1、第12章 應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論,121應(yīng)力狀態(tài)概述,一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),前面研究了桿件在軸向拉伸(壓縮)、扭轉(zhuǎn)和彎曲時(shí)的強(qiáng)度問題。這些桿件的危險(xiǎn)點(diǎn)（發(fā)生最大應(yīng)力的點(diǎn))或處于單向受力狀態(tài)，或處于純剪切狀態(tài)，相應(yīng)的強(qiáng)度條件為,例：,一個(gè)點(diǎn)的所有截面上的應(yīng)力情況的集合，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),二、應(yīng)力狀態(tài)單元體,研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，常常圍繞該點(diǎn)從受力構(gòu)件中截取任意的微小正六面體，這個(gè)微小正六面體稱為單元體。 單元體的兩個(gè)平行截面上的正應(yīng)力數(shù)值相等，符號(hào)相同；單元體的兩個(gè)正交截面上的剪應(yīng)力數(shù)值相等，符號(hào)相反。,三、應(yīng)力狀態(tài)的分類,單向應(yīng)力狀態(tài):只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零的應(yīng)力狀態(tài) 二向應(yīng)力狀態(tài):兩個(gè)主應(yīng)力

2、不等于零的應(yīng)力狀態(tài) 三向（空間）應(yīng)力狀態(tài):三個(gè)主應(yīng)力均不等于零的應(yīng)力狀態(tài),剪應(yīng)力為零的平面稱為主平面。主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，用s1、s2、s3 表示 ，并按代數(shù)值排列，即 s1 s2 s3, 在各個(gè)面上只有主應(yīng)力（單元體的三組正交平面都是主平面）的單元體稱為主單元體。,122 二向應(yīng)力狀態(tài)分析,一、用解析法研究二向應(yīng)力狀態(tài),b,a,圖a 所示的是一個(gè)平面應(yīng)力狀態(tài)單元體，又可以圖b來(lái)表示?，F(xiàn)在來(lái)討論該單元體在各個(gè)方位的變化。,1、任意斜截面上的應(yīng)力,N =0, dA+x dAcossin-xdAcoscos +y dAsincos-y dAsinsin=0,T=0, dA-x dAcosc

3、os-xdAcossin +y dAsin sin+y dAsin cos =0,任意斜截面上應(yīng)力的一般公式,式(1)和(2)就是任意斜截面上的應(yīng)力計(jì)算式。由式(1)又可得：,式(3)表明互相垂直截面上的正應(yīng)力之和是常數(shù)，與截面位置無(wú)關(guān)。,2. 主應(yīng)力與主平面,由式(1)，令 ，可得：,以 表示正應(yīng)力取得極值的方位，則有：,正應(yīng)力 隨 角度變化而變化，其極值等于多少？又在什么方位呢？,式 (a) 表示正應(yīng)力為極值的截面，也就是剪應(yīng)力 的截面。這個(gè)截面就是主平面，極值應(yīng)力就是主應(yīng)力。由式 (a) 可得到主應(yīng)力的方位：,主應(yīng)力單元體見右圖,同樣最大正應(yīng)力與最小正應(yīng)力之和應(yīng)滿足式(3)，即,以 表示

4、剪應(yīng)力取得極值的方位，上式可化為：,3. 極值剪應(yīng)力及其方位,剪應(yīng)力 也隨角度變化而變化，同理，由式(2)，令,，得：,比較式(5)和式(7)可得,比較式(4)和式(6)得：,極值剪應(yīng)力又稱主剪應(yīng)力。此時(shí)主剪應(yīng)力所在平面上有正應(yīng)力存在，其值為：,例1 已知平面應(yīng)力狀態(tài)如圖示。試用數(shù)解法求：, 斜面上的應(yīng)力并表示于圖中（斜面法線與 x 軸成30度）；, 主應(yīng)力大小及方位，并繪主應(yīng)力單元體；, 最大剪應(yīng)力大小及方位，并繪主剪應(yīng)力單元體。,例1圖,解（一）斜面上的應(yīng)力,將 代入式(1)和式(2)可得：,（拉應(yīng)力）,（逆時(shí)針）,將 表示于圖中。,（二）主應(yīng)力大小及方位,一個(gè)主平面的方位角為 ，另一主平

5、面的方位角為 ，將兩個(gè)方位角分別代入式(1)可得兩個(gè)面上的主應(yīng)力。,也可由式(10-5)求出主應(yīng)力,應(yīng)當(dāng)指出，由于平面應(yīng)力狀態(tài)單元體前后兩平面是零應(yīng)力平面，主應(yīng)力為零，因此，它也是主平面，按三個(gè)主應(yīng)力排列次序，應(yīng)為：,（三）主剪應(yīng)力大小及方位,將 代入式(10-2)可得： 為 所在方位， 則為 所在方位。,繪主剪應(yīng)力單元體圖于主應(yīng)力單元體圖中。,主應(yīng)力單元體圖 主剪應(yīng)力單元體圖,123 三向應(yīng)力狀態(tài),tmax的作用面與1和3作用平面夾角均為45。,例題：簡(jiǎn)支梁受力如圖。試定性地從梁中點(diǎn)5,4,3,2,1處取出應(yīng)力單元體，并繪應(yīng)力單元體圖。,124 廣義虎克定律,a)廣義虎克定律的一般形式,平面

6、應(yīng)力狀態(tài)時(shí)（設(shè) ）,b)主應(yīng)力表示的虎克定律,二向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)（設(shè) ），上式為；,式中 ，為主應(yīng)變。,體積應(yīng)變：,例題： 1、由I18號(hào)工字鋼制成的簡(jiǎn)支梁，其彈性模量E=200GPa，泊松比=0.3。已知P=15kN，試求腹板上A點(diǎn)處沿0，45，90方向的線應(yīng)變0，45，90，及該點(diǎn)處的主應(yīng)變。,一、強(qiáng)度理論的概念及材料的兩種破壞形式,125 強(qiáng)度理論,前式適用于單向應(yīng)力狀態(tài)，式左邊的工作應(yīng)力 常為拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力或梁彎曲時(shí)最大彎矩橫截面邊緣處的正應(yīng)力。后者適用于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，式左邊的工作應(yīng)力 常為圓軸受扭最大扭矩橫截面邊緣處的剪應(yīng)力或梁最大剪力橫截面中性軸處的彎曲剪應(yīng)力。式中的許用

7、正應(yīng)力 和許用剪應(yīng)力 是由軸向拉（壓）試驗(yàn)和純剪切試驗(yàn)所測(cè)得的極限應(yīng)力除以安全系數(shù)而得。這兩類強(qiáng)度條件是能夠直接通過試驗(yàn)來(lái)建立。,然而，在工程實(shí)際中許多構(gòu)件的危險(xiǎn)點(diǎn)是處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，其應(yīng)力組合的方式有各種可能性。如采用拉（壓）時(shí)用的試驗(yàn)方法來(lái)建立強(qiáng)度條件，就得對(duì)材料在各種應(yīng)力狀態(tài)下一一進(jìn)行試驗(yàn)，以確定相應(yīng)的極限應(yīng)力，這顯然是難以實(shí)現(xiàn)的。,強(qiáng)度理論就是根據(jù)對(duì)材料破壞現(xiàn)象的分析，采用判斷推理的方法，提出一些假說(shuō)，從而建立相應(yīng)的條件。,二、四種常用的強(qiáng)度理論,（一）關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論,實(shí)踐證明，該理論適合脆性材料在單向、二向或三向受拉的情況。此理論不足之處是沒有考慮其它二個(gè)主應(yīng)力對(duì)材料破壞的

8、影響，而且對(duì)沒有拉應(yīng)力的狀態(tài)也無(wú)法應(yīng)用。,2第二強(qiáng)度理論（最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論）,這一理論認(rèn)為最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變是引起材料脆性斷裂破壞的主要因素，即材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變1達(dá)到單向拉伸斷裂時(shí)的最大伸長(zhǎng)應(yīng)變極值時(shí)，材料就發(fā)生斷裂破壞。建立的強(qiáng)度條件為：,（二）關(guān)于塑性流動(dòng)的強(qiáng)度理論,1第三強(qiáng)度理論（最大剪應(yīng)力理論）,這一理論認(rèn)為最大剪應(yīng)力是引起材料塑性流動(dòng)破壞的主要因素，即不論材料處于簡(jiǎn)單還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，只要構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處的最大剪應(yīng)力達(dá)到材料在單向拉伸屈服時(shí)的極限剪應(yīng)力就會(huì)發(fā)生塑性流動(dòng)破壞。建立的強(qiáng)度條件為：,這一理論能較好的解釋塑性材料出現(xiàn)的塑性流動(dòng)現(xiàn)象。在工程中被廣泛使用。但此理論

9、忽略了 的影響，且對(duì)三向均勻受拉時(shí)，塑性材料也會(huì)發(fā)生脆性斷裂破壞的事實(shí)無(wú)法解釋。,2第四強(qiáng)度理論（形狀改變比能理論）,這一理論認(rèn)為形狀改變比能是引起材料塑性流動(dòng)破壞的主要因素，即不論材料處于簡(jiǎn)單還是復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。只要構(gòu)件危險(xiǎn)點(diǎn)處的形狀改變比能，達(dá)到材料在單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變比能，就會(huì)發(fā)生塑性流動(dòng)破壞。建立的強(qiáng)度條件為：,這一理論較全面地考慮了各個(gè)主應(yīng)力對(duì)強(qiáng)度的影響。試驗(yàn)結(jié)果也與該理論的計(jì)算結(jié)果基本相符，它比第三強(qiáng)度理論更接近實(shí)際情況。,（三）強(qiáng)度理論的選用,1相當(dāng)應(yīng)力,四個(gè)強(qiáng)度理論可用如下統(tǒng)一的形式表達(dá)：,式（11-5）中的 稱為相當(dāng)應(yīng)力。四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為：,2強(qiáng)度理論的選用,

10、對(duì)于強(qiáng)度理論的選用，須視材料，應(yīng)力狀態(tài)而異，一般說(shuō)，脆性材料（如鑄鐵、石料、混凝土等）在通常情況下以斷裂的形式破壞，所以宜采用第一和第二強(qiáng)度理論。塑性材料（如低碳鋼、銅、鋁等）在通常情況下以流動(dòng)的形式破壞，所以宜采用第三和第四強(qiáng)度理論。,必須指出，即使是同一材料，在不同的應(yīng)力狀態(tài)下也可以有不同的破壞形式。如鑄鐵在單向受拉時(shí)以斷裂的形式破壞。而在三向受壓的應(yīng)力狀態(tài)下，脆性材料也會(huì)發(fā)生塑性流動(dòng)破壞。又如低碳鋼這類塑性材料，在三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下會(huì)發(fā)生脆性斷裂破壞。,將主應(yīng)力代入第三、第四強(qiáng)度理論公式中可得：,例1No20a工字鋼梁受力如圖，已知材料的許用應(yīng)力,，校核其強(qiáng)度。,例1圖,解：（一）畫梁的剪