1、經(jīng)典易錯題會診與2012屆高考試題預(yù)測(四)考點(diǎn)4 數(shù) 列 經(jīng)典易錯題會診 命題角度1 數(shù)列的概念 命題角度2 等差數(shù)列 命題角度3 等比數(shù)列 命題角度4 等差與等比數(shù)列的綜合 命題角度5 數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合 命題角度6 數(shù)列的應(yīng)用探究開放題預(yù)測 預(yù)測角度1 數(shù)列的概念 預(yù)測角度2 等差數(shù)列與等比數(shù)列 預(yù)測角度3 數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和 預(yù)測角度4 遞推數(shù)列與不等式的證明 預(yù)測角度5 有關(guān)數(shù)列的綜合性問題 預(yù)測角度6 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 預(yù)測角度7 數(shù)列與圖形經(jīng)典易錯題會診命題角度 1 數(shù)列的概念1(典型例題)已知數(shù)列an滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,

2、(n2)，則an的通項(xiàng)an=_. 考場錯解 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，兩式相減得an-an-1=(n-1)an-1，an=nan-1.由此類推： an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由疊乘法可得an= 專家把脈 在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)向前遞推一項(xiàng)時(shí)應(yīng)考慮n的范圍當(dāng)n=1時(shí)，a1=與已知a1=1，矛盾 對癥下藥 n2時(shí)，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 當(dāng)n3時(shí)，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2 -得 an-an-1=(n-1)an-1當(dāng)n3時(shí)，=n，an=n43a2=a2，a2=a1

3、=1當(dāng)n2時(shí)，an= . 當(dāng)n=1時(shí)，a1=1故an= 2(典型例題)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(對于所有n1)，且a4=54，則a1的數(shù)值是_.考場錯解Sn=,此數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)是a1，公比是3，由a4=a134-1，a1=2 專家把脈 此題不知數(shù)列an的類型，并不能套用等比數(shù)列的公式而答案一致是巧合對癥下藥a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54，解得a1=2 3.(典型例題)已知數(shù)列an滿足a1=1，an=3n-1+an-1(n2) (1)求a2，a3； (2)求通項(xiàng)an的表達(dá)式 考場錯解 (1)a1=1，a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知an=3

4、n-1+an-1，即an-an-1=3n-1 即an成等差數(shù)列，公差d=3n-1故an=1+(n-1)3n-1 專家把脈 (2)問中an-an-1=3n-1，3n-1不是常數(shù)，它是一個(gè)變量，故不符合等差數(shù)列的定義 對癥下藥 (1)a1=1，a2=4，a3=32+4=13(2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=. 4(典型例題)等差數(shù)列an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于 ( ) A.160 B180 C. 200 D220 考場錯解 由通項(xiàng)公式a

5、n=a1+(n+1)d.將a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和d.求a1、d，再利用等差數(shù)列求和，選C 專家把脈 此方法同樣可求得解但解法大繁，花費(fèi)時(shí)間多，計(jì)算量大故而出錯，應(yīng)運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)求解就簡易得多對癥下藥 B 由公式m+n=2Pam+an=2ap?(只適用等差數(shù)列)即可求解由a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24 由a18+a19+a20=78，可得：3a19=78 即 a2=-8，a19=26又S20=10(a2+a19)=180 2(典型例題)若an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a10，a2003+a20040，a2003a20040，則使前n項(xiàng)和Sn0成立的最大自然數(shù)n是

6、( ) A.4005 B4006 C.4007 D.4008 考場錯解 a2004+a20030，即2a1+2002d+2003d0，(a1+2002d)(a1+2003d)0即使na1+d0這樣很難求出a1，d.從而求出最大的自然數(shù) n.故而判斷a20030，a20040 專家把脈 此題運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)及圖象中應(yīng)注意a20030，a20040，a2003+a20040，a2003a20040，且an為等差數(shù)列 an表示首項(xiàng)為正數(shù)，公差為負(fù)數(shù)的單調(diào)遞減等差數(shù)列，且a2003是絕對值最小的正數(shù)，a2004是絕對值最大的負(fù)數(shù)(第一個(gè)負(fù)數(shù))，且|a2003|a2004|在等差數(shù)列an中，a2

7、003+a2004=a1+a40060，S4006=0 使Sn0成立的最大自然數(shù)n是4006 3(典型例題)設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn. ()若首項(xiàng)a1=，公差d=1，求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k; ()求所有的無窮等差數(shù)列an；使得對于一切正整數(shù)中k都有Sk2=(Sk)2成立 考場錯解 (1)當(dāng)a1=,d=1時(shí)，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4 k0故k=4 ()由對一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk)2成立 即k2a1+d=(ka1+)2即(a1-)k2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0對切正整數(shù)k恒成立 故 求得a1

8、=0或1，d=0 等差數(shù)列an=0,0,0,，或an=1，1，1， 專家把脈 ()中解法定對一切正整數(shù)k都成立而不是一切實(shí)數(shù)故而考慮取k的特值也均成立 對癥下藥 ()當(dāng)a1=,d=1時(shí)，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k0，所以k=4 ()設(shè)數(shù)列an的公差為d，則在Sk2=(Sk)2中分別取k=1,2,得由（1）得a1=0或a1=1. 當(dāng)a1=0時(shí)，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,則an=0,sn=0,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=0,d=6,則an=6(n-1),由S3=18，（S3）2=324,S9=216知S9(S3)

9、2，故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)a1=1時(shí),代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,則an=1,Sn=n,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=1,d=2,則an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,從而Sk2=(Sk)2成立.綜上,共有3個(gè)滿足條件的無窮等差數(shù)列:an：an=0,即0，0，0，；an:an=1,即1，1，1，；an:an=2n-1,即1，3，5，.4.(典型例題)已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù),且滿足:a0=1,an+1=an(4-an),nN.(1)證明anan+12,nN.(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.考場錯解 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）

10、1當(dāng)n=1時(shí)，a0=1,a1=a0（4-a0）=,a0a12,命題正確.2假設(shè)n=k時(shí)有ak-1ak2.則n=k+1時(shí)，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0. 4-ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak-1=ak(4-ak)=4-(ak-2)22.n=k+1時(shí)命題正確.由1、2知，對一切nN時(shí)有anan+12.(2)an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4.2(an+1-2)=-(an-2)2an+1-2=(an-2)2令bn=an-2,b

11、n=-()1+2+2n-1又b1=a1-2=-.bn=-()2n+2n-1.即an=2-()2n+2n-1.專家把脈 在（）問中求bn的通項(xiàng)時(shí)，運(yùn)用疊代法.最后到b0而不是b1.對癥下藥（）同上，方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n=1時(shí)，a0=1,a1=a0(4-a0)=,0a0a12;2假設(shè)n=k時(shí)有ak-1ak2成立，令f(x)= x(4-x),f(x)在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：f(ak-1)f(ak)f(2),即ak-1(4-ak-1)ak(4-ak) 2(4-2),也即當(dāng)x=k+1時(shí) akak+12成立，所以對一切nN,有akak+12(2)下面來求數(shù)列的通項(xiàng)：an+1=an(4

12、-an)=-(an-2)2+4,所以2（an+1-2）=-(an-2)2令bn=an-2,則bn=-=-(-)2=-()2=-（）1+2+2n-1b2n，又bn=-1,所以bn=-()2n-1,即an=2+bn=2-()2n-1專家會診1.要善于運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)：“若m+n=p+q,則am+an=ap+aq”；等差數(shù)列前n項(xiàng)和符合二次函數(shù)特征.借助二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合法解等差數(shù)列問題.2.會運(yùn)用一般與特殊的邏輯思維,利用滿足條件的特值求相關(guān)參數(shù)的值,學(xué)會分析問題和解決問題.考場思維訓(xùn)練1 在等差數(shù)列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為 ( )A.14

13、B.15 C.16 D.17答案： C分析：略。2 等差數(shù)列an中,若其前n項(xiàng)的和Sn=,前m項(xiàng)的和Sm=(mn,m,nN*),則 ( )A.Sm+n4 B.Sm+nC.Sm+n=4 D.-4Sm+n-2答案： B分析：略。3 數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,且a10=1,()求an的通項(xiàng)公式；答案：由已知a1+9d=1因?yàn)閍因?yàn)閐0,所以a9+a15=0,即a1+11d=0由解得()求S的最大值；答案：解an=6-得n12,所以，數(shù)列an前11，12和最大，()將Sn表示成關(guān)于an的函數(shù).答案：由a4在數(shù)列an中a1=,a2=,且log2(3a2-a1)log(3an+1-a

14、n),是公差為-1的等差數(shù)列，又2a2-a1,2a3-a2,，2an+1-an,是等比數(shù)列，公比為q，|q|1,這個(gè)等比數(shù)列的所有項(xiàng)之和等于.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;答案：設(shè)bn=log2(3an+1-an),因?yàn)?bn是等差數(shù)列，d=-1.b1=log2(3a2-a1)=log2即log2(3an+1-a)=-n,所以3an+1-an=2-n設(shè)cn=2an+1-an,cn是等比數(shù)列，公比為q,|q|1,c1=2a2-a1=2由 由,解得(2)計(jì)算(a1+a2+an).答案： lim(a1+a2+an) 5已知數(shù)列an是公差d0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求證：點(diǎn)P1(1,),P2

15、(2,),Pn(n,)在同一條直線l1上;1. 答案：因?yàn)榈炔顢?shù)列an的公差d0, 所以當(dāng)所以P2，P3，Pn都在過點(diǎn)P1(1,a)且斜率為常數(shù)的直線l1上.(2)過點(diǎn)Q1(1,a1),Q2(2,a2)作直線l1、l2,設(shè)l1與l2的夾角為，求證：tan答案：直線l2的方程為y-a1=d(x-),直線l2的斜率為d.tan=當(dāng)且僅當(dāng)命題角度 3 等比數(shù)列1(典型例題)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,aa+1=(n=1,2,3).證明:()數(shù)列是等比數(shù)列；()Sn+1=4an.考場錯解 ()已知a1=1,an+1=,a2=3S1=3,S2=4 a3=S2=24=8.S3=1+3+8=1

16、2.即.故是公比為2的等比數(shù)列.()由()知=4于是Sn+1=4(n+1)=4an.又a2=3.S2=a1+a2=4,因此對于任意正整數(shù)n1,都有Sn+1=4an.專家把脈 ()中利用有限項(xiàng)判斷數(shù)列類型是運(yùn)用不完全歸納法,應(yīng)給予證明. ()中運(yùn)用前推一項(xiàng)必須使 n2.對癥下藥 () an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得nSn+1=2(n+1)=Sn,所以=2故是以2為公比的等比數(shù)列.()由()知=4(n2).于是Sn+1=4(n+1)=4an(n2).又a2=3S1=3, 故S1=a1+a2=4.因此對于任意整數(shù)n1,都有Sn+1=4an.2.

17、(典型例題)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(an-1)(nN*).() 求a1,a2;()求證數(shù)列an是等比數(shù)列.考場錯解 ()S1=(a1-1),得a1=-,S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.()an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得,所以an是首項(xiàng)為-，公比為-的等比數(shù)列.專家把脈 在利用an=Sn-Sn-1公式時(shí),應(yīng)考慮n2時(shí)才能成立.對癥下藥 ()由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. ()當(dāng)n1時(shí),an=SnSn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以

18、an是首項(xiàng)為-,公比為-的等比數(shù)列.3.(典型例題)等比數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為16,中間兩個(gè)數(shù)之和為5,則該數(shù)列的公比q的取值為 ( )A. 或4 B. 或 C. 4或- D. 4或或或考場錯解 設(shè)這四個(gè)數(shù)為,aq,aq3.由題意得由得a=,代入得q=或q2=2.q2=或q2=4,故所求的公比為或4.故應(yīng)選A.專家把脈 上述解答設(shè)等比數(shù)列的公比為q2是不合理的.這相當(dāng)于增加了四個(gè)數(shù)同號這個(gè)條件,而題設(shè)中的四個(gè)數(shù)不一定同號.因此,產(chǎn)生了漏解現(xiàn)象.對癥下藥設(shè)這四個(gè)數(shù)為a,aq,aq2,aq3,則或-.因此,應(yīng)選D.4.(典型例題)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)a1=a,且an+1=()求a2,a3;()判斷數(shù)列bn

19、是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;()求(b1+b2+b3+bn).考場錯解 ()a2=a1+=a+,a3=a2=a;()bn+1=a2n+1-.()求(b1+b2+b3+bn)= =.專家把脈在求證bn是等比數(shù)列是時(shí)，式子中，an中n為偶數(shù)時(shí)， 是連續(xù)兩項(xiàng)，并不能得出.對癥下藥 ()a2=a1+=a+,a3=a2=a+;()a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),猜想:bn是公比為的等比數(shù)列.證明如下:因?yàn)閎n+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(nN*)所以bn是首項(xiàng)為a-,公比為的等比數(shù)列.()求(

20、b1+b2+b3+bn)= 專家會診1.證明等比數(shù)列時(shí)應(yīng)運(yùn)用定義證為非0常數(shù),而不能(此時(shí)n2).2.等比數(shù)列中q可以取負(fù)值.不能設(shè)公比為q2.3.會運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì),“若m+n=p+k,則aman=apak”.考場思維訓(xùn)練1 試在無窮等比數(shù)列, ,中找出一個(gè)無窮等比的子數(shù)列(由原數(shù)列中部分項(xiàng)按原來次序排列的數(shù)列),使它所有項(xiàng)的和為,則此子數(shù)列的通項(xiàng)公式為_.答案： an=分析：略。2 已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為8,Sn是其前n項(xiàng)的和,某同學(xué)經(jīng)計(jì)算得S2=20,S3=36,S4=65,后來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)了其中一個(gè)數(shù)算錯了，則該數(shù)為（ ）AS1 B. S2 C.S3 D.S4答案： C分析：略。3 已

21、知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q(q-1),用表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)到第m項(xiàng)共m-n+1項(xiàng)的和.()計(jì)算,并證明它們?nèi)猿傻缺葦?shù)列;答案： S13=a1(1+q+q2),S46=a1q3(1+q+q2)，S79=a1q6(1+q+q2),因?yàn)?)受上面()的啟發(fā),你能發(fā)現(xiàn)更一般的規(guī)律嗎?寫出你發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律,并證明.答案：一般地4 已知數(shù)列an中,a1=,an+1=an+()n+1(nN*),數(shù)列bn對任何 nN*都有bn=an+1- an.(1)求證bn為等比數(shù)列;答案： bn+1=an+2若bn=0,則an+1=b1=a2-(2)求bn的通項(xiàng)公式;(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,求.答案：

22、an+1又an+1=SN=3=Sn=2x5 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=2,前n項(xiàng)和為Sn,且對任意的正整數(shù)n,an都是3Sn-4與2-Sn-1的等差中項(xiàng)(n2).(1)求證:數(shù)列an是等比數(shù)列,并求通項(xiàng)an;答案：當(dāng)n2時(shí)，2an=3Sn-4+2又(2)證明(log2Sn+log2Sn+2)log2Sn+1;答案：由(3)若bn=-1,cn=log2()2,Tn、Rn分別為bn和cn的前n項(xiàng)和.問:是否存在正整數(shù)n,使得TnRn,若存在，請求出所有n的值，若不存在請說明理由.答案：當(dāng)n=1、2、3時(shí)，TnRn.即命題角度 4 等差與等比數(shù)列的綜合1.(典型例題)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=a2

23、-()n-1-b2-(n+1)()n-1(n=1,2,),其中a,b是非零常數(shù),則存在數(shù)列xn、yn使得（ ）A.an=xn+yn,其中xn為等差數(shù)列，yn為等比數(shù)列Ban=xn+yn,其中xn和yn都為等差數(shù)列Can=xnyn,其中xn為等差數(shù)列，yn為等比數(shù)列Dan=xnyn,其中xn和yn都為等比數(shù)列考場錯解a2-()n-1=xn，b2-(n-1)()n-1=yn,又xn,yn成等比數(shù)列，故選D.專家把脈應(yīng)從數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式入手，而不能從形式上主觀判斷.對癥下藥 C. a1=S1=3a an=Sn-Sn-1=a2+()n-1-b2-(n+1)()n+1-a2+()n-2+b

24、2-n()n-2=(bn-b-a)()n-1 ()n-1為等比數(shù)列,bn-a-b為等差數(shù)列.2.(典型例題)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a且公比q不等于1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.() 證明12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列; ()求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2.考場錯解 ()由a1,2a7,3a4 成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,4aq6=a+3aq3.從而可求q3=-,或q3=1.當(dāng)q3=-時(shí)，=，=q6=.故12S3，S6，S12-S6成等比數(shù)列.當(dāng)q3=1時(shí),=，=q6=1.故12S3,S6,S12-S6不成等比數(shù)列.專家把脈本題條件中

25、已規(guī)定q1.故應(yīng)將q=1時(shí)舍去.對癥下藥()證明:由a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.變形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以q3=-或q3=1(舍去)由=1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列. ()解法:Tn=a1+2a4+3a7+na3a-2=a+2aq3+3aq6+naq3(n-2),即Tn=a+2(-)a+3(-)2a+n(-)n-1a. (-)3a得:-Tn=-a+2(-)2a+3(-)3a+n(-)na -有：Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+(-)n-1a-n(-)na=-n(-)na=

26、a-(+n)(-)na.所以Tn=(-)na.3.(典型例題)如圖，OBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0）、（1，0）、（0，2），設(shè)P1為線段BC的中點(diǎn)，P2為線段CO的中點(diǎn)，P3為線段OP1的中點(diǎn)，對于每一個(gè)正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點(diǎn)，令Pn的坐標(biāo)為（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2.()求a1,a2,a3及an;()證明yn+4=1-,nN*,()若記bn=y4n+4-y4n,nN*,證明bn是等比數(shù)列.考場錯解（1）y1=y2=y4=1,y3=,y5=,可求得a1=a2=a3=2,由此類推可求得an=2()將yn+yn+1+yn+2=2同除以2，得yn+4=y

27、n+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-(y4n+4-y4n)=- bn.=-.故bn是等比數(shù)列.專家把脈第()問題運(yùn)用不完全歸納法求出an的通項(xiàng).理由不充分,第()問中=-.要考慮b1是否為0.即有意義才更完整.對癥下藥 ()因?yàn)閥1=y2=y4=1,y3= ,y5=,所以a1=a2=a3=2.又由題意可知yn+3=.an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,an為常數(shù)列.an=a1=2,nN*.()將等式y(tǒng)n+yn+1+yn+2=2兩邊除以2,得yn+=1,又yn+4=,yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=

28、-=-(y4n+4-y4n)=- bn,又b1=y8-y4=-0,bn是公比為- 的等比數(shù)列.4.(典型例題)在等差數(shù)列an中,公差d0,a2是a1與a4的等比中項(xiàng).已知數(shù)列a1,a3,akn,成等比數(shù)列,求數(shù)列kn的通項(xiàng)kn.考場錯解an=a1+(n-1)d,=a1a4(a1+d)2=a1(a1+3d).d=a1,an=nd.a1=d.a3=3d.=3=q.=q=3.kn是公比為3的等比數(shù)列.kn=13n-1=3n-1.專家把脈錯因在把k1當(dāng)作數(shù)列an的首項(xiàng).k1=1.而實(shí)際上k1=9.對癥下藥依題設(shè)得an=a1+(n-1)d,=a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1

29、d, d0,d=a1,得an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,kndn是等比數(shù)列.由d0,所以數(shù)列1,3,k1,k2,kn, 也是等比數(shù)列,首項(xiàng)為1,公比為q=3,由此得k1=9.等比數(shù)列kn的首項(xiàng)k1=9,公比q=3,所以kn=9qn-1=3n+1(n=1,2,3,),即得到數(shù)列kn的通項(xiàng)kn=3n+1.專家會診1.賦值法在解等差、等比數(shù)列問題中是常用方法.從而求出系數(shù)的值及從中找出規(guī)律.2.等比數(shù)列中應(yīng)注意考慮公比等于1的特殊情況,等比數(shù)列中的公差為0的特殊情況在解題時(shí)往往被忽視.3在等差數(shù)列與等比數(shù)列中,經(jīng)常要根據(jù)條件列方程(組)求解.要注意常兩種情形的不同之處.考場思維訓(xùn)

30、練1已知數(shù)列an滿足3an+1+an=4(n1),且a1=9,其前n項(xiàng)之和為Sn，則滿足不等式|Sn-n-6|的最小整數(shù)n是 （ ）A5 B.6 C.7 D.8答案： C設(shè)2 已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a,公差為b;等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為b,公比為a,其中a,bN+,且a1b1a2b2a3.()求a的值;答案：()若對于任意nN+,總存在mN+，使am+3=bn,求b的值；答案：即b(2n-1-m+1)=5,b=5.()在()中，記cn是所有an中滿足am+3=b,mN+的項(xiàng)從小到大依次組成的數(shù)列，又記Sn為cn的前n項(xiàng)和，SnTn(nN+).答案：由(2)知an=5n-3,bn=5.2n-1,3

31、 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像是以（2，0）為頂點(diǎn)且過點(diǎn)（1，1）的拋物線；數(shù)列an是以d為公差的等差數(shù)列，且a1=f(d-1),a3=f(d+1);數(shù)列bn是以q(q0)為公比的等比數(shù)列，且b1=f(-1),b3=f(+1). 求數(shù)列anbn的通項(xiàng)公式；答案：解設(shè)f(x)=a(x-2)2 過點(diǎn)(1,1),f(x)=(x-2)2222224 知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列an滿足下列條件,a1=a,an=f(an-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,)其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).(1)令bn=aa+1-an(nN+)

32、,證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；答案：證明:由(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；答案：解;由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(nN)當(dāng)k1時(shí),b1+b2+bn-1=(a2-a1)當(dāng)k=1時(shí),b1+b2+bn+1=(n-1)(a2-a1)(n2).而b1+b2+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=an-a1 (n2)所以,當(dāng)k1時(shí)an-a1=(a2-a1).上式對n=1也成立.所以,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為上式對n=1也成立,所以,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a+(n+1)(f(a)-a) (nN)(3)當(dāng)|k|1時(shí)，求答案：解:當(dāng)|k|1時(shí) l

33、iman=lim nn5設(shè)實(shí)數(shù)a0，數(shù)列an是首項(xiàng)為a，公比為-a的等比數(shù)列，記bn=anlg|an|(nN*),Sn=b1+b2+bn,求證:當(dāng)a-1時(shí)，對任意自然數(shù)n都有Sn=1+(-1)n+1(1+n+na)an答案：解:aS=a+得a-1,(1+a)S=命題角度5 數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合1（典型例題）已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列an滿足下列條件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).()令bn=aa+1-an(nN*),證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；()

34、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；()當(dāng)|k|1時(shí)，求考場錯解()證明:由b1=a2-a10,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)0.由數(shù)學(xué)歸納法可證bn=an+1-an0(nN*).由題設(shè)條件，當(dāng)n2時(shí)=k故數(shù)列bn是公比為k的等比數(shù)列.()由()知bn=kn-1(a2-a1)(nN*)b1+b2+bn-1=(a2-a1). (n2) 而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an-a1(n2)an-a1=(a2-a1)(n2)故an=af(a)-a (nN*)an=a+(n-1)f(a)-a(nN*)()當(dāng)|k|1時(shí)=a+2.（典型例題）如圖，直線l1

35、:y=kx+1-k(k0，k)與l2相交于點(diǎn)P.直線l1與x軸交于點(diǎn)P1,過點(diǎn)P1作x軸的垂線交于直線l2于點(diǎn)Q1,過點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P1，Q1，P2，Q2，點(diǎn)Pn(n=1,2,)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列xn.()證明xn+1-1=(xn-1)，(nN*);（）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；（）比較2|PPn|2與4k2|PP1|2+5的大小.考場錯解證明：設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是（xn,yn）,由已知條件得點(diǎn)Qn、Pn+1的坐標(biāo)分別是：.由Pn+1在直線l1上，得=kxn+1+1-k.所以（xn-1）=k(xn+1-1).即

36、xn+1-1=（xn-1）,nN*.()由（）知，故xn-1是等比數(shù)列，且首項(xiàng)x1-1=-，公比為.從而求得xn=1-2()n,nN*.專家把脈 （）問中對于xn+1-1=(xn-1)先應(yīng)考慮xn-1能否為0，繼而可求.對癥下藥（）同錯解中（）.（）解法：由題設(shè)知x1=1-,x1-1=-0,又由（）知xn+1-1=(xn-1),所以數(shù)列xn-1是首項(xiàng)為x1-1,公比為的等比數(shù)列.從而xn-1=-()n-1,即xn=1-2()n,nN*.（）解法：由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）.所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8()2n+2(2)2n-2,4k2|PP1|254k2

37、(1-1)2(0-1)2+5=4k2+9.（i）當(dāng)|k|，即k-或k時(shí)，4k2|PP1|2+51+9=10.D而此時(shí)0|1，所以2|PPn|281+2=10,故2|PPn|24k2|PP1|2+5.(ii)當(dāng)0|k|，即k（-，0）（0，）時(shí)，4k2|PP1|2+51+9=10.而此時(shí)|1，所以2|PPN|281+2=10.故2|PPn|24k2|PP1|2+5.3.（典型例題）已知函數(shù)f(x)=設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,an+1=f(an),數(shù)列bn滿足bn=|an-|，Sn=b1+b2+bn(nN*).（）用數(shù)學(xué)歸納法證明bn；（）證明Sn.考場錯解()bn=|an-|,又an=1+，an+

38、1=(n2),a2=2,a3=,a4=2.an1.bn=由疊代法.bn.（）Sn=b1+b2+bn(-1)+.專家把脈運(yùn)用疊代法時(shí)并不能化簡成.對癥下藥()證明：當(dāng)x0時(shí),f(x)=1+1.因?yàn)閍1=1,所以an1(nN*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn.(1)當(dāng)n=1時(shí)，b1=-1,不等式成立，（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即bk.那么bk-1=|ak+1-|=.所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意nN*都成立.()證明：由（）知，bn.所以Sn=b1+b2+bn(-1)+（-1）.故對任意nN*,Sn專家會診函數(shù)、數(shù)列、解析幾何三者的綜合，展示了知

39、識的交匯性，方法的靈活性.因此解此類題目應(yīng)充分運(yùn)用函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，即數(shù)列是一種特殊函數(shù)，以及解析幾何中方程與函數(shù)、數(shù)列的關(guān)系來解題.而數(shù)列與不等式的綜合更顯出問題的綜合性.考場思維訓(xùn)練1 設(shè)函數(shù)y=f(x)圖像上兩點(diǎn)P1（x1,y1）,P2(x2,y2),若，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.（1）求證：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)值；答案：（2）若Sn=f()+f()+f()+f(1),nN*，求Sn;答案：由(1)知而Sn兩式相加，得所以Sn(3)記Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若Tna(Sn+2+)對一切nN*都成立，試求a的取值范圍.答案：由(2)有,2已知一次函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x-y=0對稱的圖

40、像為C，且f(-1)=0,若點(diǎn)（n+1,（nN*）在曲線C上，并有a1=a2=1.（1）求曲線C的方程；答案：設(shè)f(x)=kx+b(k0),則曲線C的方程為由得：k=b=1 C:x-y-1=0.（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；答案：（3）設(shè)Sn=若SnM恒成立，求實(shí)數(shù)M的取值范圍.答案：3過P（1，0）做曲線C:y=yk(x)(0,)，kN+k1）的切線，切點(diǎn)為Q1，設(shè)Q1在x軸上的投影為P1，又過P1做曲線C的切線，切點(diǎn)為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影為P2，依次下去得到一系列點(diǎn)Q1，Q2，Q3，Qn的橫坐標(biāo)為an.求證：（）數(shù)列an是等比數(shù)列；答案： y=kxk-1,若切點(diǎn)是Qn(an,a當(dāng)n=1

41、時(shí)，切線過點(diǎn)P(1,0)（）an1+答案：（）（）答案：記4 在xOy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1,y1）,P2(x2,y2),Pn(xn,yn),對每個(gè)正整數(shù)n,點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=x2(x0)的圖象上。以點(diǎn)Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此相外切。若x1=1,且xn+1xn(n=1,2,3).求證：數(shù)列|是等差數(shù)列；設(shè)圓Pn的面積為Sn,Tn=+，求證Tn.答案：記圓Pn的半徑為rn,由條件知，yn=所以5.f(x)=ln(2-x)+ax在開區(qū)間（0，1）內(nèi)是增函數(shù)求實(shí)數(shù)a的取值范圍答案： f(x)=-由于f(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)若數(shù)列|an|滿足a1(0,1),

42、an+1=ln(2-an)+an(nN+),證明0anan+10且ak+1=ln(2-ak)+ak1(由(1)知f(x)=ln(2-x)+x在(0,1)上是增函數(shù))n=k+1時(shí)命題成立，故0an0, 0anan+11若數(shù)列|b1|滿足b1(0,1),bn+1=2 ln(2-bn)+bn(nN+),問數(shù)列|bn|是否單調(diào)？答案：數(shù)列bn不具有單調(diào)性令6在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列P1（x1,y1）,P2(x2,y2)Pn(xn,yn)對一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2x+的圖象上，且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-為首項(xiàng)，-1為公差的等數(shù)列|xn|.求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；答案：（2）設(shè)拋物線列c1 ,c2 ,c3,

43、，cn，中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，第n條拋物線cn的頂點(diǎn)為Pn,且過點(diǎn)Dn(0,n2+1),記與拋物線cn相切于Dn的直線的斜率為kn求：答案：cn的對稱軸垂直于x軸，且頂點(diǎn)為Pn. Cn設(shè)的方程為：（3）設(shè)S=x|x=2xnnN+,n1，T=y|y=4yn,n1，等差數(shù)列an的任一項(xiàng)anST,其中a1是ST中最大數(shù)，-265a10-125,求an的通項(xiàng)公式。答案： S=xx=-(2n+3),nN,n1),T=yy=-(12n+5),nN,n1=yy=-2(6n+1)-3,nN,n1ST=T,T中最大數(shù)a1=-17.設(shè)an公差為d,則a10=-17+9d(-256,-125), 由此得又

44、a nTd=-12m(mN)命題角度6數(shù)列的應(yīng)用1.（典型例題）某企業(yè)20典型例題)若an=n2+An,且數(shù)列an為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.考場錯解 （n,an）(nN+)是函數(shù)f(x)=x2+x圖象上的點(diǎn)，且數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需-1，即-2，的取值范圍是-2，+ 專家把脈 忽視了數(shù)列的離散型特征數(shù)列an為遞增數(shù)列，只要求滿足a1a2an 對癥下藥 數(shù)列an是遞增數(shù)列，且an=n2+n，其對稱軸x=-既可以不超過直線x=1，也可以在 1x之間，故-3 的取值范圍是(-3，+)(答案不唯一，-3的所有實(shí)數(shù)均可) 4(典型例題)自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從

45、宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對魚群總量的影響用xn表示某魚群在第n年年初的總量，nN+,且x10不考慮其他因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與Xn成正比，死亡量與x2n成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，C，()求xn+1與xn的關(guān)系式；()猜測：當(dāng)且僅當(dāng)x1,a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明) ()設(shè)a=2，c=1，為保證對任意x1(0，2)，都有xn0，nN+，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論 考場錯解 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分別為繁殖量、捕撈量，死亡量) ()xn=x1(nN+

46、)由()式得xn(a-b-cxn)=0 x1= ()x1 (0，2)a=2c=102-b2 0b0，所以ab猜測：當(dāng)且僅當(dāng)ab，且x1=時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變 ()若b的值使得xn0，nN*，由xn+1=xn(3-b-xn)，nN*，知0xn3-b，nN*，特別地，有0x13 -b即0b0又因?yàn)閤k+1=xk(2- xk)=-(xk-1)2+l10，nN*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1 5(典型例題)假設(shè)某市：2004年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50

47、萬平方米那么，到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2004年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬平方米?(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85? 考場錯解 (1)an是等差數(shù)列 an是中低價(jià)房面積a1=250，d=50Sn=25n2+225n由25n2+ 225n4750 即n10(2)設(shè)幾年后新建住房面積S為：400(1+8)n 85085bn，有250+ (n-1)50400(108)n-1085由計(jì)算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6到2009年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85考場思維訓(xùn)練 1. 將正整數(shù)排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 1l 12 13 14 15 16 其中排在第i行第j列的數(shù)若記為aji，則數(shù)表中的2005應(yīng)記為_.答案： 解析：略.2.用磚砌墻，第一層(底層)用去了全部磚塊的一半多一塊，第二層用去了剩下的一半多一塊，依次類推，每一層都用去了