1、導數(shù)的基本公式與運算法則,基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,(x ) = x -1 .,(ax) = ax lna .,(ex) = ex.,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,(tan x) = sec2x .,(cot x) = - csc2x .,(sec x) = sec x tan x .,(csc x) = - csc x cot x .,另外還有反三角函數(shù)的導數(shù)公式：,定理2. 1 設函數(shù) u(x)、v(x) 在 x 處可導，,在 x 處也可導，,(u(x) v(x) = u(x) v (x);,(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(

2、x);,導數(shù)的四則運算,且,則它們的和、差、積與商,推論 1 (cu(x) = cu(x) (c 為常數(shù)).,推論 2,乘法法則的推廣：,補充例題： 求下列函數(shù)的導數(shù)：,解 根據(jù)推論 1 可得 (3x4) = 3(x4)，,(5cos x) = 5(cos x)，,(cos x) = - sin x，,(ex) = ex，,(1) = 0，,故,f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ,= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1),= 12x3 - ex - 5sin x .,f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1

3、,又(x4) = 4x3，,例 1 設 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).,例 2 設 y = xlnx ，,求 y .,解 根據(jù)乘法公式，有,y = (xlnx),= x (lnx) + (x)lnx,解 根據(jù)除法公式，有,教材P32 例2 求下列函數(shù)的導數(shù)：,解：,高階導數(shù),如果可以對函數(shù) f(x) 的導函數(shù) f (x) 再求導，,所得到的一個新函數(shù)，,稱為函數(shù) y = f(x) 的二階導數(shù)，,記作 f (x) 或 y 或,如對二階導數(shù)再求導，則稱三階導數(shù)，,記作 f (x) 或,四階或四階以上導數(shù)記為 y(4)，y(5)， ，y(n)

4、,或 ，,而把 f (x) 稱為 f (x) 的一階導數(shù).,例3 求下列函數(shù)的二階導數(shù),解：,二階以上的導數(shù)可利用后面的數(shù)學軟件來計算,推論 設 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可導，則復合函數(shù) y = f ( (x) 也可導，,以上法則說明：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于復合 函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).,先將要求導的函數(shù)分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.,任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導公式和上述復合函數(shù)的求導法則求出.,復合函數(shù)求導的關鍵: 正確分解初等函數(shù)的復合結構.,求導方法小結：,例5：求下列函數(shù)

5、的導數(shù),（1） （2） （3） （4）,二元函數(shù)的偏導數(shù)的求法,求 對自變量 (或 )的偏導數(shù)時,只須將另一自變量 (或 )看作常數(shù),直接利用一元函數(shù)求導公式和四則運算法則進行計算.,例1 設函數(shù),求,解：,例2 設函數(shù),解：,類似可得,二元函數(shù)的二階偏導數(shù),函數(shù) z = f ( x , y ) 的兩個偏導數(shù),一般說來仍然是 x , y 的函數(shù)，,如果這兩個函數(shù)關于 x , y 的偏導數(shù)也存在，,則稱它們的偏導數(shù)是 f (x , y)的二階偏導數(shù).,依照對變量的不同求導次序，,二階偏導數(shù)有四個：（用符號表示如下）,其中 及 稱為二階混合偏導數(shù).,類似的，可以定義三階、四階、 、n 階偏導數(shù)，,二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)，,稱為函數(shù) f ( x , y ) 的一階偏導數(shù).,注：當兩