1、營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,1.定義:,冪 級(jí) 數(shù),一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,2.收斂點(diǎn)與收斂域:,3.和函數(shù):,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,(定義域是?),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和,余項(xiàng),注意,(x在收斂域上),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問(wèn)題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題.,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,由達(dá)朗貝爾判別法,原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.,原級(jí)數(shù)發(fā)散.,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,收斂;,發(fā)散;,二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性,1.定義:,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 5435662

2、1,2.收斂性:,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證明,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,由(1)結(jié)論,幾何說(shuō)明,發(fā)散區(qū)域,發(fā)散區(qū)域,收斂區(qū)域,這是冪級(jí)數(shù)收斂的特性,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,推論,定義: 正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，,收斂域 = 收斂區(qū)間 + 收斂的端點(diǎn),可能是,規(guī)定,問(wèn)題,如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證明,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,由比值審斂法,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356

3、621,定理證畢.,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,若,在 x0 處收斂,則,在 x0 處發(fā)散,若,則,若,在 x0 處條件收斂,則,這是冪級(jí)數(shù)收斂的特性,注,利用該定理求收斂半徑要求所有的,或只有有限個(gè),營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例2 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:,解,該級(jí)數(shù)收斂,該級(jí)數(shù)發(fā)散,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,發(fā)散,收斂,故收斂區(qū)間為(0,1.,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,如缺項(xiàng)，,則,必不存在，,但冪級(jí)數(shù)并不是沒(méi)有收斂半徑，此時(shí)不能,套用定理，可考慮直接用比值

4、法或根值法求收斂半徑,例3,已知冪級(jí)數(shù),的收斂半徑R=1,求,的收斂半徑,解,任取,由,收斂知,注：,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,由檢比法易得,收斂,故由比較審斂法知,在,故收斂半徑,內(nèi)絕對(duì)收斂,注意收斂半徑為1，并不意味著,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算,1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):,(1) 加減法,(其中,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,(2) 乘法,(其中,(3) 除法,(相除后的收斂區(qū)間比原來(lái)兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多),營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):,(收斂半徑不變),營(yíng)口地區(qū)成人高等

5、教育 QQ群 54356621,(收斂半徑不變),解,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,兩邊積分得,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例5,求和函數(shù),解,收斂域?yàn)?記,則,并求,的和,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,故,故,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù),營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,記住幾個(gè)常見(jiàn)級(jí)數(shù)的和,常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的一種重要方法,冪級(jí)數(shù)法或Abel法,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,四、小結(jié),1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念:,2.冪級(jí)數(shù)的收斂性:,收斂半徑R,3.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算:,分析運(yùn)算性質(zhì),思考題,冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答,不一定.,例,它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是,