1、第三章 量子力學(xué)初步,內(nèi)容： 1、微觀粒子的波粒二象性 2 、測(cè)不準(zhǔn)原理 3、波函數(shù)及其物理意義 4、薛定諤波動(dòng)方程 5、 量子力學(xué)問題的幾個(gè)簡例 6、量子力學(xué)對(duì)氫原子的描述,3.1 微觀粒子的波粒二象性,一、光的波粒二象性 1672年，牛頓，光的微粒說 1678年，惠更斯，光的波動(dòng)說 19世紀(jì)末，光是一種電磁波 20世紀(jì)初，光量子,-光的波粒二象性,二、德布羅意關(guān)系式 微觀粒子和光子一樣，在一定的條件下顯示出波 動(dòng)性。具有一定能量E和一定動(dòng)量p的自由粒子，相當(dāng)于具有一定頻率和一定波長的平面波，二者之間的關(guān)系為：,-德布羅意關(guān)系式。,與實(shí)物粒子相應(yīng)的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波，稱為德布羅意波長。

2、,德布羅意關(guān)系式還可以寫成,式中， ：角頻率； ：傳播方向上的單位矢量,適用條件：(1)電子，(2)非相對(duì)論(U不能太大)。,：波矢量,粒子的德布羅意波長：,1當(dāng) 時(shí)，,2當(dāng) 時(shí)，,經(jīng)過電場加速的電子：,三、德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 1927年，戴維遜和革末，電子衍射實(shí)驗(yàn)，測(cè)量了電子波的波長，證實(shí)了德布羅意假設(shè)。,衍射，就是波繞過障礙物繼續(xù)傳播的現(xiàn)象。 衍射是波特有的現(xiàn)象，不需要特殊條件，但是，如果要發(fā)生明顯的衍射，則需障礙物或小孔的尺寸比波長小或跟波長差不多。,干涉條紋是明暗間隔開的，且是等間距的。衍射條紋也是明暗相間但是不等間距，是中間亮然后周圍越來越暗,干涉，兩列頻率相同的光波在空中相遇時(shí)

3、發(fā)生疊加，在某些區(qū)域總加強(qiáng)，在另外一些區(qū)域總減弱，出現(xiàn)明暗相間的條紋或者是彩色條紋的現(xiàn)象叫做光的干涉。只有兩列光波的頻率相同，位相差恒定，振動(dòng)方向一致的相干光源，才能產(chǎn)生光的干涉。,1實(shí)驗(yàn)裝置,2實(shí)驗(yàn)結(jié)果,(1)當(dāng)U不變時(shí)，I與的關(guān)系如圖 不同的，I不同；在有的上將出現(xiàn)極值。,(2)當(dāng)不變時(shí)，I與U的關(guān)系如圖 當(dāng)U改變時(shí)，I亦變；而且隨了U周期性的變化,當(dāng) 時(shí)加強(qiáng)-布拉格公式。,波程差：,實(shí)驗(yàn)證明了電子確實(shí)具有波動(dòng)性，也證明了德布羅意 公式的正確性。并進(jìn)一步證明：一切實(shí)物粒子(電子、 中子、質(zhì)子等都具有波動(dòng)性。,可見，當(dāng)、滿足此式時(shí)，測(cè)得電流的極大值。 對(duì)于通過電壓U加速的電子：,當(dāng)U不變時(shí)，

4、改變，可使某一滿足上式，出現(xiàn)極大值,當(dāng)不變時(shí)，改變U，可使某一U滿足上式，出現(xiàn)極大 值。,月球極區(qū)發(fā)現(xiàn)神秘反射光 揭未知“禁區(qū)”奧秘,據(jù)國外媒體報(bào)道，歐洲空間局的SMART-1探測(cè)器是一個(gè)對(duì)月球進(jìn)行探索的飛船，在2006年時(shí)SMART-1探測(cè)器就成功撞擊月球表面，撞擊發(fā)生后科學(xué)家開始對(duì)月球表面揚(yáng)起的塵埃進(jìn)行探測(cè)，試圖通過這些塵埃來揭開月球的起源之謎。但月球上仍然有許多地方被列為觀測(cè)上的“禁區(qū)”，科學(xué)家將其稱為未知的月球區(qū)域，特別是在月球的極區(qū)，我們對(duì)這里的情況了解甚少。根據(jù)SMART-1探測(cè)器的觀測(cè)結(jié)果，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)在月球極區(qū)存在三個(gè)非常緊密的撞擊坑，內(nèi)部存在一些神秘的反射光。,圖中顯示的就是三

5、個(gè)緊密排列的撞擊坑，由歐洲空間局SMART-1探測(cè)器上的成像裝置拍攝，這張拼圖的大小為220公里乘以700公里，位于月球的北極附近，從右至左，這三個(gè)撞擊坑被命名為Plaskett、Rozhdestvenskiy以及Hermite撞擊坑。Hermite撞擊坑直徑大約104公里，Plaskett撞擊坑大約為109公里，而Rozhdestvenskiy撞擊坑直徑最大，大約為177公里，這些地區(qū)被科學(xué)家稱為神秘的月球區(qū)域，其明暗斑點(diǎn)使得這一地區(qū)保持著它的神秘感。,由于月球被地球的引力鎖定，因此我們只能看到月球的一面，而另一面無法直接觀測(cè)到，因此也有了月球背面是外星人基地的說法。事實(shí)上月球并不是只有一半

6、朝向地球，我們可以看到59%的月球表面，而Plaskett撞擊坑的位置恰恰就位于月球朝向地球一面的邊緣，因?yàn)槲覀冊(cè)诿磕陻?shù)個(gè)月的短短幾天時(shí)間內(nèi)可以看到Plaskett撞擊坑的邊緣，這個(gè)不尋常的一幕使得我們似乎看到來自月球撞擊坑中的光線，因此歐洲空間局的SMART-1探測(cè)器任務(wù)之一就是對(duì)這些撞擊坑進(jìn)行調(diào)查，揭開月球上未知區(qū)域的奧秘。,3.2 測(cè)不準(zhǔn)原理,一、電子的單縫衍射(1961年，約恩遜成功的做出),電子以速度沿著y軸射向A屏，其波長為 ，經(jīng)過 狹縫時(shí)發(fā)生衍射，到達(dá)C屏。第一級(jí)暗紋的位置：,x方向上，粒子坐標(biāo)的不確定度為,又,粒子動(dòng)量的不確定度為,狹縫對(duì)電子束起了兩種作用：一是將它的坐標(biāo)限制在

7、縫 寬d的范圍內(nèi)，一是使電子在坐標(biāo)方向上的動(dòng)量發(fā)生了 變化。這兩種作用是相伴出現(xiàn)的，不可能既限制了電子 的坐標(biāo)，又能避免動(dòng)量發(fā)生變化。,如果縫愈窄，即坐標(biāo)愈確定，則在坐標(biāo)方向上的動(dòng)量 就愈不確定。因此，微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)有 確定的值。,1927年，海森堡首先推導(dǎo)出不確定關(guān)系：,二、不確定關(guān)系,三、討論 1不確定關(guān)系只適用于微觀粒子,2,例1： 設(shè)電子與 的子彈均沿x方向運(yùn)動(dòng)， ， 精確度為 ，求測(cè)定x 坐標(biāo)所能達(dá)到的最大準(zhǔn)確度。,電子： 子彈：,3.3 波函數(shù)及其物理意義,一、波函數(shù),自由粒子 平面波,用符號(hào) 來表示波函數(shù)，自由粒子不受力，動(dòng)量不變，所以同它聯(lián)系的波長也不變，是單色波

8、，代表平面單色波的公式為,是角頻， 是波的速度， 是時(shí)間， 是從原點(diǎn)到波面任何一點(diǎn)的距離， 是 和 的夾角，P86. 由歐拉公式， 上式可寫為復(fù)數(shù)形式,用矢量k代表波長倒數(shù)的數(shù)值和波的前進(jìn)方向，上式可寫為,量子力學(xué)中，一般用下列形式,用波方程來描寫實(shí)物粒子，根據(jù)德布羅意關(guān)系：,自由粒子的波函數(shù)，描寫動(dòng)量為 、能量為E 的自由粒子。,經(jīng)典力學(xué) 位置和速度 量子力學(xué) 波函數(shù) 波函數(shù)體現(xiàn)了波粒二象性，其中的E和 是描寫粒子性 的物理量，卻處在一個(gè)描寫波的函數(shù)中。,二、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,電子衍射的強(qiáng)度分布圖,用粒子的觀點(diǎn)，極大值處意味著到達(dá)的電子多，極小值處意味著到達(dá)的電子少。,從波的觀點(diǎn)來看，極大值

9、處表示波的強(qiáng)度大，極小值處表示波的強(qiáng)度小。,玻恩的觀點(diǎn)就能將粒子和波的概念統(tǒng)一起來。波函數(shù)代表發(fā)現(xiàn)粒子的幾率,干涉圖像的出現(xiàn)體現(xiàn)了微觀粒子的共同特性，而且它并不是由微觀粒子相互作用產(chǎn)生的而是個(gè)別微觀粒子屬性的集體貢獻(xiàn),表示t時(shí)刻、（x、y、z）處、單位體積 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。,即波的強(qiáng)度表示t時(shí)刻、（x、y、z）處發(fā)現(xiàn)電 子的幾率密度。如果 大，則電子出現(xiàn)幾率大， 因而電子出現(xiàn)的數(shù)目也多，此處為衍射極大值處；反之， 如果 小，則電子出現(xiàn)幾率小，電子出現(xiàn)的數(shù)目 也少，此處為衍射極小值處。,t時(shí)刻、xx+dx、yy+dy、zz+dz、的體元 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率：,表示t時(shí)刻、（x、y、z）處發(fā)現(xiàn)粒子

10、 的幾率密度。,1.波恩的波函數(shù)幾率解釋是量子力學(xué)基本原理之一,2.經(jīng)典波振幅是可測(cè)量，而波函數(shù)是不可測(cè)量，可測(cè)是幾率,3.單縫、雙縫干涉實(shí)驗(yàn)在1961年前是假想實(shí)驗(yàn),討 論,2歸一化條件 由于粒子總在空間某處出現(xiàn)，故在整個(gè)空 間出現(xiàn)的 總幾率應(yīng)當(dāng)為1：,三、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件及歸一化,1波函數(shù)必須單值、有限、連續(xù)。 單值：在任何一點(diǎn)，幾率只能有一個(gè)值。 有限：幾率不能無限大。 連續(xù)：幾率一般不發(fā)生突變。,對(duì)x、y、z分別求二次偏導(dǎo)：,3.4 薛定諤波動(dòng)方程,一、薛定諤方程的建立,1自由粒子的薛定諤方程,對(duì)t求一次偏導(dǎo)：,自由粒子的薛定諤方程。,三者相加：,拉普拉斯算符：,自由粒子:,則有： 處

11、在以勢(shì)能表征的力 場中的微觀粒子所滿足的運(yùn)動(dòng)方程，稱之為薛定諤方程,2一般粒子的薛定諤方程,一般粒子常受到力場的約束，用 表示力場，則 粒子在力場中受到的力為： ，假設(shè)處于這種 力場中的微觀粒子的波函數(shù)為 ，假設(shè) 仍滿 足方程： 但此時(shí),E為一常數(shù),二、定態(tài)薛定諤方程 能量不隨時(shí)間變化的狀態(tài)稱為定態(tài)。設(shè)作用在粒子上的 力場不隨時(shí)間改變，即勢(shì)能 中不顯含時(shí)間t，將其代 入方程：,波函數(shù)分離變量：,解出：,定態(tài)波函數(shù),1定態(tài)中E不隨時(shí)間變化，粒子有確定的能量,2定態(tài)中粒子的幾率密度不隨時(shí)間變化,3 定態(tài)薛定諤方程,如果 、是方程的解，那么它們的的線性組 合 也是方程的解， 為任 意常數(shù)。 即如果

12、、是體系可能的狀態(tài)，那么它 們的的線性組合 也是體系一個(gè)可能的狀態(tài),4態(tài)迭加原理,3具體的勢(shì)場 決定粒子狀態(tài)變化的情況，如果給 出勢(shì)能函數(shù) 的具體形式，只要我們知道了微觀粒,三、薛定諤方程的討論,1薛定諤方程描述了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 在勢(shì) 場 中隨時(shí)間變化 的規(guī)律。,2薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，它不能從更基 本的假設(shè)中推導(dǎo)出來。它的正確性只有通過與實(shí)驗(yàn)結(jié)果 相一致來得到證明。,子初始時(shí)刻的狀態(tài) 。原則上說，只要通過薛 定諤方程，就可以求出任意時(shí)刻的狀態(tài) 。,5在薛定諤方程的建立中，應(yīng)用了 ，所,4薛定諤方程中有虛數(shù)單位i，所以 一般是復(fù)數(shù) 形式。 表示概率波， 是表示粒子在時(shí)刻t、 在空

13、間某處出現(xiàn)的概率。因而薛定諤方程所描述的狀態(tài) 隨時(shí)間變化的規(guī)律，是一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,以是非相對(duì)論的結(jié)果；同時(shí)方程不適合一切 的粒子，這是方程的局限性。,宇稱 函數(shù) ， 宇稱是偶性的； 宇稱是奇性的。,勢(shì)壘,勢(shì)阱,據(jù)德國明鏡周刊報(bào)道，德國天文學(xué)家烏里爾奇.沃爾特(Ulrich Walter)日前對(duì)電影地心引力(Gravity)中講述的太空細(xì)節(jié)進(jìn)行講解，并糾正了其中的錯(cuò)誤。據(jù)悉，地心引力描述了兩位宇航員在太空中漂泊生存的故事。 沃爾特稱，宇航員在太空行走時(shí)非常危險(xiǎn)。大的太空垃圾碎片可以避過，但數(shù)以百萬計(jì)的小碎片難以預(yù)防。即使幾毫米大的微粒都可能刺穿太空服，它們的速度是子彈的15倍。當(dāng)太空服被刺穿后，

14、將導(dǎo)致壓力消失，氧氣泄漏，但是當(dāng)今的太空服有緊急供應(yīng)系統(tǒng)，可確保30分鐘安全，足夠宇航員返回空間站。 沃爾特說，空間站與船的結(jié)構(gòu)很像，也有船艙和隔板。若發(fā)生緊急情況，中心部分可以與損壞部分分離。俄羅斯和平號(hào)空間站曾與無人貨船相撞發(fā)生泄漏，但最后所有人成功逃生。原則上說，漂浮在太空中的宇航員可以獲救，因?yàn)槊刻滋辗加袊姎獍l(fā)動(dòng)裝置，但其行進(jìn)距離只有1公里，因此在現(xiàn)實(shí)中，漂浮在太空中幾乎就意味著死亡。,科學(xué)家揭秘太空行走:太空服可被幾毫米微粒刺穿,當(dāng) 時(shí)， 取任何值都能使R滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的 解。所以正值的能量是連續(xù)的，相當(dāng)于自由電子 與H+離子結(jié)合為原子時(shí)釋放的能量。,量子數(shù) 的物理意義,1主量子數(shù)

15、 與能量量子化,當(dāng) 時(shí)， 能量是量子化的，自然得出。,2角量子數(shù) 和角動(dòng)量角子化 角動(dòng)量是量子化的，自然得出。 舊量子論： 當(dāng)角動(dòng)量很大時(shí)， ， ，二者一致， 所以玻爾理論給出了近似的結(jié)果。,3磁量子數(shù) m 和空間量子化 個(gè) 角動(dòng)量在外場方向的分量也是量子化的，即空間取 向量子化，自然得出。,用小黑點(diǎn)的密或稀形象地表示空間各處概率密度 的相 對(duì)大小，概率大的地方黑點(diǎn)濃密，概率小的地方黑點(diǎn)稀 疏，稱它們?yōu)椤半娮釉啤?電子在原子核外很小的空間內(nèi)作高速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律 跟一般物體不同，它們沒有確定的軌道。因此，我們不 能同時(shí)準(zhǔn)確地測(cè)定電子在某一時(shí)刻所處的位置和運(yùn)動(dòng)的 速度，也不能描畫出它的運(yùn)動(dòng)軌跡。因此，人們常用一,三、電子云,種能夠表示電子在一定時(shí)間內(nèi)在核外空間各處出現(xiàn)機(jī)會(huì) 的模型來描述電子在核外的運(yùn)動(dòng)。在這個(gè)模型里，某個(gè) 點(diǎn)附近的密度表示電子在該處出現(xiàn)機(jī)會(huì)的大小。密度大 的地方，表明電子在核外空間單位體積內(nèi)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多 ；密