凸集與凸函數(shù)_第1頁
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1、2020/7/10,1,1.2 凸集與凸函數(shù),2020/7/10,2,一、凸集,定義1.1,設(shè)集合,若對于任意兩點,及實數(shù),都有：,則稱集合,為凸集,注：,常見的凸集：空集，整個歐氏空間,超平面：,半空間：,2020/7/10,3,例1：,證明超球,為凸集,證明：,設(shè),為超球中的任意兩點，,則有：,即點,屬于超球,所以超球為凸集,2020/7/10,4,凸集的性質(zhì),（）,有限個（可以改成無限）凸集的交集,為凸集,（）,設(shè),是凸集，,是一實數(shù)，,則下面的,集合是凸集：,（）,設(shè),是凸集，,則,的和集,是凸集;,2020/7/10,5,注：,和集和并集有很大的區(qū)別，凸集的并集,未必是凸集，而凸集的

2、和集是凸集,例2：,表示,軸上的點,表示,軸上的點,則,表示兩個軸的所有點，,它不是凸集；,而,凸集,2020/7/10,6,推論：,設(shè),是凸集，,則,也是凸集，,其中,是實數(shù),定義1.2:,設(shè),實數(shù),則,稱為,的凸組合,注：,凸集中任意有限個點的凸組合仍然在該,凸集中,2020/7/10,7,二、極點,定義1.3,設(shè),為凸集，,若,中不存在,兩個相異的點,及某一實數(shù),使得,則稱,為,的極點,注：,例3：,則,上的點均為極點,2020/7/10,8,證：,設(shè),若存在,及,使得,則：,不等式要取等號，必須,且,容易證明,根據(jù)定義可知,為極點,2020/7/10,9,三、凸函數(shù),定義1.5 嚴(yán)格凸函數(shù),2020/7/10,10,2020/7/10,11,2020/7/10,12,凸函數(shù)的幾何性質(zhì),2020/7/10,13,2020/7/10,14,凸函數(shù)的性質(zhì),2020/7/10,15,2020/7/10,16,凸函數(shù)的判定,2020/7/10,17,該定理的幾何意義是：凸函數(shù)上任意兩點之間的部分是一段向下凸的弧.,2020/7/10,18,一階判別條件,2020/7/10,19,二階判別條

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