1、理論力學多媒體課件, 教材藍本 (面向21世紀課程教材) 金尚年,馬永利編著.理論力學.第二版.北京：高等教育出版，2002 主要參考書： 1. 陳世民.理論力學簡明教程.北京：高等教育出版社，2001. 2. H.Goldstein .Classical Mechanics (Second Edition). Cambridge: Addison-Wesley,1980. 3. 蔣士亮.理論力學學習導引.桂林:廣西師范大學出版社,1997. 內容設計 蔣士亮教授 何良明 腳 本 蔣士亮教授 何良明 多媒體制作 趙迎新老師、劉杰、何良明 動畫制作 吳禮燕老師 文字錄入 盤佳秀,一、力學、與理論

2、力學,經典力學 絕對時空 v光速,一般力學 固體力學 流體力學 交緣力學,量子力學,宏觀,緒論,研究桿狀構件的強度，剛 度和穩(wěn)定性 。,研究桿系結構的強度，剛 度和穩(wěn)定性。,流體力學：,彈性力學：,固體力學,材料力學：,結構力學：,研究非桿結構在彈性階段 的強度、剛度和穩(wěn)定性。,研究流體受力與運動規(guī)律。,理論力學： (屬于一般力學) 包 括：,研究質點系機械運動一般規(guī)律。,靜力學、運動學和動力學,緒論,二、研究內容,包括幾何靜力學、分析靜力學,應 用:,變形固體,塊、板、殼.,桿與桿結構.,三大關系,(1) 靜力學:,研究物體所受力系的簡化平衡規(guī)律及 其應用。,質點系、剛體、流體,平衡、幾何、

3、物理,緒論,(2) 運動學:,(與力無關、也是變形體運動基礎),(3) 動力學:,包括質點系、剛體，變形體的動力效應。,研究點與剛體運動的幾何性質,研究物體所受力與運動間的關系,包括位移、軌跡、速度、加速度。,緒論,三、力學模型,1、基本模型:,2、一般模型:,理想流體(無粘性) 。,質點系基本理論(包括一切模型),質 點:,具有質量的幾何點。,剛 體:,任何兩點距離不變的幾何體。,變形固體:,連續(xù)、均勻、各向同性或各向異性假設。,分為宏、細、微三層次。,流 體:,緒論,8,地震學中視為多相變形固體。,土木工程中視為彈性半空間。,.地球:,天文學中視為質點或剛體。,緒論,3、特殊模型:,溫度變

4、化、電磁效應、支座移動， 加工誤差等。,工程系統(tǒng)的計算簡圖(結構與機構),形狀,聯(lián)結,鉸接:限制平移、可轉動 剛結:限制平移與轉動 彈性:可變形,荷載,恒載與活載 靜載與動載 表面力與體積力 分布力與集中力,其它外因:,緒論,四、研究途徑與方法,1、途徑:,分理論體系與工程應用兩條。,緒論,分析力學：從兩個基本原理出發(fā).,公理化:,靜力學：從5條公理出發(fā).,動力學： 從牛頓三大定律出發(fā).,數(shù)學方法:,矢量分析、代數(shù)方程、微分方程。,計算機方法:,數(shù)值計算、過程仿真。,實驗方法:,機械測試、電測、光測等。,開拓新方法:,校核,優(yōu)化設計,響應,參數(shù)識別,(系統(tǒng)幾何物理特性),逆問題,培養(yǎng)能力:,抽

5、象與邏輯思維；運動、變形與受力分析；計算模型與方法的選擇。,1、經典方法分析能力,緒論,2、創(chuàng)新能力,創(chuàng)造新思想、新方法、新產品的能力。,創(chuàng)新思維特點:,發(fā)散性:,多向性,開放性:,一題多解、多問、多變,探索性:,尋找新問題與新途徑。,由被動接收,主動索取,想象性:,想象力比知識更重要。,3、考研,土木、力學、機械、航天研究生必考課程之一. 科技創(chuàng)新，需要高級力學人才。,緒論,第一章 牛頓動力學方程,內容: 經典力學立論的理論基礎 牛頓力學的基本定律和定理 牛頓動力學方程及其應用 解題指導,重點: 牛頓動力學方程及其應用 難點: 角動量概念和角動量定理,牛頓在伽利略、開普勒工作的基礎上建立了完

6、整的經典力學理論，這是現(xiàn)代意義下的物理學的開端。經典力學理論的基礎是質點運動三條定律，其核心是牛頓動力學方程。,15,1、1 經典力學立論的理論基礎,包括：三個觀點（物質觀、時空觀、運動觀）和四條推理規(guī)則（簡單性原理、因果性原理、統(tǒng)一性原理、真理性原理） 物質觀。所有的物質都由原子的微粒組成，原子間存在互相吸引力和排斥力，可以凝聚分離，構成萬物及運動。 時空觀（絕對時空觀）。時間是一維的、均勻的、無限的，與空間和物質都無關牛頓的絕對時間。可用一條長的直線表示時間：,空間是三維的，各向同性的、均勻的、無限的，與時間和物質都無關牛頓的絕對空間。可用一直角坐標系表示空間。原點為空間任一點，正交的三個

7、坐標軸方向可以任意選取且可向正負方向無限延伸，任一質點在空間的位置均可用坐標系中的三個坐標值表出。絕對時間和絕對空間構成了牛頓力學的絕對時空觀。, 運動觀.內容包括 力學的最高原理牛頓三定律和力學相對性原理的確立；萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)。 簡單性原理.凡科學上正確的東西都是簡單的，因此，力求用簡單的方法和形式解決科學問題，表述科學結論。 因果性原理.即決定論。, 絕對性原理.指物質觀、時空觀、運動觀對整個自然都是普遍適用的，是自然哲學的根本所在。 真理性原理.既承認客觀真理的存在，同時又承認人們在一定認識階段的認識只能接近真實，即承認相對真理的存在。真理性原理是絕對真理與相對真理結合的觀點。,四條

8、哲學推理規(guī)則是自然科學認識論、方法論的準則，是學習、研究自然科學強大的思想武器。,. 牛頓第二定律的數(shù)學表達,設質量為m的物體（質點）沿曲線C運動，所受到的力為,當物體的質量不變時,牛頓第二定律的表示為,式(1.3)在常用的坐標系中的分量式分別為：,(1.1),則式(1.1)可寫為,(1.3),（） 直角坐標系,方程（1.3）可表示為,（2）平面極坐標系,（1.7）,（1.8）,（1.10）,加速度為,（1.11）,（1.12）,(3)球坐標系,因此，牛頓第二定律可表示為,位矢和速度為,（4）柱坐標,（1.22）,位矢和速度為,牛頓第二定律為,（1.25）,（5）自然坐標與內稟方程,設質點沿著

9、某一空間曲線MN運動，在軌道MN上的任意點P作密切平面，在密切平面內過P點作切線,和法線n，再作直線b，使三者的方向關,系為,，即互相，b稱為次法線。,和,構成的平面,稱為法平面，,與,組成的平面稱為直切平面。軌道上每一點,都可作出這樣的三條正交的直線，以、n、b為坐標軸構成空間自然坐標系。,用,表示其單位矢量，顯然，隨著質點的運動，,方向隨時間t而變化。,（1.26）,質點在任意時刻（P點）的速度和加速度分別為,如圖1.9所示：,所以加速度為,1.3 動力學基本定理,1.3.1 動量定理 (1)質點系動量定理,(1.29),方程（1.30）表明：質點系動量的變化率等于體系所受到的合外力質點系

10、動量 定理，方程中體系中的的內力完全不出現(xiàn)。,（2）質點系動量守恒定理,即質點系動量不變質點系動量守恒定律。,，質點系動量不守恒，但在某一定方向（例如x方向）的合外力,，則在該方向動量守恒：,例如外力僅為重力時，質點系水平方向動量守恒。 您能舉出系統(tǒng)總動量不守恒而在水平方向動量守恒的實例嗎？,（3）質心運動定理,質點系的動量,式中,（1.35）,質點系的動量定理可改寫成：,（1.36）,質心運動定理只描述質點系質心的平移，不涉及質點系相對于質心的 空間取向，而且質心運動狀態(tài)的變化取決于質點系所受的外力，而與內力 無關，內力可以改變質點系內質點的運動狀態(tài)，不能改變質心的運動狀 態(tài)。質點系可以是離

11、散的質點組或可變形的柔體（如京劇演員、跳水運動 員）或不發(fā)生形變的剛體，也可以是運動過程將發(fā)生爆炸的炮彈，在這些 體系中質心運動定理都成立。如跳水運動員在空中卷縮、抱膝、翻滾、伸 展多姿多態(tài)，而其質心的運動遵循拋體運動規(guī)律，軌跡為拋物線。,1.3.2 角動量定理,（1）角動量,（1.37）,稱為質點對坐標原點O的角動量（或動量矩），是描述物體運動特性的重要物理量之一。,質點系的角動量定義為,（1.38）,（2）質點系對慣性系中固定的角動量定理,式（1.38）兩邊對t求導：,上式中內力矩和,于是,（1.39）,上式表示：質點角動量的變化率等于作用在質點在質點系上所有外力矩的和，與 體系內部的相互

12、作用無關質點系對慣性系中固定點的角動量定理。,（2）角動量守恒定律,如果質點系所受到的外力矩為零，則體系角動量守恒,（1.40）,若在某一固定方向的外力矩為零，則角動量在該方向的分量守恒。,宇宙中存在著各種層次的天體系統(tǒng)，它們都具有旋轉的盤狀結構。例如銀河系，最初是一團極大的彌漫氣體云，具有一定的初角動量。 在自身引力作用下收縮，聚集而成現(xiàn)在的形態(tài)。由于角動量守恒，銀河系演變成了朝一個方向旋轉的盤狀結構（圖1.12）,(3)質心系中的角動量定理,上式表明：質點系對質心的角動量變化率等于作用在質點系上的外力對質心的力矩 的和。對質心的角動量定理，與慣性系中的角動量形式相同。,1.3.3 能量定理

13、,（1）質點系動能定理,質點系的動能,（1.42）,對上式兩邊微分得,即,（1.43）,上式表示：質點系動能的增加等于外力和內力所做的元功之和質點系動 能定理。,（2）寇尼希（Knig）定理,如圖1.10所示，質點系動能,（1.44）,（1.45）,式中,為質點系相對于質心的動能。（1.44）式表示：質點系的總動能等于質點系全部質 量集中在質心并以質心速度運動的動能，加在各質點相對于質心系的動能寇尼 希定理。,（3）質心系的動能定理,質點系動能的微分為,根據(jù)寇尼希定理:,(1.46),(4) 機械能守恒定律,上式為質心系中的動能定理,與慣性系中的動能定理的形式一樣.,因此得,（1.47）,則存

14、在某一單值標量函數(shù)V（x，y，z），且,（1.49）,（1.48）,則力所做的功為,由質點的動能定理：,1.4 牛頓力學理論的應用例題,例1 長距離自由落體。,試求彗星在萬有引力作用下從距太陽a處到b處所用的時間，其中ab R， R為太陽半徑,解：取圖示的直角坐標，其運動微分方程為,積分,得,令,代入上式：,例2 兩個小環(huán)套在一懸掛著的大環(huán)上沿大環(huán)滑動,解：大環(huán)和小環(huán)各受哪些力作用？,如圖1.15，大環(huán)在豎直方向所受的合力為,F=T-2Ncos-mg (1),（2）,（3）,小環(huán)沿大環(huán)運動的微分方程為,由（3）式，有,積分上式得,（4）,（4）式代入（2）式可得,（5）,（5）式代入（1）式：

15、,（6）,當合力F0時大環(huán)上升，這時T=0，于是（6）式化為,上式成立的條件為,，因此：,大環(huán)可上升的條件為, 大環(huán)開始上升時小環(huán)所處的位置為,解:半徑為R的圓周沿x軸純滾動時,圓周上一點P(x,y)的軌跡即為擺線.本題給 出擺線方程,求質點運動的加速度的大小.,擺線方程通常表成直角坐標形式.如圖1.16所示:,(1),上式為M點的運動學方程(直角坐標形式),稱為擺線(式旋輪線)參數(shù)方程.,積分得,(2),則(2)式為,將弧坐標原點移至4R處,上式為,(3),(3)式為以弧長為變量的擺線方程(軌跡方程),可見:切向加速度和法向加速度隨質點的位置改變變化,但總的加速度的大小是常量 ,例4 變質量

16、方塊串的運動。,解：以桌面上（水平方向）和豎直方向兩部分方塊串為研究對象，它們的質量在運動過程中不斷變化，是變質量運動問題，其運動方程分別為,（1）,（2）,在轉角處，方塊串微元,的運動方程為,（3）,代入（1）、（2）式，并相減，得,例5帶電粒子在電磁場中的運動,的電磁場中的運動規(guī)律。,，磁感應強度為,求電荷量為q，質量為m的帶電粒子在電場強度為,解：（1）帶電粒子在均勻恒定磁場中的運動, 運動方程,（1）,（2）,粒子受什么力作用？, 速度,（3）, 動能,或,（4）,即粒子的動能守恒（何故？）,方程（2）的分量式為,（5）,式中,（6）,稱為粒子的回旋頻率，是等粒子體物理學中一個重要的特

17、征量。, 運動軌跡,將（5）式中的第一、二兩式再對t求導，得,（）,（7）,積分可得,（）,（10）,回旋方向與q的正負有關（見圖1.18）,對于靜止觀察者：帶電粒子繞磁感應線作螺旋運動，其軌跡形成一個螺旋管（見圖1.19）,（2）帶電粒子在均勻恒定電磁場中的運動,設磁場和電場的方向為,牛頓力學方程的分量為,（11）,積分（11）中的第三式，很容易求得沿磁場方向的速度,（12）,上式表明帶電粒子沿磁場方向作勻加速度運動。,對t再求導一次，然后連續(xù)積分兩次，可得,（13）,（14）,地球是一個磁體，周圍有地磁場存在。地球的大氣層中有由大量的帶電粒子（電子、正離子、負離子）構成的電離層，電離層中的

18、帶電粒子的正負總電荷相等，但不是中性的而是呈電性的稱為等離子體。太陽也是由等離子體組成的，不斷從太陽吹向地球的所謂“太陽風”，實際上就是帶電粒子流，這些帶電粒子受到地磁場的作用時，形成豐富的物理現(xiàn)象。因此，本例討論的帶電粒子在電磁場中的運動是一個很有實際意義的力學問題。,1.5 解題指導,(1)習題類型及基本解法,牛頓動力學問題大體上分為兩類:,（2）解題的思路和步驟 確定研究對象，并隔離出來； 選取適當?shù)淖鴺讼担?對研究對象進行受力分析和運動分析； 根據(jù)已知條件和所求的量，確定解題方法，建立方程； 解方程，求出要求的量； 必要時對結果進行討論。,（3）范例,例1 質點在粘性介質中的運動。,（

19、1）,質量為m的質點無初速度地自離地面為h處豎直,初始條件為：t=0時，,，積分上式，得,（2）,（3）,討論：當t時，質點的速度,這時質點作勻速直線運動（為什么？）,解：在圖1.20的坐標系中，質點的運動微分方程為,（1）,（2）,積分（2）式得,討論：當t時，,1，故極限速度為,小結,求解物體在介質阻力作用下的運動問題需注意以下幾點：,1.介質對物體的阻力規(guī)律是很復雜的，因為阻力的大小與運動物體的形狀、大小和介質的物理性質（溫度、粘性系數(shù)、密度等）以及物體運動的速度有關，通常用下式表示：,。,例3 質點的約束運動,解：本題是質點的約束運動問題，屬動力學的逆問題。已知質點運動軌 跡，故采用自

20、然坐標法較簡便。,質點受哪些力作用？,如圖1.21，質點運動微分方程為,思考：式右邊為何為“-”？,由(2)式：,因,將、式代入式，得,在頂點O處：x=0，=0，所以,N=mg+mg=2mg,再分析兩個約束問題的例題。,例4 質點在重力作用下沿豎直平面內光滑的旋輪線運動.旋輪線的參數(shù)方程為,將式代入式,式為質點振動微分方程，式中,為圓頻率，則周期,解：采用自然坐標法.設t=0時，,積分式，得,因,弧坐標s=0.質點運動微分方程為,因,代入式，得,小結,應用自然坐標系的內稟方程求解約束運動問題時應注意以下幾點:,1.解約束問題的基本方法是:將約束去掉代之以相應的約束反力,從而把質點當自由質點處理

21、。,2.約束力的大小、方向和作用點隨約束物的性質、質點的運動狀態(tài)和質點所受的其他力而變。在理想約束下，約束力方向沿曲線或曲面的法線，因此，采用自然坐標系中的內稟方程較為簡便。因為約束力只在微分方程的法向分量中出現(xiàn)，這樣約束質點的運動規(guī)律和約束力可以分別在微分方程切向分量和法向分量中進行計算。這是用內稟方程解約束問題的優(yōu)點。,3.矢量在自然坐標系中切向和法向分量,內稟方程中的切向分力和法向分力可正可負。,設O1PM為OXY平面上任意曲線（質點 運動軌跡），如圖1.23所示，A為該平面上 任一矢量，則A的切向分量和法向分量分別為,（1）,的一般形式。,5.自然坐標系內稟方程符號規(guī)則。,（2）,（3）,此式為質點在重力和約束反力作用下內稟方程的一般式。按以上符號規(guī)則 選定切線和法線正向并確定內稟方程中各項的符號，其優(yōu)點是：,解：（1）用動量定理解,約束方程為,（3）,由（3）式，得,代入（2）式，得,（2）用動能定理和動量矩定理解,根據(jù)動能定理，有,由動量矩定理有,（4）,為常數(shù)，所以（4）式為,由（1）式,(3),（2）用動量矩定理和動量定理理解,在切向應用對O點的動量矩定理和在法向應用動