1、2005年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試卷一、選擇題：(每題7分，共42分)1、化簡：的結(jié)果是。a、無理數(shù)b、真分?jǐn)?shù)c、奇數(shù)d、偶數(shù)2、圓內(nèi)接四條邊長順次為5、10、11、14；則這個四邊形的面積為。a、78.5b、97.5c、90d、1023、設(shè)r4，a，b，c，則下列各式一定成立的是。a、abc b、bcac、cabd、cba4、圖中的三塊陰影部分由兩個半徑為1的圓及其外公切線分割而成，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這兩圓的公共弦長是。a、b、c、d、5、已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象如圖所示， y記p|abc|2ab|，q|abc|2ab|，則。a、pq b、pq c、p

2、bc b、bcac、cabd、cba解法1：用特值法，取r=4，則有a=，b ，ccba，選d解法2：a，bc解法3：r41cabq b、pq c、pq d、p、q大小關(guān)系不能確定解：由題意得：a0，c=0 p|ab|2ab|，q|ab|2ab|又p|ab|2ab|b-a+2a+b=a+2b=2b+a，q|ab|2ab|= abb-2a=2b-apq，選c 6、若x1，x2，x3，x4，x5為互不相等的正奇數(shù)，滿足(2005x1)(2005x2)(2005x3)(2005x4)(2005x5)242，則的未位數(shù)字是。a、1b、3c、5d、7解：因為x1，x2，x3，x4，x5為互不相等的正奇數(shù)

3、，所以(2005x1)、(2005x2)、(2005x3)、(2005x4)、(2005x5)為互不相等的偶數(shù)而將242分解為5個互不相等的偶數(shù)之積，只有唯一的形式：2422(-2)46(-6)所以(2005x1)、(2005x2)、(2005x3)、(2005x4)、(2005x5)分別等于2、(-2)、4、6、(-6)所以(2005x1)2(2005x2)2(2005x3) 2(2005x4) 2(2005x5) 222(-2) 24262(-6) 296展開得：二、填空題(共28分)1、不超過100的自然數(shù)中，將凡是3或5的倍數(shù)的數(shù)相加，其和為。解：(3132333)(5152520)(

4、151152156)1683105031524182、x。解：分子有理化得：x0，兩邊平方化簡得：再平方化簡得：3、若實數(shù)x、y滿足則xy。解法1：假設(shè)xya，則yax解法2：易知化簡得：4、已知銳角三角形abc的三個內(nèi)角a、b、c滿足：abc，用a表示ab，bc以及90a中的最小者，則a的最大值為。解：三、解答題(第1題20分，第2、3題各25分)1、a、b、c為實數(shù)，ac0，且，證明：一元二次方程ax2bxc0有大于而小于1的根。解：設(shè)一元二次方程ax2bxc0有大于而小于1的根.2、銳角abc中，abac，cd、be分別是ab、ac邊上的高，de 與bc的延長線于交于t，過d作bc的垂線

5、交be于f，過e作bc的垂線交cd于g，證明：f、g、t三點共線。證法1：設(shè)過d、e的垂線分別交bc于m、n，在rtbec 與rtbdc中，由射影定理得：ce2cncb，bd2bmbc又rtcng rtdcb，rtbmf rtbec，在rtbec 與rtbdc中，由面積關(guān)系得：beceenbc，bdcddmbc由(1)(2)得：證法2：設(shè)cd、be相交于點h，則h為abc的垂心，記df、eg、ah與bc的交點分別為m、n、rdmaren由合比定理得：證法3：在abc中，直線det分別交bc、ca、ab于t、e、d，由梅涅勞斯定理得：設(shè)cd、be相交于點h，則h為abc的垂心，ahbcdfbc、

6、egbcah df eg由梅涅勞斯定理的逆定理得：f、g、t三點共線.證法4：連結(jié)ft交en于g，易知為了證明f、g、t三點共線，只需證明即可又cdab、beca，b、d、e、c四點共圓abeacd(2)又(3)將(2) (3)代入（1）得：，故f、g、t三點共線.3、設(shè)a、b、c為正整數(shù)，且a2b3c4，求c的最小值。解：顯然c1.由題設(shè)得：(c2-a)(c2+a)=b3 若取由大到小考察b，使為完全平方數(shù)，易知當(dāng)b8時，c236，則c=6，從而a=28。下面說明c沒有比6更小的正整數(shù)解，列表如下：cc4x3(x3c4)c4-x32161,817,83811,8,27,6480,73,54,1742561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,4056251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113顯然，表中c4-x3的值均不是完全平方數(shù)。故c的最小值為6參考答