1、計數(shù)原理與排列組合2011201120112011高考導航高考導航高考導航高考導航考綱解讀考綱解讀考綱解讀考綱解讀1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理會用兩個原理分析和解決一些簡單的實際問題2.理解排列、組合的概念3.能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式4.能解決簡單的實際問題2011201120112011高考導航高考導航高考導航高考導航命題探究命題探究命題探究命題探究1.計數(shù)原理內(nèi)容考查比較穩(wěn)定，試題難度起伏不大；排列組合題目一般為選擇、填空題，考查排列組合的基礎(chǔ)知識、思維能力，多數(shù)試題與教材習題的難度相當，但也有個別題難度較大。2考查熱點為排列組合與兩個計數(shù)原理結(jié)合命題?；驹?/p>

2、理組合排列排列數(shù)公式組合數(shù)公式應(yīng)用問題1、知識結(jié)構(gòu)一。復習回顧2。分類記數(shù)原理，分步記數(shù)原理分步記數(shù)原理針對的是分步記數(shù)原理針對的是“分步分步”問題，各步方法相互問題，各步方法相互依存，只有各步都完成才能依存，只有各步都完成才能完成這件事。完成這件事。分類記數(shù)原理針對的是分類記數(shù)原理針對的是“分類分類”問題，其中各種方法問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種相互獨立，用其中任何一種方法都可完成這件事。方法都可完成這件事。區(qū)別完成一件事需要分成完成一件事需要分成nnnn個個步驟，第一步有步驟，第一步有mmmm1111種不同的種不同的方法，第二步有方法，第二步有mmmm2222種不同的種不同的

3、方法，方法，第，第nnnn步有步有mmmmnnnn種種不同的方法，那么完成這件不同的方法，那么完成這件事共事共N=mN=mN=mN=m1111mmmm2222mmmmnnnn有種不同的方法有種不同的方法。完成一件事可以有完成一件事可以有nn類類辦法，在第一類中有辦法，在第一類中有mm11種不種不同的方法，在第二類中有同的方法，在第二類中有mm22種不同的方法，種不同的方法，在第，在第nn類辦法中有類辦法中有mmnn種不同的方種不同的方法，那么完成這件事共法，那么完成這件事共N=N=mm11+m+m22+mmnn有種不同的方有種不同的方法。法。原理分步記數(shù)原理分類記數(shù)原理公式看取出的兩個元素互換

4、位置是否為同一種方看取出的兩個元素互換位置是否為同一種方法，若不是，則是排列問題；若是，則是組合。法，若不是，則是排列問題；若是，則是組合。判定與順序無關(guān)與順序有關(guān)區(qū)別從從nnnn個個不同不同的元素中，的元素中，任取任取mmmm（mmmmnnnn）個）個不不同同的元素并成一組，的元素并成一組，叫做從叫做從nnnn個不同的元素個不同的元素中取出中取出mmmm個不同的元個不同的元素的一個素的一個組合組合。從從nnnn個個不同不同元素中，任取元素中，任取m(mm(mm(mm(mnnnn)個個不同不同元素按元素按照一定順序排成一列，照一定順序排成一列，叫做從叫做從nnnn個不同元素中取個不同元素中取出

5、出mmmm個不同元素的一個個不同元素的一個排排列列。定義組合排列)1()2)(1(+=mnnnnAmn)!(!mnn=!)1()2)(1(mmnnnnmnC+=()!mmnn=3。排列與組合4。解排列組合問題基本思路排列組合問題有序無序排列組合分類或分步分類或分步直接法直接法間接法不易解不易解5。解排列組合問題的常見方法（1）特殊元素（位置）優(yōu)先安排。（2）多個限定條件或含“至多”、“至少”問題，合理分類合理分步。（3）排列組合混合問題一般要先組合后排列，先整體后局部。（4）正難則反，等價轉(zhuǎn)化。（5）相鄰問題，捆綁法。（6）不相鄰問題，插空法。（7）定序問題、平均分組問題用除法。（8）相同物品

6、分配問題、名額分配問題用隔板法。（9）數(shù)的大小排列問題，查字典法。（10）可重復元素排列問題，住店法.基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理二、題型與方法【例例例例1111】如如圖，用圖，用5555種不同的顏色給圖中種不同的顏色給圖中AAAA、BBBB、CCCC、DDDD四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？同，求有多少種不同的涂色方法？題型1涂色問題解法一解法一（分步法）如題圖分四個步驟來完成涂色這件事（分步法）如題圖分四個步驟來完成涂色這件事需分為四步，第一步涂需分為四步，第一步涂

7、AAAA區(qū)有區(qū)有5555種涂法；第二步涂種涂法；第二步涂BBBB有有4444種種方法；第三步涂方法；第三步涂CCCC有有3333種方法；第四步涂種方法；第四步涂DDDD有有3333種方法種方法(還可還可以使用涂以使用涂AAAA的顏色的顏色)，根據(jù)分步計數(shù)原理共有，根據(jù)分步計數(shù)原理共有5555444433333333180180180180種涂色方法種涂色方法解法二解法二：由于：由于AAAA、BBBB、CCCC兩兩相鄰，因此三個區(qū)域的顏色兩兩相鄰，因此三個區(qū)域的顏色互不相同，共有互不相同，共有60606060種涂法；又種涂法；又DDDD與與BBBB、CCCC相鄰、因此相鄰、因此DDDD有有333

8、3種涂法；由分步計數(shù)原理知共有種涂法；由分步計數(shù)原理知共有606060603333180180180180種涂法種涂法2011201120112011高考導航高考導航高考導航高考導航解法三（分類法）：完成涂色的方法分為兩類，第一類：解法三（分類法）：完成涂色的方法分為兩類，第一類：四個區(qū)域涂四種不同的顏色共有四個區(qū)域涂四種不同的顏色共有120120120120種涂法；種涂法；第二類：四個區(qū)域涂三種不同的顏色，由于第二類：四個區(qū)域涂三種不同的顏色，由于AAAA、DDDD不不相鄰只能是相鄰只能是AAAA、DDDD兩區(qū)域顏色一樣，將兩區(qū)域顏色一樣，將AAAA、DDDD看做一個區(qū)看做一個區(qū)域，共域，共

9、60606060種涂法種涂法由分類計數(shù)原理知共有涂法由分類計數(shù)原理知共有涂法12012012012060606060180(180(180(180(種種)方法總結(jié)：方法總結(jié)：對涂色問題，有兩種解法，法對涂色問題，有兩種解法，法1111是逐區(qū)圖示法，注意不是逐區(qū)圖示法，注意不相鄰可同色相鄰可同色.法法2222根據(jù)用色多少分類法根據(jù)用色多少分類法.變式變式1111如下圖，一個地區(qū)分為如下圖，一個地區(qū)分為5555個行政區(qū)，現(xiàn)給地圖著色，要個行政區(qū)，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4444種顏色可供選種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有擇，則不同的著色方

10、法共有_種種(以數(shù)字作答以數(shù)字作答)答案：答案：答案：答案：72727272題型2可重復元素排列問題【例例例例2222】若若AAAAaaaa1111，aaaa2222，aaaa3333，aaaa4444，BBBBbbbb1111，bbbb2222，bbbb3333試試問從問從AAAA到到BBBB可建立多少種可建立多少種不同的映射？不同的映射？解答：（解答：（住店法住店法）完成建立一個從）完成建立一個從AAAA到到BBBB的映射需要分成的映射需要分成四步，第一步：四步，第一步：aaaa1111與與BBBB中唯一的元素對應(yīng)有中唯一的元素對應(yīng)有3333種方法；第二種方法；第二步：步：aaaa2222

11、與與BBBB中唯一的元素對應(yīng)有中唯一的元素對應(yīng)有3333種方法；種方法；第三步：第三步：aaaa3333與與BBBB中唯一的元素對應(yīng)有中唯一的元素對應(yīng)有3333種方法；種方法；第四步：第四步：aaaa4444與與BBBB中唯一的中唯一的元素對應(yīng)有元素對應(yīng)有3333種方法由分步計數(shù)原理，可建立從種方法由分步計數(shù)原理，可建立從AAAA到到BBBB的的映射共有映射共有3434343481(81(81(81(個個)方法小節(jié)：方法小節(jié)：解決解決“允許重復排列問題允許重復排列問題”常用常用“住店法住店法”，要注意，要注意區(qū)分兩類元素：區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復，另一類不能重一類元素可以重復，另一類不能

12、重復，把不能重復的元素看作復，把不能重復的元素看作“客客”，能重復的元素看，能重復的元素看作作“店店”，再利用乘法原理直接求解。，再利用乘法原理直接求解。變式變式變式變式2.2.2.2.1.1.1.1.五五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多名方法的種數(shù)為多少？五名學生爭奪四項比賽的冠軍少？五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列冠軍不并列)，獲得冠軍的可能性有多少種？，獲得冠軍的可能性有多少種？解答：解答：解答：解答：報報名的方法種數(shù)為名的方法種數(shù)為4444444444444444444444445555(種種)獲得冠獲得冠軍

13、的可能情況有軍的可能情況有555555555555555555554444(種種).).).).2222.將將3333種作物種植在如下圖的種作物種植在如下圖的5555塊試驗田里，每塊塊試驗田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共有物，不同的種植方法共有_種種(以數(shù)字作答以數(shù)字作答)解析：解析：解析：解析：33332222222222222222222242.42.42.42.答案：答案：答案：答案：42424242題型3在與不在的排序問題常見的排列問題有三種：常見的排列問題有三種：(1)(1)(1)(1)排隊；排隊；(2)(

14、2)(2)(2)排數(shù)；排數(shù)；(3)(3)(3)(3)排課程排課程表對于表對于“在在”或者或者“不在不在”的排列問題的計算方法主要的排列問題的計算方法主要是：是：(1)(1)(1)(1)位置優(yōu)先法；位置優(yōu)先法；(2)(2)(2)(2)元素優(yōu)先法；元素優(yōu)先法；(3)(3)(3)(3)間接計算法間接計算法【例例3333】甲、乙、丙、丁四名同學排成一排，分別計甲、乙、丙、丁四名同學排成一排，分別計算滿足下列條件的排法種數(shù)算滿足下列條件的排法種數(shù)(1)(1)(1)(1)甲不在排頭、乙不在排尾；甲不在排頭、乙不在排尾；(2)(2)(2)(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、甲不在第一位、乙不在第

15、二位、丙不在第三位、丁不在第四位；丁不在第四位；(3)(3)(3)(3)甲一定在乙的右端甲一定在乙的右端(可以不鄰可以不鄰)解答：解答：(1)(1)(1)(1)（直接法）分為兩類，第一類甲排在排尾共直接法）分為兩類，第一類甲排在排尾共有有6666種排法，第二類，若甲在排尾共有種排法，第二類，若甲在排尾共有8888種排法，由分類計數(shù)原理知共有：種排法，由分類計數(shù)原理知共有：14(14(14(14(種種)也可間接計算：也可間接計算：14(14(14(14(種種)（2）（樹圖法）位置1乙丙丁2甲丁丙甲丁甲丙3丁甲丁丁乙甲乙乙甲4丙丙甲乙甲乙丙甲乙由樹圖可知有9種不同排法.（3333）可先排丙、丁有）

16、可先排丙、丁有種排法，則甲、乙只有一種排種排法，則甲、乙只有一種排法，由分步計數(shù)原理滿足條件的排列共有法，由分步計數(shù)原理滿足條件的排列共有111112(12(12(12(種種)或看作定序問題或看作定序問題12.12.12.12.方法總結(jié)(2).位置分析法,在解有限定位置的排列問題時，首先考慮特殊位置的安排方法，再考慮其他位置的排法。(3).間接法又叫排除法，在解有限定條件的排列問題時，首先求出不加限定條件的排列數(shù)，再減去不符合條件的排列數(shù)。(1).元素分析法,在解有限定元素的排列問題時，首先考慮特殊元素的安排方法，再考慮其他元素的排法。(4)樹圖法又稱框圖法，用樹圖或框圖列出所有排列（或組合）

17、，從而求出排列數(shù)。是解決多個限定條件的排列組合問題的常用法.(5)消序法，定序問題、部分相同元素排列問題、平均分組問題常用此法，先將所有元素全排列，再將特殊元素在其位置上換位情況消去（通常除以特殊元素的全排列數(shù)），只保留指定的一種順序。變式變式變式變式3.3.3.3.(1)1)1)1)從從66人人中選中選4444人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這一個城市，且這6666個人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不個人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有同的選

18、擇方案共有()AAAA300300300300種種BBBB240240240240種種CCCC144144144144種種DDDD96969696種種(2)2)2)2)安排安排5555名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最后一個出場，不同排法的種數(shù)個出場，另一名歌手不最后一個出場，不同排法的種數(shù)是是_(用數(shù)字作答用數(shù)字作答)解析解析解析解析：(1)(1)(1)(1)240.(2)240.(2)240.(2)240.(2)答案：答案：答案：答案：(1)B(1)B(1)B(1)B(2)78(2)78(2)78(2)78題型4排列中的“相鄰

19、”、“不相鄰問題”【例例例例4444】aaaa1111，aaaa2222，aaaa8888共八個元素共八個元素，分別計算滿足下列，分別計算滿足下列條件的排列數(shù)條件的排列數(shù)(1)(1)(1)(1)八個元素排成一排，且八個元素排成一排，且aaaa1111，aaaa2222，aaaa3333，aaaa4444四個元素排在一四個元素排在一起；起；(2)2)2)2)八個元素排成一排，且八個元素排成一排，且aaaa1111，aaaa2222，aaaa3333，aaaa4444四個元素互不相四個元素互不相鄰；鄰；(3)3)3)3)八個元素排成一排，且八個元素排成一排，且aaaa1111，aaaa2222，a

20、aaa3333，aaaa4444四個元素互不相四個元素互不相鄰，并且鄰，并且aaaa5555，aaaa6666，aaaa7777，aaaa8888也互不相鄰；也互不相鄰；(4)4)4)4)排成前后兩排每排四個元素排成前后兩排每排四個元素解答：解答：解答：解答：(1)1)1)1)（捆綁法捆綁法）先將aaaa1111，aaaa2222，aaaa3333，aaaa4444四個元素看成一四個元素看成一個元素個元素與與aaaa5555，aaaa6666，aaaa7777，aaaa8888排列一排，有排列一排，有種排法，再排種排法，再排aaaa1111，aaaa2222，aaaa3333，aaaa4444

21、有不同排法，根據(jù)分步計數(shù)原理知滿足條件分步計數(shù)原理知滿足條件的排列數(shù)為的排列數(shù)為2880.2880.2880.2880.55A44A55A44A(2)(2)(2)(2)(插空法插空法）先排）先排aaaa5555，aaaa6666，aaaa7777，aaaa8888四個元素排成一排，四個元素排成一排，有有種排法；再將元素種排法；再將元素aaaa1111，aaaa2222，aaaa3333，aaaa4444插入由插入由aaaa5555，aaaa6666，aaaa7777，aaaa8888間隔及兩端的五個位置中的四個，有間隔及兩端的五個位置中的四個，有種排法，根據(jù)分種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理知：滿足條

22、件的排列數(shù)為步計數(shù)原理知：滿足條件的排列數(shù)為2880.2880.2880.2880.44A45A44A45A(3)3)3)3)先先排排aaaa5555，aaaa6666，aaaa7777，aaaa8888，；共有；共有種排種排法；然后排法；然后排aaaa1111，aaaa2222，aaaa3333，aaaa4444排在排在或或中中的的共有共有2222種排法；根據(jù)分步計數(shù)原理共有種排法；根據(jù)分步計數(shù)原理共有22221152115211521152種排法種排法(4)(4)(4)(4)前排有前排有種排法，后排有種排法，后排有種排法，由分步計數(shù)原種排法，由分步計數(shù)原理知共有理知共有8888！種排法！種

23、排法44A44A44A44A48A44A44A48A方法總結(jié)（1）若某些元素必須相鄰，常用捆綁法，即先把這幾個相鄰元素捆在一起看成一個元素，再與其他元素全排列，最后再考慮這幾個相鄰元素的順序。（2）若某些元素不相鄰，常用插空法，即先將普通元素全排列，然后再從排就的每兩個元素之間及兩端選出若干個空擋插入這些特殊元素。(3)前后排問題，直排法.變式變式變式變式44444444個男個男同學，同學，3333個女同學站成一排個女同學站成一排(1)3(1)3(1)3(1)3個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？個女同學必須排在一起，有多少種不同的排法？(2)(2)(2)(2)任何兩個女同學彼此不相鄰，

24、有多少種不同的排任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？法？(3)(3)(3)(3)其中甲、乙兩同學之間必須恰有其中甲、乙兩同學之間必須恰有3333人，有多少種不人，有多少種不同的排法？同的排法？(4)(4)(4)(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？同的排法？(5)5)5)5)女同學從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排女同學從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？法？(3(3(3(3個女生身高互不相等個女生身高互不相等)解答：解答：解答：解答：(1)3(1)3(1)3(1)3個女個女同學是特殊元素，我們先把她們排好，共同

25、學是特殊元素，我們先把她們排好，共有有種排法；由于種排法；由于3333個女同學必須排在一起，我們可視排個女同學必須排在一起，我們可視排好的女同學為一整體，再與男同學排隊，這時是好的女同學為一整體，再與男同學排隊，這時是5555個元素個元素的全排列，應(yīng)有的全排列，應(yīng)有種排法，由分步計數(shù)的原理種排法，由分步計數(shù)的原理,有有720720720720種不同排法種不同排法(2)(2)(2)(2)先將男生排好，共有先將男生排好，共有種排法，再在這種排法，再在這4444個男生的中間個男生的中間及兩頭的及兩頭的5555個空檔中插入個空檔中插入3333個女生有個女生有種方案，故符合條種方案，故符合條件的排法共有

26、件的排法共有1111440440440440種不同排法種不同排法55A(3)(3)(3)(3)甲、乙甲、乙2222人先排好，有人先排好，有種排法，再從余下種排法，再從余下5555人中選人中選3333人人排在甲、乙排在甲、乙2222人中間，有人中間，有種排法，這時把已排好的種排法，這時把已排好的5555人視人視為一整體，與最后剩下的為一整體，與最后剩下的2222人再排，又有人再排，又有種排法，這樣種排法，這樣總共有總共有720720720720種不同排法種不同排法(4)(4)(4)(4)先排甲、乙和丙先排甲、乙和丙3333人以外的其他人以外的其他4444人，有人，有種排法；由種排法；由于甲、乙要

27、相鄰，故再把甲、乙排好，有于甲、乙要相鄰，故再把甲、乙排好，有種排法；最后種排法；最后把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的把甲、乙排好的這個整體與丙分別插入原先排好的4444人的人的空檔中有空檔中有種排法這樣，總共有種排法這樣，總共有960960960960種不同種不同排法排法(5)(5)(5)(5)從從7777個位置中選出個位置中選出4444個位置把男生排好，則有個位置把男生排好，則有種排種排法然后再在余下的法然后再在余下的3333個空位置中排女生，由于女生要按個空位置中排女生，由于女生要按身體高矮排列，故僅有一種排法這樣總共有身體高矮排列，故僅有一種排法這樣總共有840840840

28、840種不同排法種不同排法.題型5組合問題【例例5555】7777個相同的小球，任意放入個相同的小球，任意放入4444個不同的盒子中，試個不同的盒子中，試問：問：(1)(1)(1)(1)每個盒子都不空的放法共有多少種？每個盒子都不空的放法共有多少種？(2)(2)(2)(2)某些盒子可空的放法共有多少種？某些盒子可空的放法共有多少種？解析（1）將7個相同小球，放入4個不同盒子，每個盒子不空，即相當于把7個相同小球分成4組，每組都有小球，一種分法對應(yīng)一種放法，先將7個小球排成一排有1種排法，在小球的中間的6個空擋中選3個放入隔板，有放法，故滿足條件放法共有種.36C(2)將7個相同小球，放入4個不同盒子，某些盒子可空，