1、1,A,微分方程的應(yīng)用,2,A,數(shù)學(xué)模型,根據(jù)研究對象的內(nèi)在規(guī)律運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具建立起來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,微分方程是建立數(shù)學(xué)模型時應(yīng)用得最為廣泛的工具之一。,3,A,一、微分方程建模的基本步驟：,1、根據(jù)已知規(guī)律建立微分方程；,2、根據(jù)已知條件找出初始條件；,3、解微分方程(求通解、特解)；,4、用所得結(jié)果解釋實際問題。,4,A,二、生物醫(yī)藥模型舉例,5,A,例1.（放射性元素的衰變）,放射性元素因不斷放射出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量的現(xiàn)象，稱為衰變。,由原子物理學(xué)知道，放射性元素鐳的衰變速度與存量成正比，比例系數(shù)為k（k0）。如果當時間t=0時，鐳的質(zhì)量為 ，求鐳的質(zhì)量M關(guān)于時間t的變化規(guī)律

2、 。,6,A,解：,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，鐳的衰變速度就是鐳的消耗量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，即,將“鐳的衰變速度與存量成正比”表達成數(shù)學(xué)語言，即寫成微分方程，得,設(shè)鐳在時刻t的留存量為M(t)，則鐳從時刻0到時刻t的消耗量為 。,7,A,分離變量、兩邊積分，得,將初始條件 代入，得,因此鐳的質(zhì)量M關(guān)于時間t 的變化規(guī)律為：,8,A,當變量關(guān)于時間的變化率與變量的量成正比時，這個變量總是按指數(shù)規(guī)律變化。,例如，牛頓冷卻定律、化學(xué)中的一級反應(yīng)、早期腫瘤的生長、藥物的分解等自然現(xiàn)象，都按指數(shù)規(guī)律變化。,9,A,例2.（細菌增殖模型）,理想環(huán)境：,（1）除系統(tǒng)本身的繁殖外，沒有由系統(tǒng)外向系統(tǒng)內(nèi)的遷入和由系統(tǒng)內(nèi)向外遷

3、出等情況；,（2）系統(tǒng)本身的繁殖不受空間和營養(yǎng)供應(yīng)的限制；,（3）溫度、濕度等各項環(huán)境因素均對系統(tǒng)適宜。,10,A,檢驗人員對某蓄水池定期抽取單位容積水樣觀察，測得該水池中大腸桿菌的相對增殖率為,單位時間內(nèi)單位數(shù)量的生物的增長。,試分析該水池中大腸桿菌的繁殖規(guī)律。,11,A,解：,將關(guān)于相對增殖率的關(guān)系式進行變量分離，得,兩邊積分，得：,假設(shè)初次取樣即t=0時，,代入上式，有,12,A,于是有,或,即 是該蓄水池中大腸桿菌密度的極限值。,13,A,例3.（藥物動力學(xué)一室模型）,藥物動力學(xué)是一門研究藥物、毒物及其代謝物在機體內(nèi)的吸收、分布、代謝和排泄過程定量規(guī)律的科學(xué)。,假定藥物以恒定的速率 進

4、行靜脈滴注，試求體內(nèi)藥量隨時間的變化規(guī)律。,14,A,解：,假定藥物在體內(nèi)按一級速率過程消除，消除速率常數(shù)為k .,設(shè)靜脈滴注t時刻體內(nèi)藥量為x(t),則有,15,A,此方程是一個可分離變量的一階微分方程，,易求得其在初始條件t=0時x=0下的特解為,靜脈滴注的速率越大，最后體內(nèi)藥量的穩(wěn)定水平越高。,16,A,例4.（流行病數(shù)學(xué)模型）,無移除的流行病模型：,（1）感染通過一個團體成員之間的接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除；,（2）團體是封閉的，總?cè)藬?shù)為N，最初假設(shè)只有一個感染者；,（3）團體種各成員之間接觸機會均等，因此易感者轉(zhuǎn)化為感染者的變化率與當時的易感人數(shù)和感染人數(shù)的乘積成正比。,17,A,解：,記時刻t的未感染人數(shù)為S，已感染人數(shù)為I，根據(jù)以上假設(shè)即可建立下面的微分方程：,其中,代入上式，得,