1、傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)2016年12月14日09:27:47傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)首先，隆重推出傅里葉級(jí)數(shù)的公式，不過這個(gè)東西屬于“文物”級(jí)別的，誕生于19世紀(jì)初，因?yàn)楦道锶~他老人家生于1768年，死于1830年。但傅里葉級(jí)數(shù)在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，這不由得讓人肅然起敬。一打開信號(hào)與系統(tǒng)、鎖相環(huán)原理等書籍，動(dòng)不動(dòng)就跳出一個(gè)“傅里葉級(jí)數(shù)”或“傅里葉變換”，弄一長串公式，讓人云山霧罩。如下就是傅里葉級(jí)數(shù)的公式：不客氣地說，這個(gè)公式可以說是像“臭婆娘的裹腳布又臭又長”，而且來歷相當(dāng)蹊蹺，不知那個(gè)傅里葉什么時(shí)候靈光乍現(xiàn)，把一個(gè)周期函數(shù)f(t)硬生生

2、地寫成這么一大堆東西。單看那個(gè)式，就是把周期函數(shù)f(t)描述成一個(gè)常數(shù)系數(shù)a0、及1倍的sin和cos函數(shù)、2倍的sin和cos函數(shù)等、到n倍的sin和cos函數(shù)等一系列式子的和，且每項(xiàng)都有不同的系數(shù)，即An和Bn，至于這些系數(shù)，需要用積分來解得，即式，不過為了積分方便，積分區(qū)間一般設(shè)為-, ，也相當(dāng)一個(gè)周期T的寬度。能否從數(shù)學(xué)的角度推導(dǎo)出此公式，以使傅里葉級(jí)數(shù)來得明白些，讓我等能了解它的前世今生呢？下面來詳細(xì)解釋一下此公式的得出過程：、把一個(gè)周期函數(shù)表示成三角級(jí)數(shù)：首先，周期函數(shù)是客觀世界中周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)表述，如物體掛在彈簧上作簡諧振動(dòng)、單擺振動(dòng)、無線電電子振蕩器的電子振蕩等，大多可以表述為

3、：f(x)=A sin(t+)這里t表示時(shí)間，A表示振幅，為角頻率，為初相（與考察時(shí)設(shè)置原點(diǎn)位置有關(guān)）。然而，世界上許多周期信號(hào)并非正弦函數(shù)那么簡單，如方波、三角波等。傅葉里就想，能否用一系列的三角函數(shù)An sin(nt+)之和來表示那個(gè)較復(fù)雜的周期函數(shù)f(t)呢？因?yàn)檎液瘮?shù)sin可以說是最簡單的周期函數(shù)了。于是，傅里葉寫出下式：（關(guān)于傅里葉推導(dǎo)純屬猜想）這里，t是變量，其他都是常數(shù)。與上面最簡單的正弦周期函數(shù)相比，5式中多了一個(gè)n，且n從1到無窮大。這里f(t)是已知函數(shù)，也就是需要分解的原周期函數(shù)。從公式5來看，傅里葉是想把一個(gè)周期函數(shù)表示成許多正弦函數(shù)的線性疊加，這許許多多的正弦函數(shù)有

4、著不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或說是頻率（是原周期函數(shù)的整數(shù)倍，即n）、有不同的初相角（即），當(dāng)然還有一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)（即A0）。要命的是，這個(gè)n是從1到無窮大，也就是是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)。應(yīng)該說，傅里葉是一個(gè)天才，想得那么復(fù)雜。一般人不太會(huì)把一個(gè)簡單的周期函數(shù)弄成這么一個(gè)復(fù)雜的表示式。但傅里葉認(rèn)為，式子右邊一大堆的函數(shù)，其實(shí)都是最簡單的正弦函數(shù)，有利于后續(xù)的分析和計(jì)算。當(dāng)然，這個(gè)式能否成立，關(guān)鍵是級(jí)數(shù)中的每一項(xiàng)都有一個(gè)未知系數(shù)，如A0、An等，如果能把這些系數(shù)求出來，那么5式就可以成立。當(dāng)然在5式中，唯一已知的就是原周期函數(shù)f(t),那么只需用已知函數(shù)f(t)來表達(dá)出各項(xiàng)系數(shù)，上式就可以成

5、立，也能計(jì)算了。于是乎，傅里葉首先對(duì)式5作如下變形：這樣，公式就可以寫成如下公式的形式：這個(gè)公式就是通常形式的三角級(jí)數(shù)，接下來的任務(wù)就是要把各項(xiàng)系數(shù)an和bn及a0用已知函數(shù)f(t)來表達(dá)出來。、三角函數(shù)的正交性：這是為下一步傅里葉級(jí)數(shù)展開時(shí)所用積分的準(zhǔn)備知識(shí)。一個(gè)三角函數(shù)系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , , cosnx , sinnx , 如果這一堆函數(shù)（包括常數(shù)1）中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在區(qū)間-, 上的積分等于零，就說三角函數(shù)系在區(qū)間-, 上正交即有如下式子：以上各式在區(qū)間-, 的定積分均為0，第第式可視為三角函數(shù)cos和sin與相乘的積分；第3-5式則

6、為sin和cos的不同組合相乘的積分式。除了這5個(gè)式子外，不可能再有其他的組合了。注意，第4第5兩個(gè)式中，k不能等于n，否則就不屬于“三角函數(shù)系中任意兩個(gè)不同函數(shù)”的定義了，變成同一函數(shù)的平方了。但第3式中，k與n可以相等，相等時(shí)也是二個(gè)不同函數(shù)。下面通過計(jì)算第4式的定積分來驗(yàn)證其正確性，第4式中二函數(shù)相乘可以寫成：可見在指定-, 的區(qū)間里，該式的定積分為0。其他式也可逐一驗(yàn)證。、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)：先把傅里葉級(jí)數(shù)表示為下式，即式：對(duì)式從-, 積分，得：這就求得了第一個(gè)系數(shù)a0的表達(dá)式，即最上邊傅里葉級(jí)數(shù)公式里的式。接下來再求an和bn的表達(dá)式。用cos(kt)乘式的二邊得：至此，已經(jīng)求得傅

7、里葉級(jí)數(shù)中各系數(shù)的表達(dá)式，只要這些積分都存在，那么式等號(hào)右側(cè)所表示的傅里葉級(jí)數(shù)就能用來表達(dá)原函數(shù)f(t)。上述過程就是整個(gè)傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)過程。事實(shí)上，如果能夠?qū)懗鍪?，不難求出各個(gè)系數(shù)的表達(dá)式，關(guān)鍵是人們不會(huì)想到一個(gè)周期函數(shù)竟然可以用一些簡單的正弦或余弦函數(shù)來表達(dá)，且這個(gè)表達(dá)式是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)。這當(dāng)然就是數(shù)學(xué)家傅里葉的天才之作了，我等只有拼命理解的份了。綜上，傅里葉級(jí)數(shù)的產(chǎn)生過程可以分為以下三步：1、設(shè)想可以把一個(gè)周期函數(shù)f(t)通過最簡單的一系列正弦函數(shù)來表示，即5式；2、通過變形后用三角級(jí)數(shù)（含sin和cos）來表示；3、通過積分，把各未知系數(shù)用f(t)的積分式來表達(dá)；4、最后得到的4個(gè)表達(dá)式就是傅里葉級(jí)數(shù)公式。在電子學(xué)中，傅里葉級(jí)數(shù)是一種頻域分析工具，可以理解成一種復(fù)雜的周期波分解成直流項(xiàng)、基波（角頻率為）和各次諧波（角頻率為n）的和，也就是級(jí)數(shù)中的各項(xiàng)。一般，隨著n的增大