1、2.3.1平面向量基本定理,2.3.2平面向量正交分解及坐標(biāo)表示,一般地,實(shí)數(shù) 與向量 的積是一個(gè)向量,記作:,(1) (2)當(dāng) 時(shí), 的方向與 的方向相同; 當(dāng) 時(shí), 的方向與 的方向相同; (3)當(dāng) 時(shí),或 時(shí),復(fù)習(xí)提問(wèn),一、數(shù)乘的定義：,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下:,二、數(shù)乘的運(yùn)算律：,1. 定理:向量 與非零向量 共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) ,使得.,三、向量共線的充要條件：,2).證明 三點(diǎn)共線:,直線AB直線CD,利用向量共線定理，能方便地證明幾何中的三點(diǎn)共線和兩直線平行問(wèn)題.但要注意的是:向量平行和直線平行在重合概念上有區(qū)別.一般說(shuō)兩直線平行不包含兩直線重合,而兩向量平行則含兩

2、向量重合.,2. 定理的應(yīng)用：,1).證明 向量共線,3).證明 兩直線平行:,AB與CD不在同一直線上,研究,N,M,平面向量基本定理,a = +,（1）一組平面向量的基底有多少對(duì)？,（有無(wú)數(shù)對(duì)）,思考,E,F,思考,(2)若基底選取不同，則表示同一 向量的實(shí)數(shù) 、 是否相同？,（可以不同，也可以相同）,(1)不共線的向量 叫做這一平面內(nèi)所有向量 的一組基底;,平面向量基本定理:,(4)基底給定時(shí),分解形式唯一.,(2)基底不唯一;,如果 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量 ,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) , 使,(3) 任一向量 都可以沿兩個(gè)不共線的方向（ 的 方向）分解成兩個(gè)向

3、量（ ）和的形式；,說(shuō)明：,向量的夾角,兩個(gè)非零向量 和 ，作 ，,與 反向,則 叫做向量 和 的夾角,記作,與 垂直，,注意:在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是同起點(diǎn)的,與 同向,例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 .,e1,e2,O,C,B,向量的正交分解,在平面上，如果選取互相垂直的向量作為基底時(shí)，會(huì)為我們研究問(wèn)題帶來(lái)方便,平面向量的坐標(biāo)表示,平面內(nèi)的任一向量 , 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使 成立,則稱（x，y）是向量 的坐標(biāo),如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸正方向 同向的兩個(gè)單位向量 作基底.,記作：,（1）與 相等的向量的坐標(biāo)均為（x, y),注意：,(

4、4)如圖以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作 ，點(diǎn)A的位置 被 唯一確定.,平面向量的坐標(biāo)表示,(x, y),A,此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)即為 的坐標(biāo),（5）區(qū)別點(diǎn)的坐標(biāo)和向量坐標(biāo),相等向量的坐標(biāo)是相同的,但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同,（1）與 相等的向量的坐標(biāo)均為（x, y),注意：,（3）兩個(gè)向量 相等的充要條件：,(6),例1如圖，用基底 ， 分別表示向量 并求它們的坐標(biāo),解：由圖可知,同理，,平面向量的坐標(biāo)表示,A1,A,A2,課后作業(yè): 作業(yè)本,小結(jié)回顧,一、對(duì) 平面向量基本定理 的理解： e1 ,e2是平面向量?jī)?nèi)兩個(gè)不共線的固定向量，則任意向量a可以在這兩個(gè)向量的方向上進(jìn)行分解。 當(dāng)|e1|=|e2|=1且e1與e2垂直時(shí)，就可以建立直角坐標(biāo)系，這為下一節(jié)學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示奠定了基礎(chǔ)。,二、兩類問(wèn)題： 1.用一組基底表示任一向量 2.由一組基底的線性組合求作向量,作業(yè)：習(xí)題5.3 P110-6,7,