1、1 有一彈簧，當(dāng)其下端掛一質(zhì)量為m的物體時(shí)，伸長(zhǎng)量為9.8 102 m。若使物體上下振動(dòng)，且規(guī)定向下為正方向。（1）t = 0時(shí)，物體在平衡位置上方8.0 102 m處，由靜止開(kāi)始向下運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程。（2）t = 0時(shí)，物體在平衡位置并以0.60 m/s的速度向上運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)方程。題1分析：求運(yùn)動(dòng)方程，也就是要確定振動(dòng)的三個(gè)特征物理量a、，和。 其中振動(dòng)的角頻率是由彈簧振子系統(tǒng)的固有性質(zhì)（振子質(zhì)量m及彈簧勁度系數(shù)k）決定的，即，k可根據(jù)物體受力平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)來(lái)計(jì)算；振幅a和初相需要根據(jù)初始條件確定。 解：物體受力平衡時(shí)，彈性力f與重力p的大小相等，即f = mg。 而此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量。 則

2、彈簧的勁度系數(shù)。 系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率為 （1）設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)，物體所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下為x軸正向。 由初始條件t = 0時(shí)，可得振幅；應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可確定初相。則運(yùn)動(dòng)方程為 （2）t = 0時(shí)，同理可得，；則運(yùn)動(dòng)方程為2某振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的xt曲線(xiàn)如圖所示，試求：（1）運(yùn)動(dòng)方程；（2）點(diǎn)p對(duì)應(yīng)的相位；（3）到達(dá)點(diǎn)p相應(yīng)位置所需要的時(shí)間。題2分析：由已知運(yùn)動(dòng)方程畫(huà)振動(dòng)曲線(xiàn)和由振動(dòng)曲線(xiàn)求運(yùn)動(dòng)方程是振動(dòng)中常見(jiàn)的兩類(lèi)問(wèn)題。 本題就是要通過(guò)xt圖線(xiàn)確定振動(dòng)的三個(gè)特征量量a、，和，從而寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程。 曲線(xiàn)最大幅值即為振幅a；而、通?？赏ㄟ^(guò)旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法解出，一般采用旋轉(zhuǎn)矢量法比較方便 。解：（1）質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)

3、振幅a = 0.10 m。 而由振動(dòng)曲線(xiàn)可畫(huà)出t = 0和t = 4s時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量，如圖所示。 由圖可見(jiàn)初相，而由得，則運(yùn)動(dòng)方程為 （2）圖（a）中點(diǎn)p的位置是質(zhì)點(diǎn)從a/2處運(yùn)動(dòng)到正向的端點(diǎn)處。 對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示。 當(dāng)初相取時(shí)，點(diǎn) p的相位為）。 （3）由旋轉(zhuǎn)關(guān)量圖可得，則（如果初相取，則點(diǎn)p相應(yīng)的相位應(yīng)表示為3 點(diǎn)作同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)自振動(dòng)正方向回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)恰在振動(dòng)正方向的端點(diǎn)。試用旋轉(zhuǎn)矢量圖表示它們，并求第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程及它們的相位差。題3.解：圖為兩質(zhì)點(diǎn)在特定時(shí)刻t的旋轉(zhuǎn)矢量圖，om表示第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量；on表示

4、第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量。 可見(jiàn)第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位比第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)超前，即它們的相位差。第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為4波源作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，它所形成的波形以30 m/s的速度沿一直線(xiàn)傳播。（1）求波的周期及波長(zhǎng)；（2）寫(xiě)出波 動(dòng)方程。解：（1）由已知的運(yùn)動(dòng)方程可知，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的角頻率。根據(jù)分析中所述，波的周期就是振動(dòng)的周期，故有波長(zhǎng)為(2) 將已知的波源運(yùn)動(dòng)方程與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的一般形式比較后可得故以波源為原點(diǎn)，沿x軸正向傳播的波的波動(dòng)方程為5波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為，以它經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)為時(shí)間起點(diǎn)，若此振動(dòng)以u(píng) = 400 m/s的速度沿直線(xiàn)傳播。求：（1）距離波源8.0 m處質(zhì)點(diǎn)p的運(yùn)

5、動(dòng)方程和初相；（2）距離波源9.0 m和10.0 m處兩點(diǎn)的相位差。解：在確知角頻率、波速和初相的條件下，波動(dòng)方程位于 xp = 8.0 m處，質(zhì)點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)方程為該質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相。而距波源9.0 m和 10.0 m兩點(diǎn)的相位差為如果波源初相取，則波動(dòng)方程為質(zhì)點(diǎn)p振動(dòng)的初相也變?yōu)?，但波線(xiàn)上任兩點(diǎn)間的相位差并不改變。6平面簡(jiǎn)諧波以波速u(mài) = 0.5 m/s沿ox軸負(fù)方向傳播，在t = 2 s時(shí)的波形圖如圖所示。求原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。題6分析：從波形圖中可知振幅a、波長(zhǎng)和頻率。由于圖（a）是t = 2 s時(shí)刻的波形曲線(xiàn)，因此確定t = 0時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的初相就成為本題求解的難點(diǎn)。求t = 0時(shí)的初相有多種

6、方法。下面介紹波形平移法、波的傳播可以形象地描述為波形的傳播。由于波是沿 ox軸負(fù)向傳播的，所以可將t = 2 s時(shí)的波形沿ox軸正向平移，即得到t = 0時(shí)的波形圖，再根據(jù)此時(shí)點(diǎn)o的狀態(tài)，用旋轉(zhuǎn)關(guān)量法確定其初相位。解：由圖得知彼長(zhǎng)，振幅a = 0.5 m。角頻率。按分析中所述，從圖可知t = 0時(shí)，原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置。并由旋轉(zhuǎn)矢量圖得到，則所求運(yùn)動(dòng)方程為 7. 牛頓環(huán)裝置中，透鏡的曲率半徑r = 40 cm，用單色光垂直照射，在反射光中觀察某一級(jí)暗環(huán)的半徑r = 2.5 mm?，F(xiàn)把平板玻璃向下平移，上述被觀察暗環(huán)的半徑變?yōu)楹沃担?. 在折射率的照相機(jī)鏡頭表面涂有一層折射率的mgf2增透

7、膜，若此膜僅適用于波長(zhǎng)的光，則此膜的最小厚度為多少？解：（解法一）因干涉的互補(bǔ)性，波長(zhǎng)為550nm的光在透射中得到加強(qiáng)，則在反射中一定減弱，兩反射光的光程差，由干涉相消條件，得 取k = 0，則（解法二）由于空氣的折射率nl = 1，且有n1n2n3，則對(duì)透射光而言，兩相干光的光程差，由干涉加強(qiáng)條件，得，取k = l，則膜的最小厚度9. 如圖所示，狹縫的寬度 b = 0.60 mm，透鏡焦距f = 0.40 m，有一與狹縫平行的屏放置在透鏡焦平面處。若以單色平行光垂直照射狹縫，則在屏上離點(diǎn)o為x = 1.4 mm處的點(diǎn) p，看到的是衍射明條紋。試求：（1）該入射光的波長(zhǎng)；（2）點(diǎn)p條紋的級(jí)數(shù)；

8、（3）從點(diǎn)p看來(lái)對(duì)該光波而言，狹縫處的波陣面可作半波帶的數(shù)目。題9分析：?jiǎn)慰p衍射中的明紋條件為，在觀察點(diǎn)p 確定（即確定）后，由于k只能取整數(shù)值，故滿(mǎn)足上式的只可取若干不連續(xù)的值，對(duì)照可見(jiàn)光的波長(zhǎng)范圍可確定入射光波長(zhǎng)的取值。此外，如點(diǎn)p處的明紋級(jí)次為k，則狹縫處的波陣面可以劃分的半波帶數(shù)目為（2k l），它們都與觀察點(diǎn)p有關(guān)，越大，可以劃分的半波帶數(shù)目也越大。解：（l）透鏡到屏的距離為d，由于d b，對(duì)點(diǎn)p 而言，有。根據(jù)單縫衍射明紋條件 ，有 將b、d（)、x的值代入，并考慮可見(jiàn)光波長(zhǎng)的上、下限值，有 時(shí)， 時(shí)，因k只能取整數(shù)值，故在可見(jiàn)光范圍內(nèi)只允許有 k = 4和 k = 3，它們所對(duì)應(yīng)

9、的入射光波長(zhǎng)分別為= 466.7 nm和= 600 nm。（2）點(diǎn)p的條紋級(jí)次隨入射光波長(zhǎng)而異，當(dāng)= 600 nm時(shí)，k = 3；當(dāng)= 466.7 nm時(shí)， k = 4。（3）當(dāng)= 600 nm時(shí)，k = 3，半波帶數(shù)目為（2kl）= 7；當(dāng)= 466.7 nm時(shí)，k = 4，半波帶數(shù)目為9。10為了測(cè)定一光柵的光柵常數(shù)，用= 632.8 nm的單色平行光垂直照射光柵，已知第一級(jí)明條紋出現(xiàn)在38的方向，試問(wèn)此光柵的光柵常數(shù)為多少？第二級(jí)明條紋出現(xiàn)在什么角度？若使用此光柵對(duì)某單色光進(jìn)行同樣的衍射實(shí)驗(yàn)，測(cè)得第一級(jí)明條紋出現(xiàn)在270的方向上，問(wèn)此單色光的波長(zhǎng)為多少？對(duì)此單色光，最多可看到第幾級(jí)明條紋

10、？解：由題意知，在= 632.8 nm， k = 1時(shí)，衍射角= 380，由光柵方程可得光柵常數(shù) k = 2時(shí)，因，第二級(jí)明紋（即k = 2）所對(duì)應(yīng)的衍射角不存在，因此用此波長(zhǎng)的光照射光柵不會(huì)出現(xiàn)第二級(jí)明紋。若用另一種波長(zhǎng)的光照射此光柵，因第一級(jí)明紋出現(xiàn)在的方向上，得 令，可得用此波長(zhǎng)光照射時(shí)，屏上出現(xiàn)的最大條紋級(jí)次為 因k只能取整數(shù)，則km = 2，故最多只能看到第二級(jí)明紋。11測(cè)得一池靜水的表面反射出來(lái)的太陽(yáng)光是線(xiàn)偏振光，求此時(shí)太陽(yáng)處在地平線(xiàn)的多大仰角處？（水的折射率為1.33）(36.9o)12一束光是自然光和線(xiàn)偏振光的混合，當(dāng)它通過(guò)一偏振片時(shí)，發(fā)現(xiàn)透射光的強(qiáng)度取決于偏振片的取向，其強(qiáng)度

11、可以變化5倍，求入射光中兩種光的強(qiáng)度各占總?cè)肷涔鈴?qiáng)度的幾分之幾。解：設(shè)入射混合光強(qiáng)為i，其中線(xiàn)偏振光強(qiáng)為xi，自然光強(qiáng)為（1-x）i。按題意旋轉(zhuǎn)偏振片，則有：最大透射光強(qiáng)。 最小透射光強(qiáng)。 按題意，imax/imin = 5，則有 解得 即線(xiàn)偏振光占總?cè)肷涔鈴?qiáng)的23，自然光占13。13用波長(zhǎng)為589.3 nm的鈉黃光觀察牛頓環(huán)，測(cè)得某一明環(huán)的半徑為1.0103 m，而其外第四個(gè)明環(huán)的半徑為3.0103 m，求平凸透鏡凸面的曲率半徑。（3.39m）14 自然光射到平行平板玻璃上，反射光恰為線(xiàn)偏振光，且折射光的折射角為32o，試求：（1） 自然光的入射角； （2） 玻璃的折射率； （3） 玻璃下表

12、面的反射光、透射光的偏振狀態(tài)。解 （1）由布儒斯特定律知，反射光為線(xiàn)偏振光時(shí)，反射光與折射光垂直，即 所以自然光的入射角 （2） 根據(jù)布儒斯特定律，其中，所以玻璃折射率為（3） 在玻璃片下表面，入射角等于，折射角等于， 因?yàn)?所以 因此下表面的反射光也是線(xiàn)偏振光，振動(dòng)方向垂直入射面，玻璃片的透射光還是部分偏振光，不過(guò)偏振度比在玻璃中更大了。如圖所示，在楊氏實(shí)驗(yàn)中，入射光的波長(zhǎng)為 。今將折射率 的薄玻璃片覆蓋在狹縫 上，這時(shí)觀察到屏幕上零級(jí)明條紋向上移到原來(lái)的第7級(jí)明條紋處。求此玻璃片厚度。解：在未覆蓋玻璃片時(shí)，屏幕上第7級(jí)明條紋位于 處，兩相干光在 處的光程差應(yīng)滿(mǎn)足把玻璃片覆蓋在 縫上時(shí)，零級(jí)明條紋移到處，設(shè)玻璃片厚度為，則兩束相干光在處的光程差應(yīng)滿(mǎn)足將 代入上式，則由此解算出在空氣中垂直入射的白光從肥皂膜上反射，對(duì)波長(zhǎng)為的