1、.,四、函數(shù)的連續(xù)性,1.函數(shù)的增量,(一)、連續(xù)的定義,.,2.連續(xù)的定義,.,.,.,例1,證,由定義2.9知,.,3.單側(cè)連續(xù),性質(zhì)2.14,.,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,.,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,若f(x)在定義域內(nèi)連續(xù),則稱f(x)為連續(xù)函數(shù).,定理2.3: 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的.,f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù):,(二)、函數(shù)的間斷點及類型,.,1,x=2,例4,.,1.第一類間斷點,1)跳躍間斷點,2)可去間斷點,注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.,.,例5,2.第二類間斷點,例6,解,

2、例7,解,.,注意 不要以為函數(shù)的間斷點只能是個別的幾個點.,狄利克雷函數(shù),在定義域R內(nèi)每一點處都間斷，且都是第二類間斷點。,在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).,12/16,例8,解,.,(三)、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),例如,結(jié)論: 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,(四)、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),定理1 (有界性定理)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),則f(x) 在a,b上有界.,連續(xù)但無界,例如,定義:,.,定理2 (最大、最小值定理)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù),則f(x) 在a,b上可取到最大值,最小值.,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)

3、間, 定理不一定成立;,2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立.,Th3 (介值定理),幾何解釋:,定義:,推論(零點存在定理),幾何解釋:,.,注意(1) 若f(x)在a,b上單調(diào),則只有唯一零點.,(2)若a,b改為(a,b)結(jié)論未必成立.,在(1,2)連續(xù),但Th2.6 不成立.,.,例1,證,由零點定理,.,例2,證,由零點定理,.,證:,在0,1連續(xù),由零點定理,(五)、 小結(jié),1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;,3.間斷點的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點:可去型,跳躍型.,第二類間斷點:無窮型,振蕩型.,間斷點,(見下圖),可去型,第一類間斷點,跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點,連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.,復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.,初等函數(shù)的連續(xù)性.,求極限的又一種方法.,反函數(shù)的連續(xù)性.,四個定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意 1閉區(qū)間； 2連續(xù)函數(shù) 這兩點不滿足上述定理不一定成立,思考題,下述命題是