1、3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會(huì)其中的三角恒等變換的基本思想方法.2.了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法.3.能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值以及三角恒等式的證明和一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一半角公式思考1我們知道二倍角公式中，“倍角是相對(duì)的”，那么對(duì)余弦的二倍角公式，若用2替換，結(jié)果怎樣？答案結(jié)果是cos2cos2112sin2cos2sin2.思考2根據(jù)上述結(jié)果，試用sin，cos表示sin，cos，tan.答案cos2，cos，同理sin，tan.思考3利用tan和二倍角公式又能得到tan與sin，cos怎樣的關(guān)系？答案

2、tan，tan.梳理sin ，cos ，tan .知識(shí)點(diǎn)二輔助角公式思考1asinxbcosx化簡(jiǎn)的步驟有哪些？答案(1)提常數(shù)，提出得到.(2)定角度，確定一個(gè)角滿(mǎn)足：cos，sin.一般為特殊角，則得到(cossinxsincosx)(或(sinsinxcoscosx)(3)化簡(jiǎn)、逆用公式得asinxbcosxsin(x)(或asinxbcosxcos(x)思考2在上述化簡(jiǎn)過(guò)程中，如何確定所在的象限？答案所在的象限由a和b的符號(hào)確定梳理輔助角公式：asinxbcosxsin(x).1若k，kZ，則tan 恒成立()2若函數(shù)f(x)A1sin(x1)，g(x)A2sin(x2)(其中A10，

3、A20，0)，則h(x)f(x)g(x)的周期與f(x)和g(x)的一致()3輔助角公式asinxbcosxsin(x)，其中所在的象限由a，b的符號(hào)決定，與點(diǎn)(a，b)同象限()4sinxcosx2sin.()提示sinxcosx22sin.類(lèi)型一應(yīng)用半角公式求值例1已知sin，3，求cos和tan.考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用半角公式化簡(jiǎn)求值解sin，且3，cos.由cos2cos21，得cos2.，cos.tan2.反思與感悟利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時(shí)常常借助半角公式求解(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符

4、號(hào)問(wèn)題，因此求解時(shí)務(wù)必依據(jù)角的范圍，求出相應(yīng)半角的范圍(3)選公式：涉及半角公式的正切值時(shí)，常用tan ，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算時(shí)可避免因開(kāi)方帶來(lái)的求角的范圍問(wèn)題；涉及半角公式的正弦、余弦值時(shí)，常先利用sin2，cos2計(jì)算(4)下結(jié)論：結(jié)合(2)求值跟蹤訓(xùn)練1已知sin，3，則tan的值為()A3B3C.D考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用半角公式化簡(jiǎn)求值答案B解析30，cos0，cos.2已知24，且sin，cos0，則tan的值等于()A3B3CD.考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用半角公式化簡(jiǎn)求值答案A解析由題意知為第三象限角，cos，所以tan3.故選A.3化簡(jiǎn)的結(jié)果為()At

5、anBtan2C1D2考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用半角公式化簡(jiǎn)求值答案B解析原式tan2.4函數(shù)f(x)sinxcosx，x的最小值為_(kāi)考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用輔助角公式化簡(jiǎn)求值答案1解析f(x)sin，x.x，f(x)minsin1.5已知在ABC中，sinAcos2sinCcos2sinB，求證：sinAsinC2sinB.考點(diǎn)三角恒等式的證明題點(diǎn)三角恒等式的證明證明由sin Acos2sin Ccos2sin B，得sin Asin Csin B，即sin Asin Csin AcosCsin CcosA3sin B，sin Asin Csin(AC)3s

6、in B，sin Asin Csin(B)3sin B，即sin Asin Csin B3sin B，sin Asin C2sin B.1學(xué)習(xí)三角恒等變換，千萬(wàn)不要只顧死記硬背公式，而忽視對(duì)思想方法的理解，要學(xué)會(huì)借助前面幾個(gè)有限的公式來(lái)推導(dǎo)后繼公式，立足于在公式推導(dǎo)過(guò)程中記憶公式和運(yùn)用公式2輔助角公式asinxbcosxsin(x)，其中滿(mǎn)足：與點(diǎn)(a，b)同象限；tan.3研究形如f(x)asinxbcosx的函數(shù)性質(zhì)，都要運(yùn)用輔助角公式化為一個(gè)整體角的正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的形式因此輔助角公式是三角函數(shù)中應(yīng)用較為廣泛的一個(gè)重要公式，也是高考?？嫉目键c(diǎn)之一對(duì)一些特殊的系數(shù)a，b應(yīng)熟練掌握，例如s

7、inxcosxsin；sinxcosx2sin等.一、選擇題1已知cos，則sin等于()A.BC.D.考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用半角公式化簡(jiǎn)求值答案A解析，sin.2已知180360，則cos的值等于()AB.CD.考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用半角公式化簡(jiǎn)求值答案C3設(shè)acos6sin6，b2sin13cos13，c，則有()AcbaBabcCacbDbca考點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用答案C解析asin30cos6cos30sin6sin(306)sin24，b2sin13cos13sin26，csin25，ysin

8、x在上是單調(diào)遞增的，acb.4(2020安徽蕪湖高一期末考試)已知等腰三角形的頂角的余弦值為，則它的底角的余弦值為()A.B.C.D.考點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角恒等變換與三角形的綜合應(yīng)用答案B解析設(shè)等腰三角形的頂角為，底角為，則cos.又，所以coscossin，故選B.5在ABC中，若sinAsinBcos2，則ABC是()A等邊三角形B等腰三角形C不等邊三角形D直角三角形考點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點(diǎn)三角恒等變換與三角形的綜合應(yīng)用答案B解析sinAsinB(1cosC)，即2sinAsinB1cosC，2sinAsinB1cosAcosBsinAsinB，故得cos(A

9、B)1，又AB(，)，AB0，即AB，則ABC是等腰三角形6已知sin，cos，則tan等于()AB5C5或D或5考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用半角公式化簡(jiǎn)求值答案B解析由sin2cos21，得221，解得m0或8，當(dāng)m0時(shí)，sin 0，不符合.m0舍去，故m8，sin ，cos，tan 5.7如果|cos|，3，則sin的值是()AB.CD.考點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點(diǎn)輔助角公式與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用答案C解析3，|cos|，cos0，cos.，sin0.sin2，sin.二、填空題8已知，sin2，則sin_.考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)綜合運(yùn)用三角恒等變換公式

10、化簡(jiǎn)求值答案解析因?yàn)?2sin2cossin2，所以sin2，因?yàn)椋?，所以sin.9已知sin，則cos2_.考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)利用降冪公式化簡(jiǎn)求值答案解析因?yàn)閏ossinsin.所以cos2.10已知sinsin，0，則cos_.考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)綜合運(yùn)用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求值答案解析由已知得sincoscossinsinsincossin，sin.又，cos，coscos.11sin220sin80sin40的值為_(kāi)考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)綜合運(yùn)用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求值答案解析原式sin220sin(6020)sin(6020)

11、sin220(sin60cos20cos60sin20)(sin60cos20cos60sin20)sin220sin260cos220cos260sin220sin220cos220sin220sin220cos220.三、解答題12求證：tantan.考點(diǎn)三角恒等式的證明題點(diǎn)三角恒等式的證明證明左邊tan tan 右邊原等式得證13已知cos2，(1)求tan的值；(2)求的值考點(diǎn)利用簡(jiǎn)單的三角恒等變換化簡(jiǎn)求值題點(diǎn)綜合運(yùn)用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求值解(1)因?yàn)閏os2，所以，所以，解得tan，因?yàn)?，所以tan.(2)因?yàn)椋瑃an，所以sin，cos，所以4.四、探究與拓展14如果若干個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移后能夠重合，則稱(chēng)這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”給出下列函數(shù)：f(x)2sinxcosx1；f(x)2sin；f(x)sinxcosx；f(x)sin2x1.其中是“同簇函數(shù)”的有()ABCD考點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角恒等變換的綜合應(yīng)用題點(diǎn)簡(jiǎn)單的三角