總可以化為標準型；,2、 階可逆方陣化為標準型矩陣必為 階單位陣；,24,定義3：由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的方 陣稱為初等矩陣.,三種初等變換對應著三種初等方陣.,矩陣初等變換是矩陣的一種基本運算，應用廣泛.,二、初等

5、矩陣,25,(1) 對調(diào)兩行或兩列，得初等對換矩陣。,26,27,28,初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。,29,初等變換,初等矩陣,初等逆變換,初等逆矩陣,例1：計算,30,定理：,證明：,具體驗證即可,32,另兩種情形同理可證,33,一般記法：,34,例2： (1) 設初等矩陣,35,解：,36,37,解：,38,三、 用初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣,可逆矩陣可以經(jīng)過若干次初等行變換化為單位矩陣.,定理：,可逆矩陣可以表示為若干個初等矩陣的乘積,推論1：,39,等號兩邊右乘,推論2：,如果對可逆矩陣 和同階單位矩陣 作同樣的初等,行變換，那么當 變成單位矩陣 時， 就變成 。,即，,40,解：,例3：,41,42,練習 ：用初等行變換求可逆矩陣A的逆矩陣,43,44,若作初等行變換時,出現(xiàn)全行為0，則矩陣的行列式 等于0。結(jié)論：矩陣不可逆!,求逆時,若用初等行變換必須堅持始 終,不能夾雜 任何列變換.,注：,即,初等行變換,另：利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求矩陣,45,例4：,解：,方法1：先求出 ，再計算 。,方法2：直接求 。,46,47,又，,48,解:,例5:,49,50,例6：將矩陣A表示成三個初等矩陣的乘積。,解：,52,2. 利用初等變換求逆陣的步驟是:,小結(jié)：,53,要求掌握內(nèi)容:,(1)掌握三種初等變換及與之對應的三種初等矩陣. 做到給出變