1、2015年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的1（5分）設(shè)集合M=x|1x2，集合N=x|1x3，則MN=（）Ax|1x3Bx|1x2Cx|1x3Dx|1x22（5分）設(shè)向量=（2，4）與向量=（x，6）共線，則實數(shù)x=（）A2B3C4D63（5分）某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是（）A抽簽法B系統(tǒng)抽樣法C分層抽樣法D隨機數(shù)法4（5分）設(shè)a，b為正實數(shù)，則“ab1”是“l(fā)og2alog2b0”

2、的（）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件5（5分）下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（）Ay=cos（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx6（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為（）ABCD7（5分）過雙曲線x2=1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A、B兩點，則|AB|=（）AB2C6D48（5分）某食品保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b （e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）若該食品在0的保鮮時間是192小時，在22的保鮮時間是

3、48小時，則該食品在33的保鮮時間是（）A16小時B20小時C24小時D28小時9（5分）設(shè)實數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為（）ABC12D1610（5分）設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點，與圓（x5）2+y2=r2（r0）相切于點M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11（5分）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i=12（5分）lg0.01+log216的值是13（5分）已知sin+2cos=0，則2sincoscos2的值是14（5分）在三棱住ABCA1B1C1中，

4、BAC=90，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點，則三棱錐PA1MN的體積是15（5分）已知函數(shù)f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中aR）對于不相等的實數(shù)x1、x2，設(shè)m=，n=現(xiàn)有如下命題：對于任意不相等的實數(shù)x1、x2，都有m0；對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1、x2，都有n0；對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x1、x2，使得m=n；對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x1、x2，使得m=n其中的真命題有（寫出所有真命題的序號）三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16

5、（12分）設(shè)數(shù)列an（n=1，2，3）的前n項和Sn，滿足Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列（）求數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，求Tn17（12分）一輛小客車上有5名座位，其座號為1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1，2，3，4，5他們按照座位號順序先后上車，乘客P1因身體原因沒有坐自己1號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位（）若乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法下表給出其中兩種坐法，請?zhí)钊胗?/p>

6、下兩種坐法（將乘客就坐的座位號填入表中空格處）乘客P1P2P3P4P5座位號3214532451（）若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，求乘客P5坐到5號座位的概率18（12分）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示（）請按字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點處（不需要說明理由）（）判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系并說明你的結(jié)論（）證明：直線DF平面BEG19（12分）已知A、B、C為ABC的內(nèi)角，tanA，tanB是關(guān)于方程x2+pxp+1=0（pR）兩個實根（）求C的大?。ǎ┤鬉B=3，AC=，求p的值20（13分）如圖，橢圓E：=1（ab0）的離心率是，點

7、P（0，1）在短軸CD上，且=1（）求橢圓E的方程；（）設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點是否存在常數(shù)，使得+為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由21（14分）已知函數(shù)f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中a0（）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性；（）證明：存在a（0，1），使得f（x）0恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+）內(nèi)有唯一解2015年四川省高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的1（5分）（2015四川）設(shè)集合M=x|1x2，集合N=x|

8、1x3，則MN=（）Ax|1x3Bx|1x2Cx|1x3Dx|1x2【分析】根據(jù)并集的定義解答即可【解答】解：根據(jù)并集的定義知：MN=x|1x3，故選：A2（5分）（2015四川）設(shè)向量=（2，4）與向量=（x，6）共線，則實數(shù)x=（）A2B3C4D6【分析】利用向量共線的充要條件得到坐標(biāo)的關(guān)系求出x【解答】解；因為向量=（2，4）與向量=（x，6）共線，所以4x=26，解得x=3；故選：B3（5分）（2015四川）某學(xué)校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，則最合理的抽樣方法是（）A抽簽法B系統(tǒng)抽樣法C分層抽樣

9、法D隨機數(shù)法【分析】若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進行抽樣【解答】解：我們常用的抽樣方法有：簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，而事先已經(jīng)了解到三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異，這種方式具有代表性，比較合理故選：C4（5分）（2015四川）設(shè)a，b為正實數(shù)，則“ab1”是“l(fā)og2alog2b0”的（）A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件【分析】先求出log2alog2b0的充要條件，再和ab1比較，從而求出答案【解答】解：若log2alog2b0，則ab1，故“ab1”是“l(fā)og2alog2b0”的充要條件，故選

10、：A5（5分）（2015四川）下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（）Ay=cos（2x+）By=sin（2x+）Cy=sin2x+cos2xDy=sinx+cosx【分析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可【解答】解：y=cos（2x+）=sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：，滿足題意，所以A正確y=sin（2x+）=cos2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：，不滿足題意，所以B不正確；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為，所以C不正確；y=sinx+cosx=sin（x+），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2，所以D不正確；故選：A6（5分）（2

11、015四川）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為（）ABCD【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的k的值，當(dāng)k=5時滿足條件k4，計算并輸出S的值為【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k=1k=2不滿足條件k4，k=3不滿足條件k4，k=4不滿足條件k4，k=5滿足條件k4，S=sin=，輸出S的值為故選：D7（5分）（2015四川）過雙曲線x2=1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A、B兩點，則|AB|=（）AB2C6D4【分析】求出雙曲線的漸近線方程，求出AB的方程，得到AB坐標(biāo)，即可求解|AB|【解答】解：雙曲線x2=1的右焦點（2，0），漸近線方程為y=，過雙

12、曲線x2=1的右焦點且與x軸垂直的直線，x=2，可得yA=2，yB=2，|AB|=4故選：D8（5分）（2015四川）某食品保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b （e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）若該食品在0的保鮮時間是192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是（）A16小時B20小時C24小時D28小時【分析】由已知中保鮮時間與儲藏溫度是一種指數(shù)型關(guān)系，由已知構(gòu)造方程組求出ek，eb的值，運用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解e33k+b即可【解答】解：y=ekx+b （e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）當(dāng)x=0時，eb

13、=192，當(dāng)x=22時e22k+b=48，e22k=e11k=eb=192當(dāng)x=33時，e33k+b=（ek）33（eb）=（）3192=24故選：C9（5分）（2015四川）設(shè)實數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為（）ABC12D16【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用基本不等式進行求解即可【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖；由圖象知y102x，則xyx（102x）=2x（5x）2（）2=，當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=5時，取等號，經(jīng)檢驗（，5）在可行域內(nèi)，故xy的最大值為，故選：A10（5分）（2015四川）設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A、B兩點，與圓（x5）2+y2=r2（r0）相切于點

14、M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）【分析】先確定M的軌跡是直線x=3，代入拋物線方程可得y=2，所以交點與圓心（5，0）的距離為4，即可得出結(jié)論【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在時，設(shè)斜率為k，則y12=4x1，y22=4x2，則，相減，得（y1+y2）（y1y2）=4（x1x2），當(dāng)l的斜率存在時，利用點差法可得ky0=2，因為直線與圓相切，所以=，所以x0=3，即M的軌跡是直線x=3將x=3代入y2=4x，得y2=12，M在圓上，r2=，直線l恰有4條，y00，4r

15、216，故2r4時，直線l有2條；斜率不存在時，直線l有2條；所以直線l恰有4條，2r4，故選：D二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11（5分）（2015四川）設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i=2i【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運算法則求解即可【解答】解：復(fù)數(shù)i=i=i+i=2i故答案為：2i12（5分）（2015四川）lg0.01+log216的值是2【分析】直接利用對數(shù)的運算法則化簡求解即可【解答】解：lg0.01+log216=2+4=2故答案為：213（5分）（2015四川）已知sin+2cos=0，則2sincoscos2的值是1【分析】已知等式移項變形求出tan的值，原式利用同角三角

16、函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，將tan的值代入計算即可求出值【解答】解：sin+2cos=0，即sin=2cos，tan=2，則原式=1，故答案為：114（5分）（2015四川）在三棱住ABCA1B1C1中，BAC=90，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點，則三棱錐PA1MN的體積是【分析】判斷三視圖對應(yīng)的幾何體的形狀，畫出圖形，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解三棱錐PAMN的體積即可【解答】解：由三視圖可知，可知幾何體的圖形如圖：幾何體是底面為等腰直角三角形直角邊長為1，高為1的直三棱柱，底面積為，所求三棱錐的高為NP=1，

17、三棱錐底面積是三棱柱底面三角形的，所求三棱錐PA1MN的體積是：=故答案為：15（5分）（2015四川）已知函數(shù)f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中aR）對于不相等的實數(shù)x1、x2，設(shè)m=，n=現(xiàn)有如下命題：對于任意不相等的實數(shù)x1、x2，都有m0；對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1、x2，都有n0；對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x1、x2，使得m=n；對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x1、x2，使得m=n其中的真命題有（寫出所有真命題的序號）【分析】運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；由二次函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；通過函數(shù)h（x）=x2+ax2x，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷；通過函數(shù)h（x

18、）=x2+ax+2x，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可判斷【解答】解：對于，由于21，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在R上遞增，即有m0，則正確；對于，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得g（x）在（，）遞減，在（，+）遞增，則n0不恒成立，則錯誤；對于，由m=n，可得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2），即為g（x1）f（x1）=g（x2）f（x2），考查函數(shù)h（x）=x2+ax2x，h（x）=2x+a2xln2，當(dāng)a，h（x）小于0，h（x）單調(diào)遞減，則錯誤；對于，由m=n，可得f（x1）f（x2）=g（x1）g（x2），考查函數(shù)h（x）=x2+ax+2x，h（x）=2x+a+2xln2，對于任意的a，h

19、（x）不恒大于0或小于0，則正確故答案為：三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（12分）（2015四川）設(shè)數(shù)列an（n=1，2，3）的前n項和Sn，滿足Sn=2ana1，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列（）求數(shù)列an的通項公式；（）設(shè)數(shù)列的前n項和為Tn，求Tn【分析】（）由條件Sn滿足Sn=2ana1，求得數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比q=2；再根據(jù)a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，求得首項的值，可得數(shù)列an的通項公式（）由于=，利用等比數(shù)列的前n項和公式求得數(shù)列的前n項和Tn【解答】解：（）由已知Sn=2ana1，有an=SnSn1=2an2an1（n2

20、），即an=2an1（n2），從而a2=2a1，a3=2a2=4a1又因為a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，即a1+a3=2（a2+1）所以a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2所以，數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列故an=2n（）由（）得=，所以Tn=+=117（12分）（2015四川）一輛小客車上有5名座位，其座號為1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1，2，3，4，5他們按照座位號順序先后上車，乘客P1因身體原因沒有坐自己1號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座

21、位的剩余空位中選擇座位（）若乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)則就座，則此時共有4種坐法下表給出其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法（將乘客就坐的座位號填入表中空格處）乘客P1P2P3P4P5座位號32145324513241532541（）若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，求乘客P5坐到5號座位的概率【分析】（）根據(jù)題意，可以完成表格；（）列表，確定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5號座位的概率【解答】解：（）余下兩種坐法：乘客P1P2P3P4P5座位號32145324513241532541（）若乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)則就坐，則所有可能的坐法可用下表表示為 乘客

22、P1 P2 P3 P4 P5 座位號 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1于是，所有可能的坐法共8種，設(shè)“乘客P5坐到5號座位”為事件A，則事件A中的基本事件的個數(shù)為4，所以P（A）=答：乘客P5坐到5號座位的概率是18（12分）（2015四川）一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示（）請按字母F，G，H標(biāo)記在正方體相應(yīng)地頂點處（不需要說明理由）（）判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系并說明你的結(jié)論（）證明：直線DF平面BEG【分析】（）直接標(biāo)出點F，G，

23、H的位置（）先證BCHE為平行四邊形，可知BE平面ACH，同理可證BG平面ACH，即可證明平面BEG平面ACH（）連接FH，由DHEG，又DHEG，EGFH，可證EG平面BFHD，從而可證DFEG，同理DFBG，即可證明DF平面BEG【解答】解：（）點F，G，H的位置如圖所示（）平面BEG平面ACH，證明如下：ABCDEFGH為正方體，BCFG，BC=EH，又FGEH，F(xiàn)G=EH，BCEH，BC=EH，BCHE為平行四邊形BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBG=B，平面BEG平面ACH（）連接FH，ABCDEFGH為正方體，DHEG，又EG平

24、面EFGH，DHEG，又EGFH，EGFH=O，EG平面BFHD，又DF平面BFHD，DFEG，同理DFBG，又EGBG=G，DF平面BEG19（12分）（2015四川）已知A、B、C為ABC的內(nèi)角，tanA，tanB是關(guān)于方程x2+pxp+1=0（pR）兩個實根（）求C的大?。ǎ┤鬉B=3，AC=，求p的值【分析】（）由判別式=3p2+4p40，可得p2，或p，由韋達定理，有tanA+tanB=p，tanAtanB=1p，由兩角和的正切函數(shù)公式可求tanC=tan（A+B）=，結(jié)合C的范圍即可求C的值（）由正弦定理可求sinB=，解得B，A，由兩角和的正切函數(shù)公式可求tanA=tan75，從

25、而可求p=（tanA+tanB）的值【解答】解：（）由已知，方程x2+pxp+1=0的判別式：=（p）24（p+1）=3p2+4p40，所以p2，或p由韋達定理，有tanA+tanB=p，tanAtanB=1p所以，1tanAtanB=1（1p）=p0，從而tan（A+B）=所以tanC=tan（A+B）=，所以C=60（）由正弦定理，可得sinB=，解得B=45，或B=135（舍去）于是，A=180BC=75則tanA=tan75=tan（45+30）=2+所以p=（tanA+tanB）=（2+）=120（13分）（2015四川）如圖，橢圓E：=1（ab0）的離心率是，點P（0，1）在短軸C

26、D上，且=1（）求橢圓E的方程；（）設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點是否存在常數(shù)，使得+為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【分析】（）通過e=、=1，計算即得a=2、b=，進而可得結(jié)論；（）分情況對直線AB斜率的存在性進行討論：當(dāng)直線AB的斜率存在時，聯(lián)立直線AB與橢圓方程，利用韋達定理計算可得當(dāng)=1時+=3；當(dāng)直線AB的斜率不存在時，+=3【解答】解：（）根據(jù)題意，可得C（0，b），D（0，b），又P（0，1），且=1，解得a=2，b=，橢圓E的方程為：+=1；（）結(jié)論：存在常數(shù)=1，使得+為定值3理由如下：對直線AB斜率的存在性進行討論：當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx2=0，=（4k）2+8（1+2k2）0，x1+x2=，x1x2=，從而+=x1x2+y1y2+x1x2+（y11）（y21）=（1+）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=2當(dāng)=1時，2=3，此時+=3為定值；當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB即為直線CD，此時+=+=21=3；故存在常數(shù)=1，使得+為定值321（14分）（2015四川）已知函數(shù)f（x）=2xlnx+x22ax+a2，其中a0（）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論