1、1,第七節(jié) 斯托克斯(stokes)公式 環(huán)流量與旋度,斯托克斯公式,物理意義-環(huán)流量與旋度,小結(jié) 思考題 作業(yè),circulation,curl,第十章 曲線積分與曲面積分,2,本節(jié)介紹空間曲面積分與曲線積分,并同時介紹向量場的兩個重要概念,斯托克斯公式.,環(huán)量與旋度.,之間的關(guān)系,3,一、斯托克斯(Stokes)公式,斯托克斯公式,定理,為分段光滑的空間有向閉曲線,是以,為邊界的分片光滑的有向閉曲面,具有一階連續(xù)偏導數(shù),則有公式,4,即有,其中,方向余弦.,是指定一側(cè)的法向量,5,的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則:,當右手除拇指外的四指依 的繞行方向時,是有向曲面 的 正向邊界曲線,右手法則,拇指

2、所指的方向與上法向量的指向相同.,是有向曲面的正向邊界曲線.,稱,6,(3) 在坐標面上,應用格林公式把(2)得到的平面閉曲線積分化為二重積分.,因此斯托克斯公式是格林,證明思路,(1) 把曲面積分化為坐標面上投影域的二重積分;,(2) 把空間閉曲線上的曲線積分化為坐標面上的閉曲線積分;,分三步,當為 xOy 坐標面上的平面區(qū)域時,斯托克,斯公式就是格林公式,公式在曲面上的推廣.,7,另一種形式,便于記憶形式,8,Stokes公式的實質(zhì),表達了有向曲面上的曲面積分與其,邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.,9,解,法一,按斯托克斯公式,計算曲線積分,例,其中,被三坐標面所截成的,三角形的整個邊界,

3、它的正向與這個三角形上側(cè),的法向量之間符合右手規(guī)則.,有,10,對稱性,11,按斯托克斯公式,法二,有,12,解,則,計算曲線積分,例,其中,截立方體:,的表面所得的截痕,若從Ox,軸的正向看去,取逆時針方向.,取為平面,的上側(cè)被所圍成的部分.,在xOy面上的投影為,13,即,14,1.環(huán)流量的定義,circulation,curl,環(huán)流量.,二、物理意義-環(huán)流量與旋度,設向量場,15,利用Stokes公式,環(huán)流量,16,2. 旋度的定義,17,解,例,18,斯托克斯公式的又一種形式,其中,19,斯托克斯公式的向量形式,其中,20,Stokes公式的物理解釋,環(huán)流量,旋度為零向量的向量場稱為無

4、旋場或有勢場或保守場.,無源且無旋的場稱為調(diào)和場.,21,斯托克斯Stokes公式,斯托克斯公式的物理意義環(huán)流量與旋度,三、小結(jié),Stokes公式的實質(zhì),表達了有向曲面上的曲面積分與其,邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.,(注意使用的條件),22,計算 其中,是球面,(1) 用對面積的曲面積分;,(2) 用對坐標的曲面積分;,(3) 用高斯公式;,(4) 用斯托克斯公式.,的上半部上側(cè),是它的邊界.,思考題,23,解答,(1) 原式=,24,(2)原式=,(3) 補平面,原式=,方向朝下,與構(gòu)成封閉曲面.,特別注意兩類曲面積分的區(qū)別,25,將寫成參數(shù)方程:,原式=,原式=,(4) 邊界曲線:z = 0 平面內(nèi)一圓,由斯